Lineare Programmierung

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1 Übung Algorithmische Geometrie Lineare Programmierung LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Benjamin Niedermann

2 Übersicht Übungsblatt 4

3 Lineares Programmieren Definition: Eine Menge linearer Nebenbedingungen H mit einer linearen Zielfunktion c in R d bilden ein lineares Programm (LP): maximiere c 1 x 1 + c 2 x c d x d unter den NB a 1,1 x a 1,d x d b 1 a 2,1 x a 2,d x d b 2 a n,1 x a n,d x d b n. H }

4 Lineares Programmieren Definition: Eine Menge linearer Nebenbedingungen H mit einer linearen Zielfunktion c in R d bilden ein lineares Programm (LP): maximiere c 1 x 1 + c 2 x c d x d unter den NB a 1,1 x a 1,d x d b 1 a 2,1 x a 2,d x d b 2 a n,1 x a n,d x d b n. } H H entspricht einer Menge von Halbräumen in R d. Gesucht ist ein Punkt x h H h, der ct x maximiert, also max{c T x Ax b, x 0}. Lineare Programmierung ist ein zentrales Optimierungsverfahren im Operations Research.

5 Algorithmen für LPs Viele Algorithmen zum Lösen von LPs in der Praxis existieren: Simplex-Algorithmus [Dantzig, 1947] Ellipsoid-Methode [Khatchiyan, 1979] Innere-Punkt-Methode [Karmarkar, 1979] Funktionieren gut, besonders für große Werte von n (Anzahl Nebenbedingungen) und d (Anzahl Variablen). Heute: Spezialfall d = 2 Möglichkeiten für den Lösungsraum H beschränkt c c c H = unlösbar H unbeschränkt in Richtung c Lösung nicht eindeutig eindeutige Lösung

6 Erste Variante Idee: Berechne den zulässigen Bereich H und suche nach der Ecke p, die c T p maximiert. Halbebenen sind konvex Versuche einfachen Divide-and-Conquer Algorithmus IntersectHalfplanes(H) C C 2 1 if H = 1 then C H else l (H 1, H 2 ) SplitInHalves(H) C 1 IntersectHalfplanes(H 1 ) C 2 IntersectHalfplanes(H 2 ) C IntersectConvexRegions(C 1, C 2 ) return C

7 Beschränkte LPs Idee: Statt gesamtes zulässiges Polygon zu berechnen suche inkrementell nach optimaler Ecke.

8 Beschränkte LPs Idee: Statt gesamtes zulässiges Polygon zu berechnen suche inkrementell nach optimaler Ecke. Invariante: aktuell beste Lösung ist eindeutige Ecke des zulässigen aktuellen Polygons

9 Beschränkte LPs Idee: Statt gesamtes zulässiges Polygon zu berechnen suche inkrementell nach optimaler Ecke. Invariante: aktuell beste Lösung ist eindeutige Ecke des zulässigen aktuellen Polygons Wie kann man unbeschränkte zulässige Gebiete umgehen?

10 Beschränkte LPs Idee: Statt gesamtes zulässiges Polygon zu berechnen suche inkrementell nach optimaler Ecke. Invariante: aktuell beste Lösung ist eindeutige Ecke des zulässigen aktuellen Polygons Wie kann man unbeschränkte zulässige Gebiete umgehen? Für einen ausreichend großen Wert M definiere Halbebenen m 1 = { x M falls c x > 0 x M sonst m 2 = { y M falls c y > 0 y M sonst m 1 m2 c

11 Beschränkte LPs Idee: Statt gesamtes zulässiges Polygon zu berechnen suche inkrementell nach optimaler Ecke. Invariante: aktuell beste Lösung ist eindeutige Ecke des zulässigen aktuellen Polygons Wie kann man unbeschränkte zulässige Gebiete umgehen? Gibt es mehrere Optima, wähle lexikographisch kleinsten Punkt! Für einen ausreichend großen Wert M definiere Halbebenen m 1 = { x M falls c x > 0 x M sonst m 2 = { y M falls c y > 0 y M sonst m 1 m2 c c

