Algorithmen zur Visualisierung von Graphen

Transkript

1 Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Teile & Herrsche-Algorithmen: Bäume und serien-parallele Graphen Vorlesung im Wintersemester 20/

2 Algorithmen zum Zeichnen von Bäumen

3 Anwendbarkeit Gut bei induktiv oder rekursiv definierten Familien von Graphen Binärbaum mit Wurzel:. Zeichne linken Teilbaum 2. Zeichne rechten Teilbaum 3. füge zusammen + Wurzel tiefe(v): Abstand zur Wurzel Durchlaufreihenfolgen preorder inorder postorder

4 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8)

5 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8)

6 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8) 2 Phasen:. postorder (bottom-up): Konturen und x-offsets zum Vorgänger einsammeln 2. preorder (top-down): absolute Koordinaten ausrechnen

7 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8) 2 Phasen:. postorder (bottom-up): Konturen und x-offsets zum Vorgänger einsammeln 2. preorder (top-down): absolute Koordinaten ausrechnen Kontur: verkettet Liste von Knoten (-Koordinaten)

8 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8) Phase :. Bearbeite T l (v) und T r (v) 2. Laufe parallel linke Kontur von T r (v) und rechte Kontur von T l (v) ab 3. Bestimmt daraus d v, den horizontalen Minimalabstand von v l und v r 4. x-offset(v l ) = d v 2, x-offset(v r ) = d v 2 5. Baue linke Kontur von T v aus: v, linke Kontur von T l (v) und evtl. überhängendes Teilstück von linker Kontur von T r (v) 6. Rechte Kontur analog

9 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 8) Phase 2. Setze y-koordinate y(v) = tiefe(v) 2. Setze x(v) = 0 für Wurzel und rekursiv die x-koordinate x(v l ) und x(v r ) der Nachfolger von v auf x(v)+ x-offset(x(v l )) bzw. x(v)+ x-offset(x(v r )) Zusammenfassung: Algorithmus berechnet Binärbaumlayout: geradliniges Gitterlayout tiefengeschichtet, kreuzungsfrei Knoten derselben Tiefe haben Abstand 2 Knoten sind über Nachfolgern zentriert linke/rechte Nachfolger sind strikt links/rechts identische Teilbäume gleich gezeichnet

10 Breitenminimierung von Binärbaumlayouts Satz (Supowit, Reingold) Die Breitenminimierung von Binärbaumlayouts ist NP-schwer Beweis: Reduktion von 3SAT F = C C m, C i = y i, y i,2 y i,3, y i,j {x,..., x n, x,..., x n } Konstruiere Baum T (F ), der genau dann Layout mit Breite W 24 hat, wenn F erfüllbar ist. Baum T (x k ) für Var. x k : p p q 0 q 0 q k q k

11 Breitenminimierung von Binärbaumlayouts Satz (Supowit, Reingold) Die Breitenminimierung von Binärbaumlayouts ist NP-schwer Beweis: Reduktion von 3SAT F = C C m, C i = y i, y i,2 y i,3, y i,j {x,..., x n, x,..., x n } Konstruiere Baum T (F ), der genau dann Layout mit Breite W 24 hat, wenn F erfüllbar ist. Baum T (x k ) für Var. x k : p q 0 q k p q 0 q k Baum T i,j u u l Höhe l = 3(i ) + j

12 Breitenminimierung von Binärbaumlayouts Satz (Supowit, Reingold) Die Breitenminimierung von Binärbaumlayouts ist NP-schwer Beweis: Reduktion von 3SAT F = C C m, C i = y i, y i,2 y i,3, y i,j {x,..., x n, x,..., x n } Konstruiere Baum T (F ), der genau dann Layout mit Breite W 24 hat, wenn F erfüllbar ist. Baum T (x k ) für Var. x k : p q 0 q k p q 0 q k Baum T i,j u u l Höhe l = 3(i ) + j Literalbaum: p T (x k ) y i,j = x k b T i,j T (y i,j ) für y i,j = x k b T (x k ) 6 6 T i,j

13 Breitenminierung II Klauselbaum T (C i ): T (y i, ) T (y i,2 ) T (y i,3 ) Erfüllte Klausel hat Breite höchstens = 24 Beachte: alle Literalbäume haben volle Breite auf vierter Ebene von oben Nicht erfüllte Klausel: = 25

14 Breitenminierung II Klauselbaum T (C i ): Formelbaum T (F ) T (C ) b T (y i, ) T (y i,2 ) T (y i,3 ) Erfüllte Klausel hat Breite höchstens = 24 Beachte: alle Literalbäume haben volle Breite auf vierter Ebene von oben T (C 2 ) b T (C m ) Nicht erfüllte Klausel: = 25 Breite 24 F erfüllbar

15 HV-Bäume Idee: Zeichne Teilbäume in Rechtecke, Wurzel liegt in linker oberer Ecke Nachfolger liegen vertikal unterhalb bzw. horizontal rechts Induktionsanfang: Induktionsschritt: kombiniere Layouts horizontale Kombination (Fläche: 3 7) Berechne optimale Zeichnung mit dynamischer Programmierung vertikale Kombination (Fläche: 4 6)

16 Rechtslastige hv-layouts Rechtslastiges hv-layout: Wähle in jedem Schritt Horizontal-Kombination Platziere größeren Teilbaum rechts Lemma Höhe eines rechtslastigen hv-layouts für Baum mit n Knoten ist höchstens log n. Beweis: Vertikale Kanten haben Länge w Knoten mit minimaler y-koordinate betrachte eindeutigen Pfad P zur Wurzel für jede vertikale Kante (u, v) auf P : T (v) > 2T (u) P enthält höchstens log n solcher Kanten Platzbedarf: O(n log n)

