Punktbeschriftung in Landkarten

Transkript

1 Vorlesung Algorithmische Kartografie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Benjamin Niedermann Martin Nöllenburg 21./

2 Wo sind wir gerade? Ebene Block Termine Themen Einführung Linienzüge 3 Linienvereinfachung Karteninhalt Konsistente Vereinfachung von Kantenzügen Flächenaggregation Flächen 5-6 Vereinfachung von Gebäudeumrissen Statisch 2 Flächenkartogramme Punktbeschriftung Straßenbeschriftung Beschriftung Zoomen Dynamisch 4 Rotieren Trajektorienbasierte Beschriftung Beschriftung von bewegten Punkten Annotation 3 Geovisualisierung Randbeschriftung Diagramme 1 Proportional Symbol Maps 2

3 Klassische Kartenbeschriftung Poor, sloppy, amateurisch type placement is irresponsible; it spoils even the best image and impedes reading. (E. Imhof 75) Kartografie hat lange Erfahrung mit manueller Beschriftung in Karten. einige Richtlinien: c David Imus 3

4 Klassische Kartenbeschriftung Poor, sloppy, amateurisch type placement is irresponsible; it spoils even the best image and impedes reading. (E. Imhof 75) c David Imus Kartografie hat lange Erfahrung mit manueller Beschriftung in Karten. einige Richtlinien: neben, über oder unter dem Objekt am besten oben rechts Überlappungen und Überdeckungen vermeiden eindeutige grafische Zuordnung... 3

5 Klassische Kartenbeschriftung Poor, sloppy, amateurisch type placement is irresponsible; it spoils even the best image and impedes reading. (E. Imhof 75) c David Imus Kartografie hat lange Erfahrung mit manueller Beschriftung in Karten. einige Richtlinien: neben, über oder unter dem Objekt am besten oben rechts Überlappungen und Überdeckungen vermeiden eindeutige grafische Zuordnung...! lässt sich leicht in ein Problem der algorithmischen Geometrie zur automatischen Platzierung von Labeln übersetzen 3

6 Klassische Kartenbeschriftung Poor, sloppy, amateurisch type placement is irresponsible; it spoils even the best image and impedes reading. (E. Imhof 75) Viele andere Eigenschaften tragen zur Beschriftungsqualität bei: Kartografie hat lange Erfahrung mit Font, Farbe manueller Beschriftung in Karten. fett/kursiv etc. einige Richtlinien: Größe, Zeichenabstand neben, über oder unter dem Objekt Hier: nur geometrische Platzierung am besten oben rechts Überlappungen und Überdeckungen vermeiden eindeutige grafische Zuordnung c David Imus... Beispiele von J B Krygier! lässt sich leicht in ein Problem der algorithmischen Geometrie zur automatischen Platzierung von Labeln übersetzen 3

7 Geometrische Beschriftungsmodelle Geg: Ges: n Punkte in der Ebene und für jeden Punkt ein Label repräsentiert als Rechteck (bounding box) finde zulässige? Beschriftung für eine maximale Teilmenge der Punkte, so dass sich keine zwei Label schneiden (MaxNumber) settlement citytown hill village MaxNumber 4

8 Geometrische Beschriftungsmodelle Geg: Ges: oder n Punkte in der Ebene und für jeden Punkt ein Label repräsentiert als Rechteck (bounding box) finde zulässige? Beschriftung für eine maximale Teilmenge der Punkte, so dass sich keine zwei Label schneiden (MaxNumber) finde zulässige? Beschriftung aller Label, so dass sich keine zwei Label schneiden und die Schriftgröße maximal ist (MaxSize) settlement citytown hill village MaxNumber settlement town city hill village MaxSize 4

9 Geometrische Beschriftungsmodelle Geg: Ges: oder n Punkte in der Ebene und für jeden Punkt ein Label repräsentiert als Rechteck (bounding box) finde zulässige? Beschriftung für eine maximale Teilmenge der Punkte, so dass sich keine zwei Label schneiden (MaxNumber) finde zulässige? Beschriftung aller Label, so dass sich keine zwei Label schneiden und die Schriftgröße maximal ist (MaxSize) settlement citytown hill village MaxNumber settlement town city hill village MaxSize? Was ist eine zulässige Beschriftung? diskrete Modelle Slider-Modelle 1P 2P 4P 1S 2S 4S 4

