Schematisierung von Karten

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1 Vorlesung Algorithmische Kartografie Schematisierung von (Straßen-)Karten LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg

2 Schematische Netzkarten Anforderungen: sehr starke Vereinfachung/Abstraktion Erkennbarkeit erhalten Einschra nkung der Kantenrichtungen Zeichne eingebetteten Graphen mit festen Knotenpositionen Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie

3 Kurzübersicht Graphenzeichnen Graph G = (V, E) besteht aus Menge von Knoten V und Menge von Kanten E V V. V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7, v 8, v 9, v 10 } E = {(v 1, v 2 ), (v 1, v 8 ), (v 2, v 3 ), (v 3, v 5 ), (v 3, v 9 ), (v 3, v 10 ), (v 4, v 5 ), (v 4, v 6 ), (v 4, v 9 ), (v 5, v 8 ), (v 6, v 8 ), (v 6, v 9 ), (v 7, v 8 ), (v 7, v 9 ), (v 8, v 10 ), (v 9, v 10 )}

4 Kurzübersicht Graphenzeichnen Graph G = (V, E) besteht aus Menge von Knoten V und Menge von Kanten E V V. V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, v 7, v 8, v 9, v 10 } E = {(v 1, v 2 ), (v 1, v 8 ), (v 2, v 3 ), (v 3, v 5 ), (v 3, v 9 ), (v 3, v 10 ), (v 4, v 5 ), (v 4, v 6 ), (v 4, v 9 ), (v 5, v 8 ), (v 6, v 8 ), (v 6, v 9 ), (v 7, v 8 ), (v 7, v 9 ), (v 8, v 10 ), (v 9, v 10 )} Eine Graphenzeichnung ist eine Abbildung Γ in die Ebene R 2 jeder Knoten v V wird abgebildet auf Punkt Γ(v) jede Kante e = (u, v) E wird abgebildet auf Kurve Γ(e) mit Endpunkten Γ(u) und Γ(v).

5 Das Graph-Layout-Problem Metro-Line Crossing Minimization (MLCM) Graph-Layout-Problem geg: Graph G = (V, E) ges: schöne Zeichnung Γ

6 Das Graph-Layout-Problem Metro-Line Graph-Layout-Problem Crossing Minimization (MLCM) geg: Graph G = (V, E) ges: schöne Zeichnung Γ Aber was heißt schön? definiere Kriterien für schöne Zeichnungen

7 Das Graph-Layout-Problem Metro-Line Graph-Layout-Problem Crossing Minimization (MLCM) geg: Graph G = (V, E) ges: schöne Zeichnung Γ Aber was heißt schön? definiere Kriterien für schöne Zeichnungen Metro-Line 1) Zeichenkonventionen Crossing Minimization (MLCM) zwingende Layouteigenschaften, z.b. geradlinige Kanten eingeschränkte Kantenrichtungen Gitterzeichnungen kreuzungsfrei

8 Das Graph-Layout-Problem Metro-Line Graph-Layout-Problem Crossing Minimization (MLCM) geg: Graph G = (V, E) ges: schöne Zeichnung Γ Aber was heißt schön? definiere Kriterien für schöne Zeichnungen 1) Zeichenkonventionen Metro-Line Crossing Minimization (MLCM) 2) Ästhetikkriterien Optimierungskriterien, z.b. Anzahl Kreuzungen/Knicke uniforme Kantenlängen Winkelauflösung...

9 Das Graph-Layout-Problem Metro-Line Graph-Layout-Problem Crossing Minimization (MLCM) geg: Graph G = (V, E) ges: schöne Zeichnung Γ Aber was heißt schön? definiere Kriterien für schöne Zeichnungen 1) Zeichenkonventionen Metro-Line Crossing Minimization (MLCM) 2) Ästhetikkriterien Metro-Line Crossing Minimization (MLCM) 3) Lokale Nebenbedingungen eingeschränkte Positionen für Nachbarknoten Bedingungen für Knotengruppen...

