Proportional Symbol Maps
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- Dagmar Vogel
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1 Proportional Symbol Maps Florian Simon 8. Dezember, 2009
2 Proportional Symbol Maps Gegeben: Punkte p 1,..., p n R 2 mit zugeordneten Werten w 1,..., w n R
3 Proportional Symbol Maps Gegeben: Punkte p 1,..., p n R 2 mit zugeordneten Werten w 1,..., w n R Beispiel: pi Ort der Rathäuser eines Landes wi Anzahl dort gemeldeter Einwohner
4 Proportional Symbol Maps Gegeben: Punkte p 1,..., p n R 2 mit zugeordneten Werten w 1,..., w n R Beispiel: pi Ort der Rathäuser eines Landes wi Anzahl dort gemeldeter Einwohner Visualisierung mithilfe geometischer Objekte
5 Proportional Symbol Maps
6 Proportional Symbol Maps Ziel: Eine gültige und möglichst gute Zeichnung
7 Proportional Symbol Maps Ziel: Eine gültige und möglichst gute Zeichnung zwei Klassen von Zeichnungen zwei Optimierungsprobleme
8 physikalisch-realisierbare Zeichnungen Eine Zeichnung heißt physikalisch-realisierbar, wenn sie mithilfe von Münzen nachgebaut werden kann.
9 Stackings Eine Zeichnung S heißt Stacking, wenn es eine totale Ordnung unter allen Disks gibt, sodass S entsteht in dem man die Disks gemäß dieser Ordnung aufeinander stapelt.
10 Zwei Optimierungsprobleme Gegeben eine Menge von Disks S Max-Min: Finde eine physikalisch-realisierbare Zeichnung (ein Stacking), die den minimal sichtbaren Rand unter allen Disks maximiert. Max-Total: Finde eine physikalisch-realisierbare Zeichnung (ein Stacking), die den insgesamt sichtbaren Rand aller Disks maximiert.
11 Der in einer Zeichnung minimal sichtbare Rand unter allen Disks aus S wird im Folgenden mit min(s) bezeichnet.
12 Der in einer Zeichnung minimal sichtbare Rand unter allen Disks aus S wird im Folgenden mit min(s) bezeichnet. min(s) kann für physikalisch-realisierbare Zeichnungen größer sein als für Stackings. Beispiel:
13 Überblick Max-Min Max-Total physikalisch realisierbar Stacking
14 Überblick Max-Min Max-Total physikalisch realisierbar N P-schwer Stacking
15 planares 3-SAT (p-3-sat ) Aussagenlogische Formel F mit Variablen {x 1,..., x n } und Klauseln {c 1,..., c m }
16 planares 3-SAT (p-3-sat ) Aussagenlogische Formel F mit Variablen {x 1,..., x n } und Klauseln {c 1,..., c m } G(F ) := (V, E) mit V = {p 1,..., p n, q 1,..., q m } und (p i, q j ) E genau dann, wenn x i in c j vorkommt (i = 1,..., n; j = 1,..., m)
17 planares 3-SAT (p-3-sat ) Aussagenlogische Formel F mit Variablen {x 1,..., x n } und Klauseln {c 1,..., c m } G(F ) := (V, E) mit V = {p 1,..., p n, q 1,..., q m } und (p i, q j ) E genau dann, wenn x i in c j vorkommt (i = 1,..., n; j = 1,..., m) F p-3-sat F 3-SAT und G(F ) planar
18 planares 3-SAT (p-3-sat ) planares 3-SAT ist N P-schwer (ohne Beweis)
19 planares 3-SAT (p-3-sat ) planares 3-SAT ist N P-schwer (ohne Beweis) Jeder Graph zu einer p-3-sat Instanz kann nach folgendem Schema gezeichnet werden: c 1 c 2 x 1 x 2 x 3 x n c m
20 Max-Min - N P-schwer Das Max-Min Problem ist für physikalisch-realisierbare Zeichnungen N P-schwer. Vorgehen: Zu einer Instanz I p-3-sat konstruieren wir eine Menge von Disks S so, dass I genau dann erfüllbar ist, wenn es eine physikalisch-realisierbare Zeichnung von S mit min(s) 3 4 gibt.