17 Radiale Baumlayouts

18 Beispiel Radiallayout

19 Beispiel Radiallayout

20 Beispiel Radiallayout

21 Beispiel Radiallayout

22 Beispiel Radiallayout

23 Beispiel Radiallayout

24 Beispiel Radiallayout

25 Beispiel Radiallayout

26 Verlassen des Kreisringsektors

27 Verlassen des Kreisringsektors τ ρ i ρ i+ cos τ = ρ i ρ i+

28 Verlassen des Kreisringsektors τ ρ i ρ i+ cos τ = ρ i ρ i+

29 Serien-parallele Graphen

30 Serien-parallele Graphen Graph G heißt serien-parallel, wenn er aus genau zwei Knoten (uelle s, Senke t sowie der Kante (s, t) besteht oder aus zwei serien-parallelen Graphen G, G 2 mit uellen s, s 2 und Senken t, t 2 durch eine der folgenden Kombinationen hervorgeht serielle Komposition: Identifiziere t und s 2, s neue uelle, T 2 neue Senke t 2 parallele Komposition: Identifiziere s, s 2 als neue uelle Identifiziere t, t 2 als neue Senke t = t 2 t s t = s 2 s s = s 2

31 Serien-parallele Graphen II Lemma Serien-parallele Graphen sind azyklisch und planar. Beschreibung des rekursiven Aufbaus durch binären Baum: Blätter sind Kanten (-Knoten) Innere Knoten sind S- oder P-Knoten (vgl. SPR-Baum)

32 Serienparallele Graphen: Dekompositionsbaum

33 Serienparallele Graphen: Dekompositionsbaum P

34 Serienparallele Graphen: Dekompositionsbaum P P

35 Serienparallele Graphen: Dekompositionsbaum S P P

36 Serienparallele Graphen: Dekompositionsbaum S P P S

37 Serienparallele Graphen: Dekompositionsbaum P S P S S

38 Serienparallele Graphen: Dekompositionsbaum P S P S S S

39 Serienparallele Graphen: Dekompositionsbaum P S P S S P S

40 Serienparallele Graphen: Dekompositionsbaum P S P S S P S S

41 Serienparallele Graphen: Dekompositionsbaum P S P S S P S S S

42 SP-Graphen in Anwendungen Ablaufdiagramme PERT-Diagramme (Program Evaluation and Review Technique) Außerdem: Linearzeitalgorithmen für sonst NP-vollständige Probleme (z.b. Maximum Independent Set)

43 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ).

44 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ). Beweis: t n+ t 0 t n G n G 0 s 0 s n G n+ s n+

45 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ). Beweis: t n+ t 0 t n tn G n G n s n G 0 s 0 s n G n+ s n+ sn

46 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ). Beweis: t n+ t n+ t 0 t n tn G n G n s n G 0 s 0 s n G n+ s n+ sn

47 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ). Beweis: t n+ t n+ t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ G 0 G n+ sn

48 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ). Beweis: t n+ t n+ t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ G 0 G n+ sn

49 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ). Beweis: t n+ t n+ t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ G 0 G n+ sn

50 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ). Beweis: t n+ t n+ t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ G 0 G n+ sn

51 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ). Beweis: t n+ t n+ 2 t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ Π G 0 G n+ sn

52 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ). Beweis: t n+ t n+ 2 t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ Π G 0 G n+ sn

53 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ). Beweis: t n+ t n+ 2 t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ Π G 0 G n+ sn

54 Untere Schranke für die Fläche Satz Jedes kreuzungsfreie Aufwärtslayout für geordnete einfache serien-parallele Graphen mit n Knoten benbötigt im worst case ein Gitter der Größe Ω(4 n ). Beweis: t n+ t n+ 2 t 0 t n tn G n G n s n s 0 s n s n+ s n+ Π G 0 G n+ sn

55 Linkslastige Ordnungen Ordnung heißt linkslastig, wenn -Knoten nur als rechte Nachfolger von P-Knoten vorkommen. Satz Wenn G serien-parallel, einfach und linkslastig geordnet, so besitzt G Zeichnung der Größe O(n 2 ). Komponenten des Dekompositionsbaums: t Layout von G passt in rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck mit vertikaler Basis, Schenkel nach links. uelle in unterer Ecke, Senke in oberer Ecke, linke Ecke frei rechtester Nachbar von s t (t s) liegt unterhalb (oberhalb) der Mitte v v v Nachbar der uelle (Senke) kein Knoten liegt im Parallelogramm von v und s (t). s

56 Konstruktion -Knoten (Induktionsanfang): s t

57 Konstruktion -Knoten (Induktionsanfang): s t t (G 2 ) S-Knoten (serielle Komposition): (G ) s

58 Konstruktion -Knoten (Induktionsanfang): s t t (G 2 ) S-Knoten (serielle Komposition): (G ) P-Knoten (parallele Komposition): t (G 2 ) (G ) s s

59 Konstruktion -Knoten (Induktionsanfang): s t t (G 2 ) S-Knoten (serielle Komposition): (G ) P-Knoten (parallele Komposition): t (G 2 ) (G ) s Eigenschaften: kreuzungsfrei und aufwärts höchstens quadratische Fläche s