10 Das Graph-Layout-Problem Metro-Line Graph-Layout-Problem Graph-Layout-Problem Crossing Minimization 2.0 (MLCM) geg: Graph geg: Graph G = (V, G = E) (V, E) ges: schöne ges: Zeichnung Γ, Γdie Zeichenkonventionen erfüllt Ästhetikkriterien Aber was optimiert heißt schön? lokale definiere Nebenbedingungen Kriterien für schöne erfüllt Zeichnungen 1) Zeichenkonventionen Metro-Line Crossing Minimization (MLCM) 2) Ästhetikkriterien Metro-Line 3) Lokale Nebenbedingungen Crossing Minimization (MLCM) eingeschränkte Positionen für Nachbarknoten Bedingungen für Knotengruppen...

11 Das Graph-Layout-Problem Metro-Line Graph-Layout-Problem Graph-Layout-Problem Crossing Minimization 2.0 (MLCM) geg: Graph geg: Graph G = (V, G = E) (V, E) ges: schöne ges: Zeichnung Γ, Γdie Zeichenkonventionen erfüllt Ästhetikkriterien Aber was optimiert heißt schön? lokale definiere Nebenbedingungen Kriterien für schöne erfüllt Zeichnungen 1) Zeichenkonventionen G kann geometrisch oder kombinat. Metro-Line 2) Ästhetikkriterien Crossing Minimization eingebetteter (MLCM) Graph sein Metro-Line 3) Lokale Nebenbedingungen Crossing Minimization (MLCM) eingeschränkte Positionen für Nachbarknoten Bedingungen für Knotengruppen...

12 Schematisierung Hier bedeutet Schematisierung das Zeichnen von Graphen mit diskreten und oft uniformen Winkeleinschränkungen für die Kantenrichtungen/-steigungen.

13 Schematisierung Hier bedeutet Schematisierung das Zeichnen von Graphen mit diskreten und oft uniformen Winkeleinschränkungen für die Kantenrichtungen/-steigungen. Beispiele:... rektilinear hexilinear oktilinear

14 Schematisierung Hier bedeutet Schematisierung das Zeichnen von Graphen mit diskreten und oft uniformen Winkeleinschränkungen für die Kantenrichtungen/-steigungen. Beispiele: Winkeleinschränkungen meist als Zeichenkonventionen modelliert... rektilinear hexilinear oktilinear

15 Schematische Straßenkarten Geg: Straßenkarte M = {c 1,..., c m }, wobei jedes c i einfacher Kantenzug ist und keine zwei c i, c j (i j) sich schneiden (außer an gemeinsamen Endknoten) Ges: Topologisch äquivalente schematische Karte M = {c 1,..., c m} mit gleichen Endpunkten wie M, wobei jedes c i oktilinear ist und 2 Knicke hat verzerre Straßenform, aber nicht Kreuzungen und Orte Eingabekarte M oktilineare Ausgabekarte M

16 Schematische Straßenkarten Geg: Straßenkarte M = {c 1,..., c m }, wobei jedes c i einfacher Kantenzug ist und keine zwei c i, c j (i j) sich schneiden (außer an gemeinsamen Endknoten) Ges: Topologisch äquivalente schematische Karte M = {c 1,..., c m} mit gleichen Endpunkten wie M, wobei jedes c i oktilinear ist und 2 Knicke hat verzerre Straßenform, aber nicht Kreuzungen und Orte alle Punkte auf richtiger Seite, korrekte zyklische Ordnung an Kreuzungen Eingabekarte M oktilineare Ausgabekarte M

17 Notation Betrachte Kantenzug/Pfad c als Abbildung c : [0, 1] R 2, wobei die Endpunkte jeweils c(0) und c(1) sind. c(0) c c(1) P M : Menge der Endpunkte von M