21 Konstruktion S besteht aus Disks mit Umfang 1 die sich in folgende Komponenten unterteilen lassen: Variablen-Gadgets - für jede in I vorkommende Variable Klausel-Gadgets - für jede in I vorkommende Klausel Kanäle - repräsentieren die in einer Klausel vorkommenden Literale
22 Konstruktion S besteht aus Disks mit Umfang 1 die sich in folgende Komponenten unterteilen lassen: Variablen-Gadgets - für jede in I vorkommende Variable Klausel-Gadgets - für jede in I vorkommende Klausel Kanäle - repräsentieren die in einer Klausel vorkommenden Literale
23 Variablen-Gadgets Für jede Variable x i aus I. Zyklisch angeordnete Menge von Disks S(x i ) mit alternierenden Überlappungen von 1 4 und 1 8
24 Variablen-Gadgets Für min(s) 3 4 liegen. muss dann jede Disk zwischen ihren Nachbarn
25 Variablen-Gadgets Für min(s) 3 4 liegen. muss dann jede Disk zwischen ihren Nachbarn
26 Variablen-Gadgets Für min(s) 3 4 liegen. muss dann jede Disk zwischen ihren Nachbarn Überlappungen im Uhrzeigersinn ( S(x i ) = TRUE ) entspricht x i = TRUE Überlappungen gegen den Uhrzeigersinn ( S(x i ) = FALSE ) entspricht x i = FALSE
27 Variablen-Gadgets Disks deren Rand für S(x i ) = TRUE nur zu 1 8 heißen t-disks die anderen f -Disks überdeckt sind t-disk f-disk
28 Klausel-Gadgets Ein Klausel-Gadget besteht aus einer Disk, die drei Kanalenden zu je 1 8 überlappt. VariableGadget VariableGadget VariableGadget Damit min(s) 3 4 ist, muss eine Disk der Kanalenden von der Klausel-Disk überlappt werden.
29 Kanäle Kette von sich jeweils zu 1 4 überlappenden Disks Repräsentieren die Literale in den Klauseln Ein Kanal beginnt an einem Variablen-Gadget und endet an einem Klausel-Gadget Für min(s) 3 4 muss jede Disks zwischen ihren Nachbarn liegen
30 Kanäle Kette von sich jeweils zu 1 4 überlappenden Disks Repräsentieren die Literale in den Klauseln Ein Kanal beginnt an einem Variablen-Gadget und endet an einem Klausel-Gadget Für min(s) 3 4 muss jede Disks zwischen ihren Nachbarn liegen
31 Kanäle Kette von sich jeweils zu 1 4 überlappenden Disks Repräsentieren die Literale in den Klauseln Ein Kanal beginnt an einem Variablen-Gadget und endet an einem Klausel-Gadget Für min(s) 3 4 muss jede Disks zwischen ihren Nachbarn liegen
32 Kanäle Kette von sich jeweils zu 1 4 überlappenden Disks Repräsentieren die Literale in den Klauseln Ein Kanal beginnt an einem Variablen-Gadget und endet an einem Klausel-Gadget Für min(s) 3 4 muss jede Disks zwischen ihren Nachbarn liegen
33 Kanäle Repräsentiert ein Kanal das Literal x i, so überlappt der Anfang des Kanals eine f -Disk andernfalls eine t-disk von S(x i ) x i
34 Kanäle Repräsentiert ein Kanal das Literal x i, so überlappt der Anfang des Kanals eine f -Disk andernfalls eine t-disk von S(x i ) x i
35 Kanäle Ein Kanal hat den Wert TRUE, falls die Kanal-Disks in Richtung Klausel-Gadget aufsteigend aufeinander liegen Ist min(s) 3 4 so kann die Disk am Ende des Kanals von der Klausel-Disk genau dann überlappt werden, wenn der Kanal den Wert TRUE hat.
36 Beispiel Eine erfüllende Belegung der p-3-sat Instanz (x 1 x 2 x 3 ) ist z.b. x 1 = FALSE, x 2 = TRUE, x 3 = FALSE
37 Beispiel x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 = F ALSE x 2 = T RUE x 3 = F ALSE
38 Beispiel x 1 x 2 t-disk f-disk x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 = F ALSE x 2 = T RUE x 3 = F ALSE
39 Beispiel x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 t-disk f-disk x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 = F ALSE x 2 = T RUE x 3 = F ALSE
40 Beispiel x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 t-disk f-disk Kanaldisk x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 = F ALSE x 2 = T RUE x 3 = F ALSE
41 Beispiel x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 t-disk f-disk Kanaldisk x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 = F ALSE x 2 = T RUE x 3 = F ALSE
42 Beispiel x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 t-disk f-disk Kanaldisk KlauselGadget x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 = F ALSE x 2 = T RUE x 3 = F ALSE
43 Resultat Theorem Es ist N P-schwer zu entscheiden ob es für eine gegebene Menge von Disks S eine physikalisch-realisierbare Zeichnung mit min(s) r gibt.