10 Geometrische Beschriftungsmodelle Geg: Ges: oder n Punkte in der Ebene und für jeden Punkt ein Label repräsentiert als Rechteck (bounding box) finde zulässige? Beschriftung für eine maximale Teilmenge der Punkte, so dass sich keine zwei Label schneiden (MaxNumber) finde zulässige? Beschriftung aller Label, so dass sich keine zwei Label schneiden und die Schriftgröße maximal ist (MaxSize) settlement citytown hill village settlement town city hill HEUTE: MaxNumber im Slider-Modell village MaxNumber MaxSize? Was ist eine zulässige Beschriftung? diskrete Modelle Slider-Modelle 1P 2P 4P 1S 2S 4S 4

11 Teil 1: Komplexität 5

12 Komplexität Ziel: Das 4-Slider MaxNumber Beschriftungsproblem ist NP-vollständig. Idee: Reduktion von einer speziellen geometrischen 3-Sat Variante, sog. planares 3-Sat 6

13 Planares 3-Sat Erinnerung 3-Sat: Gegeben eine Boolesche Formel ' = c 1 ^ ^c m in konjunktiver Normalform mit drei Literalen pro Klausel c i = x _ y _ z ist es NP-vollständig zu entscheiden, ob ' eine erfüllende Belegung besitzt. 7

14 Planares 3-Sat Erinnerung 3-Sat: Gegeben eine Boolesche Formel ' = c 1 ^ ^c m in konjunktiver Normalform mit drei Literalen pro Klausel c i = x _ y _ z ist es NP-vollständig zu entscheiden, ob ' eine erfüllende Belegung besitzt. Def: Eine 3-Sat Formel ' heißt planar, falls der induzierte Variablen-Klausel-Graph H ' =(V,E) planar ist: V : Menge der Klauseln und Variablen E: Vorkommnisse von Variablen in Klauseln 7

15 Planares 3-Sat Erinnerung 3-Sat: Gegeben eine Boolesche Formel ' = c 1 ^ ^c m in konjunktiver Normalform mit drei Literalen pro Klausel c i = x _ y _ z ist es NP-vollständig zu entscheiden, ob ' eine erfüllende Belegung besitzt. Def: Eine 3-Sat Formel ' heißt planar, falls der induzierte Variablen-Klausel-Graph H ' =(V,E) planar ist: V : Menge der Klauseln und Variablen E: Vorkommnisse von Variablen in Klauseln Satz: Das 3-Sat Problem für planare Boolesche Formeln ist weiterhin NP-vollständig. (Lichtenstein 82) 7

16 Zeichnung von H ' H ' besitzt eine planare Zeichnung, bei der die Variablen auf einer Horizontalen angeordnet sind und die Klauseln E-förmig von oben oder unten zu den Variablen verbunden sind. x 1 _ x 2 _ x 3 x 1 _ x 3 _ x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 _ x 2 _ x 4 x 2 _ x 3 _ x 4 8

17 Zeichnung von H ' H ' besitzt eine planare Zeichnung, bei der die Variablen auf einer Horizontalen angeordnet sind und die Klauseln E-förmig von oben oder unten zu den Variablen verbunden sind. x 1 _ x 2 _ x 3 x 1 _ x 3 _ x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 _ x 2 _ x 4 x 2 _ x 3 _ x 4 Reduktionsidee: finde spezielle Punkt- und Labelmengen als Gadgets für Variablen und Klauseln in der Zeichnung, so dass gilt ' erfüllbar, alle Punkte in Labelinginstanz beschriftbar 8

18 Variablengadget 4PunktealsQuadratecken, leicht gedreht, Seitenlänge 1/2+ Label sind Quadrate der Länge

19 Variablengadget 4PunktealsQuadratecken, leicht gedreht, Seitenlänge 1/2+ Label sind Quadrate der Länge Wie könnte man die vier Punkte beschriften? 9