12 Beschränkte LPs Idee: Statt gesamtes zulässiges Polygon zu berechnen suche inkrementell nach optimaler Ecke. Invariante: aktuell beste Lösung ist eindeutige Ecke des zulässigen aktuellen Polygons Wie kann man unbeschränkte zulässige Gebiete umgehen? Gibt es mehrere Optima, wähle lexikographisch kleinsten Punkt! Für einen ausreichend großen Wert M definiere Halbebenen m 1 = { x M falls c x > 0 x M sonst m 2 = { y M falls c y > 0 y M sonst Für ein LP (H, c) mit H = {h 1,..., h n }, c = (c x, c y ), zulässigem Polygon C und 1 i n definiere H i = {m 1, m 2, h 1,..., h i }, C i = m 1 m 2 h 1 h i

13 Eigenschaften jede Region C i hat eine eindeutige optimale Ecke v i

14 Eigenschaften jede Region C i hat eine eindeutige optimale Ecke v i es gilt die Inklusionsbeziehung C 0 C 1 C n = C

15 Eigenschaften jede Region C i hat eine eindeutige optimale Ecke v i es gilt die Inklusionsbeziehung C 0 C 1 C n = C Wie ändert sich die optimale Ecke v i 1 wenn man h i hinzufügt?

16 Eigenschaften jede Region C i hat eine eindeutige optimale Ecke v i es gilt die Inklusionsbeziehung C 0 C 1 C n = C Wie ändert sich die optimale Ecke v i 1 wenn man h i hinzufügt? Lemma 1: Für 1 i n und Grenzgerade l i von h i gilt: (i) Falls v i 1 h i gilt v i = v i 1, (ii) sonst ist entweder C i = oder v i l i.

17 Eigenschaften jede Region C i hat eine eindeutige optimale Ecke v i es gilt die Inklusionsbeziehung C 0 C 1 C n = C Wie ändert sich die optimale Ecke v i 1 wenn man h i hinzufügt? Lemma 1: Für 1 i n und Grenzgerade l i von h i gilt: (i) Falls v i 1 h i gilt v i = v i 1, (ii) sonst ist entweder C i = oder v i l i. c v 4

18 Eigenschaften jede Region C i hat eine eindeutige optimale Ecke v i es gilt die Inklusionsbeziehung C 0 C 1 C n = C Wie ändert sich die optimale Ecke v i 1 wenn man h i hinzufügt? Lemma 1: Für 1 i n und Grenzgerade l i von h i gilt: (i) Falls v i 1 h i gilt v i = v i 1, (ii) sonst ist entweder C i = oder v i l i. h 5 c c v 4 v 4 = v 5

19 Eigenschaften jede Region C i hat eine eindeutige optimale Ecke v i es gilt die Inklusionsbeziehung C 0 C 1 C n = C Wie ändert sich die optimale Ecke v i 1 wenn man h i hinzufügt? Lemma 1: Für 1 i n und Grenzgerade l i von h i gilt: (i) Falls v i 1 h i gilt v i = v i 1, (ii) sonst ist entweder C i = oder v i l i. h 5 h 6 c c c v 4 v 4 = v 5 v 5 v 6

20 Inkrementeller Algorithmus 2dBoundedLP(H, c, m 1, m 2 ) C 0 m 1 m 2 v 0 eindeutige Ecke von C 0 for i 1 to n do if v i 1 h i then v i v i 1 else v i 1dBoundedLP(σ(H i 1 ), f i c) if v i = nil then return unlösbar return v n

21 Inkrementeller Algorithmus 2dBoundedLP(H, c, m 1, m 2 ) C 0 m 1 m 2 v 0 eindeutige Ecke von C 0 for i 1 to n do if v i 1 h i then v i v i 1 else v i 1dBoundedLP(σ(H i 1 ), f i c) if v i = nil then return unlösbar O(1) O(i) return v n

22 Inkrementeller Algorithmus 2dBoundedLP(H, c, m 1, m 2 ) worst-case Laufzeit: C 0 m 1 m 2 T (n) = n i=1 O(i) = O(n2 ) v 0 eindeutige Ecke von C 0 for i 1 to n do if v i 1 h i then v i v i 1 O(1) else v i 1dBoundedLP(σ(H i 1 ), fc) i if v i = nil then O(i) return unlösbar return v n

23 Inkrementeller Algorithmus 2dBoundedLP(H, c, m 1, m 2 ) worst-case Laufzeit: C 0 m 1 m 2 T (n) = n i=1 O(i) = O(n2 ) v 0 eindeutige Ecke von C 0 for i 1 to n do if v i 1 h i then v i v i 1 O(1) else v i 1dBoundedLP(σ(H i 1 ), fc) i if v i = nil then O(i) return unlösbar return v n Frage: Kann wirklich n-mal Fall (ii) auftreten?