18 Äquivalente Karten Def: Gegeben Menge von Hindernissen P sind zwei Pfade c, c äquivalent, falls es eine stetige Abbildung F : [0, 1] 2 R 2 \ P gibt, die c in c transformiert Def: Zwei Karten M und M sind äquivalent, falls alle c i M und c i M äquivalent in (R 2 \ P m ) {c i (0), c i (1)} sind äquivalent nicht äquivalent

19 Vertikale Pfadordnung Def: Für Pfad a und Punkt p liegt p oberhalb/unterhalb von a, falls für jeden zu a äquivalenten Pfad a in R 2 \ {p} der entsprechende vertikale Strahl von p Pfad a schneidet. Die Ordnung zweier Pfade a, b ist definiert durch die Lage der Endpunkte des einen Pfades zum anderen Pfad.

20 Vertikale Pfadordnung Def: Für Pfad a und Punkt p liegt p oberhalb/unterhalb von a, falls für jeden zu a äquivalenten Pfad a in R 2 \ {p} der entsprechende vertikale Strahl von p Pfad a schneidet. Die Ordnung zweier Pfade a, b ist definiert durch die Lage der Endpunkte des einen Pfades zum anderen Pfad. nichts

21 Vertikale Pfadordnung Def: Für Pfad a und Punkt p liegt p oberhalb/unterhalb von a, falls für jeden zu a äquivalenten Pfad a in R 2 \ {p} der entsprechende vertikale Strahl von p Pfad a schneidet. Die Ordnung zweier Pfade a, b ist definiert durch die Lage der Endpunkte des einen Pfades zum anderen Pfad. nichts unter

22 Vertikale Pfadordnung Def: Für Pfad a und Punkt p liegt p oberhalb/unterhalb von a, falls für jeden zu a äquivalenten Pfad a in R 2 \ {p} der entsprechende vertikale Strahl von p Pfad a schneidet. Die Ordnung zweier Pfade a, b ist definiert durch die Lage der Endpunkte des einen Pfades zum anderen Pfad. über nichts unter

23 Vertikale Pfadordnung Def: Für Pfad a und Punkt p liegt p oberhalb/unterhalb von a, falls für jeden zu a äquivalenten Pfad a in R 2 \ {p} der entsprechende vertikale Strahl von p Pfad a schneidet. Die Ordnung zweier Pfade a, b ist definiert durch die Lage der Endpunkte des einen Pfades zum anderen Pfad. über nichts unter beides

24 Vertikale Pfadordnung Def: Für Pfad a und Punkt p liegt p oberhalb/unterhalb von a, falls für jeden zu a äquivalenten Pfad a in R 2 \ {p} der entsprechende vertikale Strahl von p Pfad a schneidet. Die Ordnung zweier Pfade a, b ist definiert durch die Lage der Endpunkte des einen Pfades zum anderen Pfad. über nichts unter beides

25 Vertikale Pfadordnung Def: Für Pfad a und Punkt p liegt p oberhalb/unterhalb von a, falls für jeden zu a äquivalenten Pfad a in R 2 \ {p} der entsprechende vertikale Strahl von p Pfad a schneidet. Die Ordnung zweier Pfade a, b ist definiert durch die Lage der Endpunkte des einen Pfades zum anderen Pfad. nichts über nichts unter beides

26 Vertikale Pfadordnung Def: Für Pfad a und Punkt p liegt p oberhalb/unterhalb von a, falls für jeden zu a äquivalenten Pfad a in R 2 \ {p} der entsprechende vertikale Strahl von p Pfad a schneidet. Die Ordnung zweier Pfade a, b ist definiert durch die Lage der Endpunkte des einen Pfades zum anderen Pfad. nichts über nichts unter beides unter

27 Vertikale Pfadordnung Def: Für Pfad a und Punkt p liegt p oberhalb/unterhalb von a, falls für jeden zu a äquivalenten Pfad a in R 2 \ {p} der entsprechende vertikale Strahl von p Pfad a schneidet. Die Ordnung zweier Pfade a, b ist definiert durch die Lage der Endpunkte des einen Pfades zum anderen Pfad. nichts nichts unter über beides unter unter