20 Variablengadget 4PunktealsQuadratecken, leicht gedreht, Seitenlänge 1/2+ Label sind Quadrate der Länge 1 zwei fundamental verschiedene Beschriftungen möglich Kodierung der Wahrheitswerte true (mit etwas Spiel) 9

21 Variablengadget 4PunktealsQuadratecken, leicht gedreht, Seitenlänge 1/2+ Label sind Quadrate der Länge 1 zwei fundamental verschiedene Beschriftungen möglich Kodierung der Wahrheitswerte false (fast fest) 9

22 Variablengadget 4PunktealsQuadratecken, leicht gedreht, Seitenlänge 1/2+ Label sind Quadrate der Länge 1 zwei fundamental verschiedene Beschriftungen möglich Kodierung der Wahrheitswerte Variablen-Gadgets im zick-zack Muster false (fast fest) 9

23 Variablengadget 4PunktealsQuadratecken, leicht gedreht, Seitenlänge 1/2+ Label sind Quadrate der Länge 1 zwei fundamental verschiedene Beschriftungen möglich Kodierung der Wahrheitswerte Variablen-Gadgets im zick-zack Muster false (fast fest) 9

24 Variablengadget 4PunktealsQuadratecken, leicht gedreht, Seitenlänge 1/2+ Label sind Quadrate der Länge 1 zwei fundamental verschiedene Beschriftungen möglich Kodierung der Wahrheitswerte Variablen-Gadgets im zick-zack Muster true (mit etwas Spiel) 9

25 Klauselgadget Nachbildung der E-Form der Klauseln aus Zeichnung von H ' Funktionsweise: falsche Literale drücken Labelkette nach oben wahre Literale ohne Druck zwei Label im Klauselzentrum selektieren wahres Literal Selektoren schneiden sich, alle Literale falsch 10

29 Klauselgadget Nachbildung der E-Form der Klauseln aus Zeichnung von H ' a x c x a z c z b x Variablenanschluss: 3Adapterpunktejenach Vorzeichen des Literals i wahr: Label für b i unten falsch: Label für b i oben b z 10 x z

32 Klauselgadget Nachbildung der E-Form der Klauseln aus Zeichnung von H ' 10 x y z

33 Klauselgadget Nachbildung der E-Form der Klauseln aus Zeichnung von H ' 10 x y z

34 Komplexität Satz 1: Es ist NP-vollständig zu entscheiden, ob in einer gegebenen Instanz I im 4-Slider Modell alle Punkte beschriftet werden können, selbst wenn alle Label Einheitsquadrate sind. (van Kreveld, Strijk, Wol 99) 11

35 Komplexität Satz 1: Es ist NP-vollständig zu entscheiden, ob in einer gegebenen Instanz I im 4-Slider Modell alle Punkte beschriftet werden können, selbst wenn alle Label Einheitsquadrate sind. (van Kreveld, Strijk, Wol 99) Beweis: nach Konstruktion gilt Formel ' erfüllbar, Instanz I ' beschriftbar Größe von I ' quadratisch in Klauselanzahl 11

36 Komplexität Satz 1: Es ist NP-vollständig zu entscheiden, ob in einer gegebenen Instanz I im 4-Slider Modell alle Punkte beschriftet werden können, selbst wenn alle Label Einheitsquadrate sind. (van Kreveld, Strijk, Wol 99) Beweis: nach Konstruktion gilt Formel ' erfüllbar, Instanz I ' beschriftbar Größe von I ' quadratisch in Klauselanzahl Warum liegt das Problem in NP? 11

37 Teil 2: Approximationsalgorithmen 12

38 Greedy-Algorithmus Geg: Punktmenge P = {p 1,...,p n }, Menge rechteckiger Label L = {l 1,...l n } mit Höhe 1 und variabler Breite Modell: 4-Slider 13

39 Greedy-Algorithmus Geg: Punktmenge P = {p 1,...,p n }, Menge rechteckiger Label L = {l 1,...l n } mit Höhe 1 und variabler Breite Modell: 4-Slider Def: Für Menge P 0 von Punkten mit bereits platzierten Labeln heißt Label l für Punkt p 2 P \ P 0 linkestes Label (in P \ P 0 ), falls seine rechte Kante unter allen noch konfliktfrei platzierbaren Labeln am weitesten links liegt. linkestes Label 13

