Visualisierung von Graphen

Transkript

1 1 Visualisierung von Graphen Geradlinige Zeichnungen planarer Graphen 6. Vorlesung Sommersemester 2013 (basierend auf Folien von Marcus Krug und Tamara Mchedlidze, KIT)

2 2 Planare Graphen: Charakterisierung, Test, Zeichnung Satz. [Kuratowski 1930: Sur le problème des courbes gauches en topologie] Sei G ein einfacher Graph. Dann gilt: G planar weder K 5 noch K 3,3 ist Minor von G. Satz. [Hopcroft & Tarjan, J. ACM 1974] Sei G ein einfacher Graph mit n Knoten. Dann kann man in O(n) Zeit entscheiden, ob G planar ist. Satz. [Wagner 1936, Fáry 1948, Stein 1951] Jeder planare Graph lässt sich geradlinig zeichnen. Satz. [Koebe 1936: Kontaktprobleme der konformen Abbildung] Jeder planare Graph lässt sich als Berührgraph von Kreisscheiben (coin graph) repräsentieren.

3 3 Planare Graphen zeichnen Satz. [Tutte 1963: How to draw a graph] Ein (3-fach zshg.) planarer Graph lässt sich in Linearzeit geradlinig (und konvex) zeichnen. William Thomas Tutte Newmarket, GB Kitchener, Kanada Satz. [de Fraysseix, Pach & Pollack 1988] Jeder eingebettete planare Graph mit n Knoten lässt sich geradlinig und planar auf dem (2n 4) (n 2) Gitter zeichnen. heute n 2 n 2

4 4-4 Idee Es reicht, maximal planare (triangulierte) Graphen zu betrachten.

5 4-10 Idee Es reicht, maximal planare (triangulierte) Graphen zu betrachten. Zeichne inrementell v v G G

6 5 Kanonische Ordnungen Definition: Kanonische Ordnung Sei G = (V, E) ein triangulierter, planar eingebetteter Graph mit n 3 Knoten. Eine Ordnung π = (v 1, v 2,..., v n ) der Knoten heißt kanonische Ordnung, falls gilt für 3 k n ist der von {v 1,... v k } induzierte Teilgraph G k zweifachzusammenhängend und intern trianguliert. für 2 k n ist v 1, v 2 ist Außenkante von G k. für k < n liegt v k+1 auf dem Rand der äußeren Facette von G k+1 und alle Nachbarn von v k+1 in G k+1 bilden ein zusammenhängendes Intervall auf dem Rand C o (G k ) der äußeren Facette von G k.

7 6-2 Beispiel kanonische Ordnung 16 G 16

8 6-4 Beispiel kanonische Ordnung G 15

9 6-10 Beispiel kanonische Ordnung Sehne G 13

10 7 Existenz einer kanonischen Ordnung Lemma. Jeder planare, triangulierte Graph G = (V, E) hat eine kanonische Ordnung. Beweis: Umgekehrte Induktion über k. k = n: v n v 1 v 2 Induktionsvoraussetzung: Die Knoten v n, v n 1,..., v k+1 wurden so gewählt, dass die drei Bedingungen erfüllt sind.

11 8 Existenz einer kanonischen Ordnung Wir suchen geeignetes v k in G k. IV v k v k darf nicht an Sehne liegen. Reicht das aus? v 1 v 2 Zeige: v k nicht an Sehne G k 1 zweifach zusammenhängend v k G k nicht 2- fach-zshgd. v k nicht trianguliert v k Sehne G k 1 G k 1 G k 1

12 9-1 Finde Knoten v k der nicht an Sehne liegt Zeige: Es gibt einen Knoten v k keine Sehne angrenzt. auf der Außenfacette, der an starte Umlauf von v 1 ; Sehnen bilden Klammernstruktur v 1 v 2

13 9-3 Finde Knoten v k der nicht an Sehne liegt Zeige: Es gibt einen Knoten v k keine Sehne angrenzt. auf der Außenfacette, der an v k entferne innere Knoten starte Umlauf von v 1 ; Sehnen bilden Klammernstruktur finde geeignetes v k v 1 v 2

14 10 Berechnen einer kanonischen Ordnung Algorithmus Kanonische Ordnung forall the v V do chords(v) 0; out(v) false; mark(v) false; out(v 1 ), out(v 2 ), out(v n ) true; for k = n to 3 do wähle v v 1, v 2 mit mark(v) = false, out(v) = true, chords(v) = 0; v k v; mark(v) true; (w 1 = v 1, w 2,..., w t 1, w t = v 2 ) C o (G k 1 ); (w p,..., w q ) unmarkierte Nachbarn von v k ; out(w i ) true for all p < i < q; aktualisiere chords( ) für diese w i und ihre Nachbarn; chord(v): Anzahl der zu v adjazenten Sehnen mark(v) = true v wurde schon eine Nummer zugewiesen out(v)=true v liegt auf der Außenfacette des aktuellen Teilgraphen Der Algorithmus findet eine kanonische Ordnung in O(n) Zeit.