28 Vertikale Pfadordnung Def: Für Pfad a und Punkt p liegt p oberhalb/unterhalb von a, falls für jeden zu a äquivalenten Pfad a in R 2 \ {p} der entsprechende vertikale Strahl von p Pfad a schneidet. Die Ordnung zweier Pfade a, b ist definiert durch die Lage der Endpunkte des einen Pfades zum anderen Pfad. Bem: Für x-monotone Pfade ist die Definition äquivalent zur Definition a oberhalb b (a b) gdw. es Punkte (x, y a ) a und (x, y b ) b gibt mit y a > y b.

29 Ordnung in monotonen Karten Karte M ist monoton, falls jeder Pfad in M x-monoton ist. Lemma 1: Für monotone Karte M ist die Vertikalordnung azyklisch; eine Totalordnung, die erweitert, kann in O(n log n) Zeit bestimmt werden, wobei n die Knotenzahl in M ist. Beweis: Übungsblatt

30 Ordnung in monotonen Karten Karte M ist monoton, falls jeder Pfad in M x-monoton ist. Lemma 1: Für monotone Karte M ist die Vertikalordnung azyklisch; eine Totalordnung, die erweitert, kann in O(n log n) Zeit bestimmt werden, wobei n die Knotenzahl in M ist. Beweis: Übungsblatt Lemma 2: Zwei monotone Karten M und M sind äquivalent gdw. sie die gleiche Vertikalordnung definieren. Beweis: Tafel

31 Kanonische Folgen Sei P Punktmenge und c ein Pfad. c r p q

32 Kanonische Folgen Sei P Punktmenge und c ein Pfad. l + p c l + q l + r r p q l p l q l r Definiere vertikale Strahlen l + p und l p für jeden Punkt p in P.

33 Kanonische Folgen Sei P Punktmenge und c ein Pfad. l + p c l + q l + r r p q l p l q l r Definiere vertikale Strahlen l + p und l p für jeden Punkt p in P. Betrachte Folge von gekreuzten Strahlen beim Laufen entlang von c. l + p, l + q, l + r, l r, l + q, l q, l r, l r, l q, l + q

34 Kanonische Folgen Sei P Punktmenge und c ein Pfad. l + p c l + q l + r r p q l p l q l r Definiere vertikale Strahlen l + p und l p für jeden Punkt p in P. Betrachte Folge von gekreuzten Strahlen beim Laufen entlang von c. l + p, l + q, l + r, l r, l + q, l q, l r, l r, l q, l + q Lösche benachbarte Paare gleicher Strahlen um die kanonische Folge von c zu erhalten.

38 Kanonische Folgen Sei P Punktmenge und c ein Pfad. l + p Lemma 3: [Cabello, Liu, Mantler, Snoeyink 04] c Zwei Pfade c und c mit den gleichen r Endpunkten sind l p l + q äquivalent bzgl. P gdw. sie p qdie gleiche kanonische Folge besitzen. l q Definiere vertikale Strahlen l + p und l p für jeden Punkt p in P. Betrachte Folge von gekreuzten Strahlen beim Laufen entlang von c. l + p, l + q, l + r, l r, l + q, l q, l r, l r, l q, l + q Lösche benachbarte Paare gleicher Strahlen um die kanonische Folge von c zu erhalten. l + r l r

39 Skizze des Schematisierungs-Algorithmus [Cabello, de Berg, van Kreveld 05] Input: Karte M Output: schematisierte äquivalente Karte M (falls existiert) 1 zerlege nicht-monotone Pfade in monotone Teile 2 erstelle rektifizierte Karte R mit achsenparallelen Pfaden 3 wandle R in kanonische Form R c um 4 berechne Totalordnung > der Pfade aus R c 5 konstruiere inkrementell schematische Karte M durch höchstmögliches Hinzufügen von Pfaden entsprechend >