40 Greedy-Algorithmus Geg: Punktmenge P = {p 1,...,p n }, Menge rechteckiger Label L = {l 1,...l n } mit Höhe 1 und variabler Breite Modell: 4-Slider Def: Für Menge P 0 von Punkten mit bereits platzierten Labeln heißt Label l für Punkt p 2 P \ P 0 linkestes Label (in P \ P 0 ), falls seine rechte Kante unter allen noch konfliktfrei platzierbaren Labeln am weitesten links liegt. Algorithmus Greedy4S(P,L) while linkestes Label l existiert do platziere l linkest möglich linkestes Label 13

41 Übungen Algorithmus Greedy4S(P,L) while linkestes Label l existiert do platziere l linkest möglich 1) Bestimmen Sie den Approximationsfaktor von Greedy4S für Label mit Einheitshöhe 1. 14

42 Übungen Algorithmus Greedy4S(P,L) while linkestes Label l existiert do platziere l linkest möglich 1) Bestimmen Sie den Approximationsfaktor von Greedy4S für Label mit Einheitshöhe 1. 2) Nehmen Sie nun an, dass die Label unterschiedliche Höhen besitzen, wobei h min die kleinste Höhe und h max die größte Höhe bezeichnet. Welchen Approximationsfaktor liefert Greedy4S unter dieser Annahme? 14

43 Übungen Algorithmus Greedy4S(P,L) while linkestes Label l existiert do platziere l linkest möglich 1) Bestimmen Sie den Approximationsfaktor von Greedy4S für Label mit Einheitshöhe 1. 2) Nehmen Sie nun an, dass die Label unterschiedliche Höhen besitzen, wobei h min die kleinste Höhe und h max die größte Höhe bezeichnet. Welchen Approximationsfaktor liefert Greedy4S unter dieser Annahme? Lemma 1: Greedy4S berechnet eine Faktor-1/2 Approximation für Label mit Einheitshöhe und allgemein eine Faktor-(dh max /h min e + 1) 1 Approximation. 14

44 Laufzeit Eine naive Implementierung von Greedy4S benötigt O(n 3 ) Zeit. Ziel: Nutze geeignete geometrische Datenstrukturen um die Laufzeit auf O(n log n) zu senken. 15

45 Notation w i 1 Referenzpunkt p i l i 16

46 Notation p i 16

47 Notation p i 16

48 Notation p i 16

49 Notation p i 16

50 Notation p i 16

51 Notation p i 16

52 Notation p i 16

53 Notation p i 16

54 Notation p i 16

55 Notation mögl. Positionen h2i 1 v 2i 1 v 2i h 2i p i l i 16

56 Notation mögl. Positionen h2i 1 v 2i 1 v 2i h 2i p i l i l i l i l 0 i Label l i und erweitertes Label l i 16

57 Notation mögl. Positionen h2i 1 v 2i 1 v 2i h 2i p i l i l i l i l 0 i Label l i und erweitertes Label l i kein Referenzpunkt darf in l i liegen 16

58 Notation mögl. Positionen h2i 1 v 2i 1 v 2i h 2i p i l i l i l i l 0 i Label l i und erweitertes Label l i kein Referenzpunkt darf in l i liegen da immer linkestes Label platziert wird, kein Referenzpunkt links von l i 16

59 Notation mögl. Positionen h2i 1 v 2i 1 v 2i h 2i p i l i F Grenze F als right envelope der platzierten erweiterten Label 16

60 Grenze und linkestes Label Zur Bestimmung des nächsten linkesten Labels genügt es F und die Strecken h 2i 1,h 2i,v 2i 1,v 2i für alle Punkte p i rechts von F zu betrachten. Menge H der horizontalen Strecken Menge V der vertikalen Strecken H right H: rechts von F H int H: schneidenf 17