24 Inkrementeller Algorithmus 2dBoundedLP(H, c, m 1, m 2 ) worst-case Laufzeit: C 0 m 1 m 2 T (n) = n i=1 O(i) = O(n2 ) v 0 eindeutige Ecke von C 0 for i 1 to n do if v i 1 h i then v i v i 1 O(1) else v i 1dBoundedLP(σ(H i 1 ), fc) i if v i = nil then O(i) return unlösbar return v n Lemma 3: Algorithmus 2dBoundedLP benötigt Θ(n 2 ) Laufzeit um ein LP mit n Nebenbed. und 2 Variablen zu lösen.

25 Gibt es einen Ausweg? Beob.: Nicht die Halbebenen H sind problematisch für die Laufzeit, sondern die Reihenfolge der Abarbeitung. c h 6 h 5 h h 4 3 h 1 h 2 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6

26 Gibt es einen Ausweg? Beob.: Nicht die Halbebenen H sind problematisch für die Laufzeit, sondern die Reihenfolge der Abarbeitung. c h 6 h 5 h h 4 3 h 1 h 2 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Wie findet man (schnell) eine gute Reihenfolge?

27 Gibt es einen Ausweg? Beob.: Nicht die Halbebenen H sind problematisch für die Laufzeit, sondern die Reihenfolge der Abarbeitung. c h 6 h 5 h h 4 3 h 1 h 2 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Wie findet man (schnell) eine gute Reihenfolge? Zufällig!

28 Randomisierter Inkrementeller Algorithmus 2dRandomizedBoundedLP(H, c, m 1, m 2 ) C 0 m 1 m 2 v 0 eindeutige Ecke von C 0 H RandomPermutation(H) for i 1 to n do if v i 1 h i then v i v i 1 else v i 1dBoundedLP(σ(H i 1 ), f i c) if v i = nil then return unlösbar return v n

29 Aufgabe 1 Korrektheitsbeweis: a) Zeige, dass jede mögliche Permutation von A gleich wahrscheinlich ist. RandomPermutation(A) Input: Array A[1... n] Output: Array A, zufällig gleichverteilt permutiert for k n to 2 do r Random(k) tausche A[r] und A[k]

30 Aufgabe 1 Korrektheitsbeweis: b) Zeige, dass die Aussage aus a) nicht stimmt, wenn wir in der 2. Zeile k mit n ersetzen. RandomPermutation(A) Input: Array A[1... n] Output: Array A, zufällig gleichverteilt permutiert for k n to 2 do r Random(k) tausche A[r] und A[k]

31 Aufgabe 1 Korrektheitsbeweis: b) Zeige, dass die Aussage aus a) nicht stimmt, wenn wir in der 2. Zeile k mit n ersetzen. RandomPermutation(A) Input: Array A[1... n] Output: Array A, zufällig gleichverteilt permutiert? for k n to 2 do r Random(n) n tausche A[r] und A[k]

32 Aufgabe 2 ParanoidMax Input: Endliche Menge A R Output: Maximum max a A a der Menge if A = 1 then return einziges Element a A else a = zufällig gewähltes Element aus A b = ParanoidMax(A \ {a}) if b a then return b else a) Asymptotische w-c Laufzeit? b) erwartete Laufzeit echt besser als w-c prüfe unnötigerweise jedes Element aus A \ {a}, um sicherzugehen, dass a wirklich größer ist return a

33 Aufgabe 3 : Züge t = 0 k 2 k 1 z 2 k 3 z 1 Algorithmus: welche Züge bis Zeitpunkt t s einmal in Führung z 3 v 1 v 2 v 3

34 Aufgabe 3 : Züge Strecke k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k 3 Zeit t stop

39 Aufgabe 3 : Züge IntersectHalfplanes(H) if H = 1 then C H else (H 1, H 2 ) SplitInHalves(H) C 1 IntersectHalfplanes(H 1 ) C 2 IntersectHalfplanes(H 2 ) C IntersectConvexRegions(C 1, C 2 ) return C