44 Skizze des Schematisierungs-Algorithmus [Cabello, de Berg, van Kreveld 05] Input: Karte M Output: schematisierte äquivalente Karte M (falls existiert) 1 zerlege nicht-monotone Pfade in monotone Teile 2 erstelle rektifizierte Karte R mit achsenparallelen Pfaden 3 wandle R in kanonische Form R c um 4 berechne Totalordnung > der Pfade aus R c 5 konstruiere inkrementell schematische Karte M durch höchstmögliches Hinzufügen von Pfaden entsprechend > 1 2 3

46 Rektifizierte Karte Nach dem Zerlegen von M in monotone Teilpfade ergibt Lemma 1 eine Totalordnung der Teilpfade in O(n log n) Zeit. Sei c k i ein monotoner Teilpfad von c i mit linkem Endpunkt (p x, p y ) und rechtem Endpunkt (q x, q y ). (p x, p y ) c k i (q x, q y ) Lemma 1: Für monotone Karte M ist die Vertikalordnung azyklisch; eine Totalordnung, die erweitert, kann in O(n log n) Zeit bestimmt werden, wobei n die Knotenzahl in M ist.

47 Rektifizierte Karte Nach dem Zerlegen von M in monotone Teilpfade ergibt Lemma 1 eine Totalordnung der Teilpfade in O(n log n) Zeit. Sei c k i ein monotoner Teilpfad von c i mit linkem Endpunkt (p x, p y ) und rechtem Endpunkt (q x, q y ). (p x, p y ) c k i (q x, q y ) Erstelle horizontale Strecke h k i = [p x, q x ] r k i, wobei rk i der Rang von c k i in der Totalordnung ist. h k i

48 Rektifizierte Karte Nach dem Zerlegen von M in monotone Teilpfade ergibt Lemma 1 eine Totalordnung der Teilpfade in O(n log n) Zeit. Sei c k i ein monotoner Teilpfad von c i mit linkem Endpunkt (p x, p y ) und rechtem Endpunkt (q x, q y ). (p x, p y ) c k i (q x, q y ) Erstelle horizontale Strecke h k i = [p x, q x ] r k i, wobei rk i der Rang von c k i in der Totalordnung ist. h k i Verknüpfe horizontale Strecken des gleichen Pfades c i vertikal zu einem Pfad c i. Das ergibt rektifizierte Karte R.

49 Rektifizierte Karte Nach Lemma dem Zerlegen 4: von M in monotone Teilpfade ergibt Lemma R ist1eine einekarte, Totalordnung die die gleiche der Teilpfade vertikaleinpfadordnung O(n log n) Zeit. wie Sei c k i ein M monotoner hat. Ihre Komplexität Teilpfad von ist c linear in der von M und sie kann in O(n log n) Zeit erstellt i mit linkem werden. Endpunkt (p x, p y ) und rechtem Endpunkt (q x, q y ). (p x, p y ) c k i (q x, q y ) Erstelle horizontale Strecke h k i = [p x, q x ] r k i, wobei rk i der Rang von c k i in der Totalordnung ist. h k i Verknüpfe horizontale Strecken des gleichen Pfades c i vertikal zu einem Pfad c i. Das ergibt rektifizierte Karte R.

50 Kanonische rektifizierte Karte Die rektifizierte Karte R kann in O(n log n) Zeit in ihre kanonische Rektifizierung überführt werden. [Cabello, Liu, Mantler, Snoeyink 04] Jeder Pfad in der kanonischen Rektifizierung R ist äquivalent zu einem Pfad in R und hat die minimale Anzahl x-monotoner Teilstücke.