61 Grenze und linkestes Label Zur Bestimmung des nächsten linkesten Labels genügt es F und die Strecken h 2i 1,h 2i,v 2i 1,v 2i für alle Punkte p i rechts von F zu betrachten. Menge H der horizontalen Strecken Menge V der vertikalen Strecken H right H: rechts von F H int H: schneidenf V int,right V :enthaltenpunkt rechts von F linkeste Punkte im grünen Bereich der Strecken sind zulässige Kandidaten 17

62 Grenze und linkestes Label Zur Bestimmung des nächsten linkesten Labels genügt es F und die Strecken h 2i 1,h 2i,v 2i 1,v 2i für alle Punkte p i rechts von F zu betrachten. Menge H der horizontalen Strecken Menge V der vertikalen Strecken H right H: rechts von F H int H: schneidenf V int,right V :enthaltenpunkt rechts von F linkeste Punkte im grünen Bereich der Strecken sind zulässige Kandidaten Zur e zienten Verwaltung der linkesten Kandidaten benötigen wir mehrere geometrische Datenstrukturen. 17

63 Datenstrukturen 1) Red-Black Trees selbstbalancierender binärer Suchbaum der Größe O(n) Suchen, Einfügen, Löschen, Auftrennen, Konkatenieren in O(log n) Zeit 18

64 Datenstrukturen 1) Red-Black Trees selbstbalancierender binärer Suchbaum der Größe O(n) Suchen, Einfügen, Löschen, Auftrennen, Konkatenieren in O(log n) Zeit 2) Heaps baumbasierte Datenstruktur mit heap-eigenschaft key(parent(a)) apple key(a) für alle A Größe O(n) find-min in O(1) delete-min, Einfügen, Löschen in O(log n) 18

65 Datenstrukturen 3) Priority Search Trees (PST) (s. Kap in [BCKO08]) Datenstruktur für Bereichsabfragen der Form [ 1,x] [y, y 0 ] 19

66 Datenstrukturen 3) Priority Search Trees (PST) (s. Kap in [BCKO08]) Datenstruktur für Bereichsabfragen der Form [ 1,x] [y, y 0 ] Heap-Eigenschaft für x Suchbaum für y Größe O(n) Einfügen, Löschen in O(log n) Suchen in O(k + log n)

67 Datenstrukturen 3) Priority Search Trees (PST) (s. Kap in [BCKO08]) Datenstruktur für Bereichsabfragen der Form [ 1,x] [y, y 0 ] Heap-Eigenschaft für x Suchbaum für y Größe O(n) Einfügen, Löschen in O(log n) Suchen in O(k + log n)

68 Horizontale Strecken 1) Menge H right speichere für jede Strecke in H right deren rechten Endpunkt (= linkest mögliche Position der rechten Labelseite) Datenstruktur: min-heap H right 20

69 Horizontale Strecken 1) Menge H right speichere für jede Strecke in H right deren rechten Endpunkt (= linkest mögliche Position der rechten Labelseite) Datenstruktur: min-heap H right 2) Menge H int Red-Black Tree T i für jedes vertikale Segment f i von F speichere Strecken aus H int,dief i schneiden sortiert nach y-koordinaten in den Blättern von T i speichere zusätzlich Labelbreite an jedem Blatt an inneren Knoten minimale Labelbreite im Teilbaum min-heap H int für linkestes Label in jedem T i 20

70 Vertikale Strecken 3) Menge V int,right speichere Obermenge V 0 mit V int,right V 0 min-heap H V der Menge V 0 geordnet nach x-koordinaten der rechten Labelgrenzen falls Minimum in H V nicht in V int,right liegt, verwerfe es und wähle nächstes Minimum (lazy Strategie) 21

71 Vertikale Strecken 3) Menge V int,right speichere Obermenge V 0 mit V int,right V 0 min-heap H V der Menge V 0 geordnet nach x-koordinaten der rechten Labelgrenzen falls Minimum in H V nicht in V int,right liegt, verwerfe es und wähle nächstes Minimum (lazy Strategie) Das linkeste Label für den Greedy-Algorithmus ist eines der drei Minima von H right, H int und H V 21