44 Beweis Sei I eine Instanz von p-3-sat und S die Menge von Disks zu I nach voriger Konstrukltion. Es gilt I ist erfüllbar min(s) 3 4
45 Sei I erfüllbar. Fixiere eine erfüllende Belegung. Für jede Variable x i der Belegung die TRUE ist zeichne S(x i ) im TRUE Zustand, die Kanäle von x i im TRUE-Zustand und die Kanäle von x i im FALSE-Zustand Für jede Variable y i der Belegung die FALSE ist zeichne umgekehrt
46 Jede Klausel-Disk wird auf die Kanalenden im TRUE und unter die Kanalenden im FALSE Zustand gezeichnet Da jede Klausel in I TRUE ist gibt es für jede Klausel-Disk stets ein Kanalende im TRUE Zustand Daher sind 3 4 des Randes jeder Klausel-Disk sichtbar Die Ränder der restlichen Disks sind nach Konstruktion zu mindestens 3 4 sichtbar
47 Angenommen es gibt eine physikalisch-realisierbare Zeichnung von S mit min(s) 3 4 Dann ist jedes Variablen-Gadget S(x i ) entweder im Zustand TRUE oder FALSE Dies definiert eine boolsche Belegung der Variablen von I
48 Weiter muss jede Klausel-Disk auf einem Kanalende liegen Der zugehörige Kanal ist dann im Zustand TRUE, denn sonst wäre der Rand des Kanalanfangs nicht zu 3 4 sichtbar
49 Weiter muss jede Klausel-Disk auf einem Kanalende liegen Der zugehörige Kanal ist dann im Zustand TRUE, denn sonst wäre der Rand des Kanalanfangs nicht zu 3 4 sichtbar
50 Das durch den Kanal repräsentierte Literal erfüllt die Klausel Damit ist die Belegung eine erfüllende Belegung von I
51 Anmerkungen Ist das Max-Min Problem in N P?
52 Anmerkungen Ist das Max-Min Problem in N P? Warum überhaupt planares 3-SAT?
53 Anmerkungen Ist das Max-Min Problem in N P? Warum überhaupt planares 3-SAT? Ist die Konstruktion polynomiell? c 1 c 2 x 1 x 2 x 3 x n c m
54 Überblick Max-Min Max-Total physikalisch realisierbar N P-schwer Stacking
55 Überblick Max-Min Max-Total physikalisch realisierbar N P-schwer Stacking in P
56 Ein Greedy-Algorithmus
57 Ein Greedy-Algorithmus
58 Ein Greedy-Algorithmus
59 Ein Greedy-Algorithmus
60 Ein Greedy-Algorithmus
61 Ein Greedy-Algorithmus
62 Optimales Max-Min Stacking Algorithm: SucheUntersteDisk(S) Data: Set of Disks S = {D 1,..., D n } for i 1 to n do Bestimme den sichtbaren Rand vis(d i ) von D i, wenn D i die unterste Disk wäre end Sei vis(d k ) = max i=1,...,n vis(d i ) Zeichne D k SucheUntersteDisk(S \ {D k })
63 Optimales Max-Min Stacking Dieser Algorithmus liefert ein optimales Stacking Sei A das Stacking des Algorithmus und A[i] die i-te Disk der Stacking-Reihenfolge Sei O 0 ein optimales Stacking und O 0 [i] die i-te Disk dieses Stackings Vorgehen: Interative Konstruktion von Zwischenstackings O 1,..., O n mit O n = A und min(o k ) min(o k 1 )