15 11-5 Shift-Algorithmus von de Fraysseix, Pach und Pollack Invariante: G k 1 ist so gezeichnet, dass y x v k v 1 auf (0, 0) und v 2 auf (2k 6, 0) liegt. die Außenfacette (ohne die Kante {v 1, v 2 }) x-monoton ist. jede Kante auf der Außenfacette (ohne die Kante {v 1, v 2 }) Steigung ±1 hat. Überlappungen! Ideen? G k 1 v 1 v 2

16 11-7 Shift-Algorithmus von de Fraysseix, Pach und Pollack Invariante: G k 1 ist so gezeichnet, dass y x v k v 1 auf (0, 0) und v 2 auf (2k 6, 0) liegt. die Außenfacette (ohne die Kante {v 1, v 2 }) x-monoton ist. jede Kante auf der Außenfacette (ohne die Kante {v 1, v 2 }) Steigung ±1 hat. G k 1 v 1 v 2

17 11-9 Shift-Algorithmus von de Fraysseix, Pach und Pollack Invariante: G k 1 ist so gezeichnet, dass y x v k v 1 auf (0, 0) und v 2 auf (2k 6, 0) liegt. die Außenfacette (ohne die Kante {v 1, v 2 }) x-monoton ist. jede Kante auf der Außenfacette (ohne die Kante {v 1, v 2 }) Steigung ±1 hat. G k 1 v 1 v 2

18 11-12 Shift-Algorithmus von de Fraysseix, Pach und Pollack Invariante: G k 1 ist so gezeichnet, dass y x Gitterpunkt? Übung v 1 auf (0, 0) und v 2 auf (2k 6, 0) liegt. die Außenfacette (ohne die Kante {v 1, v 2 }) x-monoton ist. jede Kante auf der Außenfacette (ohne die Kante {v 1, v 2 }) Steigung ±1 hat. G k 1 v 1 L(v v 2 k )

19 12-12 Shift-Algorithmus von de Fraysseix, Pach und Pollack L(10)

20 12-17 Shift-Algorithmus von de Fraysseix, Pach und Pollack L(14) 1 2

21 12-19 Shift-Algorithmus von de Fraysseix, Pach und Pollack

22 12-20 Shift-Algorithmus von de Fraysseix, Pach und Pollack (n 2, n 2) 1 2 (0, 0) (2n 4, 0)

23 13-3 Was ist die Menge L(v k )? v k überdeckte Knoten G k 1 Jeder innere Knoten wird genau einmal überdeckt. Überdeckungen definieren einen Baum in G. In G i, 1 i n 1: Wald

24 13-8 Was ist die Menge L(v k )? w 1 w 2 w p v k G k 1 L(w i ) w q w t 1 w t Jeder innere Knoten wird genau einmal überdeckt. Überdeckungen definieren einen Baum in G. In G i, 1 i n 1: Wald Lemma. Sei 0 < δ 1 δ 2 δ t N. Wenn wir L(w i ) um δ i nach rechts schieben, erhalten wir eine geradlinige planare Zeichnung.

25 14 Verschiebungen Lemma. Sei 0 < δ 1 δ 2 δ t N. Wenn wir L(w i ) um δ i nach rechts schieben, erhalten wir eine geradlinige planare Zeichnung. Beweis: Induktion über k; wir betrachten G 3,..., G n. Nehme an, die Behauptung stimmt für G k 1. w 1,..., w p, v k, w q,..., w t Außenfacette von G k. Sei δ(w 1 ) δ(w p ) δ(v k ) δ(w q ) δ(w t ). Setze δ (w i ) = δ(w i ) für 1 i p, δ (w i ) = δ(v k ) für p + 1 i q 1 und δ (w i ) = δ(w i ) für q i t. Nach Induktionsvoraussetzung können wir L(w 1 )..., L(w t ) um δ(w 1 ),..., δ(w t ) verschieben. Zum Schluss können wir die Zeichnung mit v k wieder vervollständigen.

26 15 Der Zeichenalgorithmus Algorithmus Shift v 1,..., v n sei kanonische Ordnung von G; for i = 1 to n do L(v i ) {v i }; P(v 1 ) (0, 0); P(v 2 ) (2, 0); P(v 3 ) (1, 1); for k = 4 to n do Sei w 1 = v 1, w 2,..., w t 1, w t = v 2 Außenfacette von G k 1 ; w p,..., w q seien die Nachbarn von v k ; for v q 1 j=p+1 L(w j ) do x(v) x(v) + 1 ; for v t j=q L(w j ) do x(v) x(v) + 2 ; P(v i ) Schnittpunkt der Geraden mit Steigung ±1 von P(w p ) und P(w q ) ; L(v i ) = q 1 j=p+1 L(w j ) {v i } ; Laufzeit: O(n 2 )

27 16 Eine Linearzeitimplementierung verwende Abstand zum Vorgänger x(v k ) = 1 2 (x(w q) + x(w p ) + y(w q ) y(w p )) (1) y(v k ) = 1 2 (x(w q) x(w p ) + y(w q ) + y(w p )) (2) x(v k ) x(w p ) = 1 2 (x(w q) x(w p ) + y(w q ) y(w p )) (3)

28 17 Eine Linearzeitimplementierung Aus den y-koordinaten von w p und w q und der Differenz x(w p ) x(w q ) können wir den x-abstand zwischen v k und w p berechnen. In unserem Binärbaum verwalten wir den x-abstand zwischen jedem Knoten und seinem Vater. x (w p, w q ) = x (w p+1 ) + + x (w q ) Berechne x (v k ) mit (3). Berechne y(v k ) mit (2) w p+1 v k w p w q w 3 w 2 x (w q ) = x (w p, w q ) x (v k ) x (w p+1 ) = x (w p+1 ) x (v k ) w q 1 Wurzel v 1 = w 1 v 2 = w t