72 Updates F f new 22

73 Updates F f new 1) Updates von H right 22

74 Updates F f new 1) Updates von H right! nutze PST für linke Endpunkte der Strecken 22

75 Updates F f new 1) Updates von H right 2) Updates von H int! nutze PST für linke Endpunkte der Strecken 22

76 Updates F f new 1) Updates von H right 2) Updates von H int! nutze PST für linke Endpunkte der Strecken! nutze PST für rechte Endpunkte der Strecken! red black trees und H int an neues F anpassen 22

77 Updates F f new 1) Updates von H right! nutze PST für linke Endpunkte der Strecken 2) Updates von H int 3) Updates von V int,right bzw. von V 0! nutze PST für rechte Endpunkte der Strecken! red black trees und H int an neues F anpassen 22

78 Updates F f new 1) Updates von H right! nutze PST für linke Endpunkte der Strecken 22 2) Updates von H int 3) Updates von V int,right bzw. von V 0! nutze PST für rechte Endpunkte der Strecken! red black trees und H int an neues F anpassen! lazy deletion in V 0,aberredblacktreeT V für vertikale Strecken von F mit min. x-wert in Teilbäumen zur Entscheidung, ob v 2 V int,right

79 Algorithmus von Van Kreveld, Strijk, Wol while H right, H int oder H V nicht leer do v find-min(h V ) while v links von F do delete-min(h V ); v find-min(h V ) l i linkestes Label aus H right, H int und H V füge l i zur Beschriftung hinzu f new rechte Kante von l i update F und T V mit f new suche mit der Region links von f new in P left und P right und update H right, P left, H int, T i s und P right wie beschrieben entferne alle Verweise auf p i aus den Datenstrukturen 23

80 Algorithmus von Van Kreveld, Strijk, Wol while H right, H int oder H V nicht leer do v find-min(h V ) while v links von F do delete-min(h V ); v find-min(h V ) l i linkestes Label aus H right, H int und H V füge l i zur Beschriftung hinzu f new rechte Kante von l i update F und T V mit f new suche mit der Region links von f new in P left und P right und update H right, P left, H int, T i s und P right wie beschrieben entferne alle Verweise auf p i aus den Datenstrukturen Satz 2: Der Algorithmus Greedy4S(P, L) lässt sich mit O(n log n) Zeitbedarf und O(n) Platzbedarf implementieren. Die Lösung enthält mindestens halb so viele Label wie die optimale Lösung. 23

81 Übungen 1) Überlegen Sie sich, wie man den O(n log n)-algorithmus auf Label mit unterschiedlichen Höhen anpassen kann. Ändert sich dadurch die Laufzeit? 24

82 Übungen 1) Überlegen Sie sich, wie man den O(n log n)-algorithmus auf Label mit unterschiedlichen Höhen anpassen kann. Ändert sich dadurch die Laufzeit? 2) Betrachten Sie nun ein beliebiges fixed-position Modell für Label mit Einheitshöhe. Modifizieren Sie den Algorithmus für diesen Fall. Ändern sich dadurch Laufzeit und/oder Approximationsfaktor? 24

83 Ausblick Van Kreveld, Strijk und Wol geben auch ein polynomielles Approximationsschema (PTAS) für das Beschriften im Slider-Modell an. Für Approximationsgüte (1 ") ist die Laufzeit O(n 4/"2 ). 27

84 Ausblick Van Kreveld, Strijk und Wol geben auch ein polynomielles Approximationsschema (PTAS) für das Beschriften im Slider-Modell an. Für Approximationsgüte (1 ") ist die Laufzeit O(n 4/"2 ). Ähnliche Ergebnisse (NP-vollständig, Approximation, PTAS) gelten auch für fixed-position-modelle, z.b. (Agarwal et al. 98) 27

85 Ausblick Van Kreveld, Strijk und Wol geben auch ein polynomielles Approximationsschema (PTAS) für das Beschriften im Slider-Modell an. Für Approximationsgüte (1 ") ist die Laufzeit O(n 4/"2 ). Ähnliche Ergebnisse (NP-vollständig, Approximation, PTAS) gelten auch für fixed-position-modelle, z.b. (Agarwal et al. 98) Slider-Modelle erlauben in realen Instanzen bis zu 15% mehr platzierte Labels als ein 4-Positionen-Modell. 4P 4S 27