64 Optimales Max-Min Stacking A O 0 O 2 D 1 D 1 D 2 D 4 D 3 D 3 D 4 D 2 D 5 D 5
65 Optimales Max-Min Stacking A O 0 O 2 D 1 D 1 D 2 D 4 D 3 D 3 D 4 D 2 D 5 D 5
66 Optimales Max-Min Stacking A O 0 O 2 D 1 D 1 D 2 D 4 D 3 D 3 D 4 D 2 D 5 D 5
67 Optimales Max-Min Stacking A O 0 O 2 D 1 D 1 D 2 D 4 D 3 D 3 D 4 D 2 D 5 D 5
68 Optimales Max-Min Stacking A O 0 O 2 D 1 D 1 D 1 D 2 D 4 D 2 D 3 D 3 D 4 D 4 D 2 D 3 D 5 D 5 D 5
69 Optimales Max-Min Stacking A O 0 O 2 D 1 D 1 D 1 D 2 D 4 D 2 D 3 D 3 D 4 D 4 D 2 D 3 D 5 D 5 D 5
70 Optimales Max-Min Stacking A O 0 O 2 D 1 D 1 D 1 D 2 D 4 D 2 D 3 D 3 D 4 D 4 D 2 D 3 D 5 D 5 D 5
71 Optimales Max-Min Stacking A O 0 O 2 D 1 D 1 D 1 D 2 D 4 D 2 D 3 D 3 D 4 D 4 D 2 D 3 D 5 D 5 D 5
72 Laufzeit Die zugrundeliegende Datenstruktur sind die sogenannten Segment-Trees Die Laufzeit wird O(n 2 log n) sein Also ist das Max-Min Problem für Stackings in P
73 Segment-Trees Gegeben eine Menge von Intervallen (Eingabeintervallen) I = {I 1, I 2,..., I n } mit I i = [x i, x i ] R Frage: In welchen Intervallen liegt ein Punkt q R
74 Segment-Trees Die End- und Schnittpunkte der Eingabeintervalle I = {I 1, I 2,..., I n } induzieren eine Zerlegung von I in elementare Intervalle I = {α 1, α 2,..., α m }
75 I 1 I 2 Segment-Trees Die End- und Schnittpunkte der Eingabeintervalle I = {I 1, I 2,..., I n } induzieren eine Zerlegung von I in elementare Intervalle I = {α 1, α 2,..., α m } α 1 α 2 α 3
76 Knotenintervalle Ein Segment-Tree zu I ist ein binärer Baum an dessen Blättern µ i in Int(µ i ) die Intervalle α i und in dessen inneren Knoten v in Int(v) die Intervalle Int(lc(v)) Int(rc(v)) gespeichert werden. Die Intervalle Int( ) heißen Knotenintervalle.
77 Knotenintervalle Ein Segment-Tree zu I ist ein binärer Baum an dessen Blättern µ i in Int(µ i ) die Intervalle α i und in dessen inneren Knoten v in Int(v) die Intervalle Int(lc(v)) Int(rc(v)) gespeichert werden. Die Intervalle Int( ) heißen Knotenintervalle. α 1 α 2 α 3 α 1 α 2 α 3 α 1 α 2 α 3
78 Eingabeintervalle Jeder Knoten v speichert zusätzlich eine Menge von Eingabeintervallen I (v) I. Es gilt I i I (v) genau dann, wenn Int(v) I i und Int(parent(v)) I i
79 I 1 I 2 Eingabeintervalle Jeder Knoten v speichert zusätzlich eine Menge von Eingabeintervallen I (v) I. Es gilt I i I (v) genau dann, wenn Int(v) I i und Int(parent(v)) I i I 1 I 2 I 2