51 Kanonische rektifizierte Karte Die rektifizierte Karte R kann in O(n log n) Zeit in ihre kanonische Rektifizierung überführt werden. [Cabello, Liu, Mantler, Snoeyink 04] Jeder Pfad in der kanonischen Rektifizierung R ist äquivalent zu einem Pfad in R und hat die minimale Anzahl x-monotoner Teilstücke. Idee: I X = x 0 y i 1xi Pfad c i als Liste x 0, y 0, x 1, y 1,..., y n 1, x n für i = 1,..., n erstelle kanonischen rektifizierten Pfad von (x 0, y 0 ) bis (x i, y i 1 ) auf Stack S fünf Fälle für (y i 1, x i ) und top3(s) = X, Y s, X s x i X X s x i X s X X s p II III IV V x i X x i X s X

52 Äquivalente monotone Karte Satz 1: Für eine Karte M mit n Knoten, kann die Existenz einer äquivalenten monotonen Karte in O(n log n) Zeit entschieden werden. Beweis: (Skizze) nutze range query Datenstruktur kanonische Rektifizierung N berechnen: O(n log n) Zeit

53 Äquivalente monotone Karte Satz 1: Für eine Karte M mit n Knoten, kann die Existenz einer äquivalenten monotonen Karte in O(n log n) Zeit entschieden werden. Beweis: (Skizze) kanonische Rektifizierung N berechnen: O(n log n) Zeit kanonische Folge eines Pfads c in M und seiner Rektifizierung c in N (mehrfache Vorkommen eines Punkts zählen einfach) sind identisch

54 Äquivalente monotone Karte Satz 1: Für eine Karte M mit n Knoten, kann die Existenz einer äquivalenten monotonen Karte in O(n log n) Zeit entschieden werden. Beweis: (Skizze) kanonische Rektifizierung N berechnen: O(n log n) Zeit kanonische Folge eines Pfads c in M und seiner Rektifizierung c in N (mehrfache Vorkommen eines Punkts zählen einfach) sind identisch Beh: N monoton M hat äquivalente monotone Karte

55 Äquivalente monotone Karte Satz 1: Für eine Karte M mit n Knoten, kann die Existenz einer äquivalenten monotonen Karte in O(n log n) Zeit entschieden werden. Beweis: (Skizze) kanonische Rektifizierung N berechnen: O(n log n) Zeit kanonische Folge eines Pfads c in M und seiner Rektifizierung c in N (mehrfache Vorkommen eines Punkts zählen einfach) sind identisch Beh: N monoton M hat äquivalente monotone Karte Korollar 1: Wenn eine Karte M eine äquivalente monotone Karte besitzt, kann eine passende Totalordnung der Pfade in O(n log n) Zeit berechnet werden. Folgt aus Satz 1 und Lemma 1.

56 Platzieren von Pfaden Definiere Typen zulässiger Pfade, z.b. {HDH, V DV } HDH V DV

57 Platzieren von Pfaden Definiere Typen zulässiger Pfade, z.b. {HDH, V DV } Füge Pfade von M als HDH- oder V DV -Pfade nach der Totalordnung der kanonischen Rektifizierung ein. HDH V DV Verwalte lower envelope der Pfade als binären Suchbaum und platziere jeden neuen Pfad höchstmöglich (maximaler Platz für den Rest).

58 Platzieren von Pfaden Definiere Typen zulässiger Pfade, z.b. {HDH, V DV } Füge Pfade von M als HDH- oder V DV -Pfade nach der Totalordnung der kanonischen Rektifizierung ein. HDH V DV Verwalte lower envelope der Pfade als binären Suchbaum und platziere jeden neuen Pfad höchstmöglich (maximaler Platz für den Rest). Optional: vertikaler Mindestabstand, erlaube/verbiete gemeinsame Teilpfade. keine gemeinsamen Teilpfade gem. Teilpfade gem. Teilpfade mit Mindestabstand

59 Ergebnis [Cabello et al. 05] Satz 2: Gegeben eine Karte M, kann eine äquivalente monotone HDH/VDV-Karte in O(n log n) Zeit berechnet werden, falls sie existiert; andernfalls lässt sich Nichtexistenz melden. Schienennetz von Irland