80 Segment-Trees Lemma Ein Eingabeintervall wird pro Baumlevel höchstens in zwei Knoten gespeichert.
81 Segment-Trees Lemma Ein Eingabeintervall wird pro Baumlevel höchstens in zwei Knoten gespeichert. parent(v 2 ) v 1 v 2 v 3 I = [x, x ]
82 Segment-Trees Lemma Ein Eingabeintervall wird pro Baumlevel höchstens in zwei Knoten gespeichert. parent(v 2 ) v 1 v 2 v 3 I = [x, x ]
83 Segment-Trees Algorithm: Insert(v, I) if Int(v) I then Speichere I in v else end if Int(lc(v)) I then Insert(lc(v), I ) end if Int(rc(v)) I then Insert(rc(v), I ) end
84 Segment-Trees Lemma Pro Baumlevel werden beim Einfügen eines Eingabeknotens höchstens vier Knoten besucht
85 Segment-Trees Lemma Pro Baumlevel werden beim Einfügen eines Eingabeknotens höchstens vier Knoten besucht I = [x, x ]
86 Segment-Trees Lemma Pro Baumlevel werden beim Einfügen eines Eingabeknotens höchstens vier Knoten besucht I = [x, x ]
87 Segment-Trees Lemma Pro Baumlevel werden beim Einfügen eines Eingabeknotens höchstens vier Knoten besucht I = [x, x ]
88 Segment-Trees Das Einfügen und Suchen eines Eingabeknotens in einem Segment-Tree ist in O(log n) Die Konstruktion eines Segment-Trees aus n Eingabeintervallen ist in O(n log n)
89 Implementierung Rand einer Disk D j als Intervall D 1 vom obersten Punkt im Uhrzeigersinn α 8 α 9 α 1 α 2 α 3 D 2 Schnittpunkte mit anderen Disks definieren die Elementarintervalle Jede andere Disk D i überdeckt kein, ein oder zwei Intervalle von D j α 7 D 4 α 6 α 5 D 3 α 4
90 Implementierung D 1 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 α 8 α 9 α 1 α 2 α 3 D 2 D 1 D 2 D 3 D 4 α 8 α 9 α 7 D 4 α 6 α 5 D 3 α 4
91 Implementierung Für jede Disk D i ein Segment-Tree mit Eingabeintervallen D j (i j) Speichere an jedem Knoten v von D i die Werte Int(v), I (v) und vis(v)
92 Implementierung Für jede Disk D i ein Segment-Tree mit Eingabeintervallen D j (i j) Speichere an jedem Knoten v von D i die Werte Int(v), I (v) und vis(v) vis(v) ist definert durch 0, falls I (v) 1 vis(v) = vis(lc(v)) + vis(rc(v)), falls v innerer Knoten Int(v), falls v Blatt
93 Implementierung Für jede Disk D i ein Segment-Tree mit Eingabeintervallen D j (i j) Speichere an jedem Knoten v von D i die Werte Int(v), I (v) und vis(v) vis(v) ist definert durch 0, falls I (v) 1 vis(v) = vis(lc(v)) + vis(rc(v)), falls v innerer Knoten Int(v), falls v Blatt vis(root(t i ) ist der sichtbare Rand von D i falls alle Disks D j auf D i gezeichnet werden.
94 Implementierung α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 α 8 α 9 D 1 D 2 D 3 D 4
95 Implementierung I(v) D 1 D 3 D 2 D 2 D 4 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 D 3 D 1 α 8 α 9 D 1 D 2 D 3 D 4
96 Implementierung I(v) vis(v) α 4 α 4 + α 8 α 8 D 1 α 4 D 3 α 8 α 1 D 2 D 2 α 4 α 5 D 4 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 D 3 α 8 α 8 D 1 α 8 α 9 D 1 D 2 D 3 D 4
97 Implementierung Ein Schritt des Algorithmus: Suche D i so, dass vis(root(t i )) = max j=1,...,n vis(root(t j ))
98 Implementierung Ein Schritt des Algorithmus: Suche D i so, dass vis(root(t i )) = max j=1,...,n vis(root(t j )) Lösche T i und zeichne D i
99 Implementierung Ein Schritt des Algorithmus: Suche D i so, dass vis(root(t i )) = max j=1,...,n vis(root(t j )) Lösche T i und zeichne D i Für i j: Lösche das Eingabeintervall D i aus allen Baumknoten v T j und aktualisiere vis(µ) für alle Knoten von v bis zur Wurzel
100 Implementierung Ein Schritt des Algorithmus: Suche D i so, dass vis(root(t i )) = max j=1,...,n vis(root(t j )) Lösche T i und zeichne D i Für i j: Lösche das Eingabeintervall D i aus allen Baumknoten v T j und aktualisiere vis(µ) für alle Knoten von v bis zur Wurzel Ein Schritt des Algorithmus ist damit in O(n log n)
101 Laufzeit Das Erstellen der n Segment-Trees ist in O(n 2 log n) Die Gesamtlaufzeit ist also in O(n 2 log n)
102 Überblick Max-Min Max-Total physikalisch realisierbar N P-schwer Stacking in P
103 Überblick Max-Min Max-Total physikalisch realisierbar N P-schwer N P-schwer Stacking in P?
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Proportional Symbol Maps
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