40 Aufgabe 4 : Polygon Partitionieren VL: ALG zur Zerlegung eines Polygons in y-mon. Teilstücke

43 Aufgabe 4 : Polygon Partitionieren VL: ALG zur Zerlegung eines Polygons in y-mon. Teilstücke Datenstruktur: Doppelt-verkettete Kantenliste (DCEL)

44 Aufgabe 4 : Polygon Partitionieren VL: ALG zur Zerlegung eines Polygons in y-mon. Teilstücke Behauptung: Einfügen von einer Diagonalen in O(1) möglich Datenstruktur: Doppelt-verkettete Kantenliste (DCEL)

45 Aufgabe 4 : Polygon Partitionieren VL: ALG zur Zerlegung eines Polygons in y-mon. Teilstücke Behauptung: Einfügen von einer Diagonalen in O(1) möglich Datenstruktur: Doppelt-verkettete Kantenliste (DCEL)

46 Datenstruktur für Landkarten (politische) Landkarte entspricht Unterteilung der Ebene in Polygone Unterteilung entspricht Einbettung eines planaren Graphen mit Knoten Kanten Facetten Welche Operationen sollte eine Datenstruktur für Unterteilungen der Ebene unterstützen? Kanten einer Facette ablaufen via Kante von Facette zu Facette wechseln Nachbarknoten in zyklischer Reihenfolge besuchen

47 Doppelt verkettete Kantenliste (DCEL) Zutaten: Knoten Koordinaten (x(v), y(v)) (erste) ausgehende Kante edge(v) twin(e) e Kanten = zwei Halbkanten next(e) prev(e) face(e) Knoten origin(v) Gegenkante twin(e) Vorgänger prev(e) & Nachfolger next(e) inzidente Facette face(e) Facetten Randkante outer(f) Kantenliste inner(f) für evtl. Löcher

56 Lösungsschritte 1. Wie umgeht man das aktualisieren der face(e) Information?

57 Lösungsschritte 1. Wie umgeht man das aktualisieren der face(e) Information? Facetten spielen keine (große) Rolle

58 Lösungsschritte 1. Wie umgeht man das aktualisieren der face(e) Information? Facetten spielen keine (große) Rolle 2. Wie wählen wir in O(1) die richtigen Kanten für das anpassen der next(e) bzw. prev(e) Einträge?

59 Lösungsschritte 1. Wie umgeht man das aktualisieren der face(e) Information? Facetten spielen keine (große) Rolle 2. Wie wählen wir in O(1) die richtigen Kanten für das anpassen der next(e) bzw. prev(e) Einträge? a) Nur konstant viele Kanten inzident zu jedem Knoten

60 Lösungsschritte 1. Wie umgeht man das aktualisieren der face(e) Information? Facetten spielen keine (große) Rolle 2. Wie wählen wir in O(1) die richtigen Kanten für das anpassen der next(e) bzw. prev(e) Einträge? a) Nur konstant viele Kanten inzident zu jedem Knoten b) Durch passende Sortierung können wir die korrekten Kanten finden

61 Algorithmus MakeMonotone(P) MakeMonotone(Polygon P ) D doppelt-verkettete Kantenliste für (V (P ), E(P )) Q priority queue für V (P ) lexikographisch sortiert T (binärer Suchbaum für Sweep-Line Status) while Q do v Q.nextVertex() Q.deleteVertex(v) handlevertex(v) return D

62 Algorithmus MakeMonotone(P) MakeMonotone(Polygon P ) D doppelt-verkettete Kantenliste für (V (P ), E(P )) Q priority queue für V (P ) lexikographisch sortiert T (binärer Suchbaum für Sweep-Line Status) while Q do v Q.nextVertex() Q.deleteVertex(v) handlevertex(v) return D handlestartvertex(vertex v) T füge linke Kante e ein helper(e) v e v = helper(e)

63 Algorithmus MakeMonotone(P) MakeMonotone(Polygon P ) D doppelt-verkettete Kantenliste für (V (P ), E(P )) Q priority queue für V (P ) lexikographisch sortiert T (binärer Suchbaum für Sweep-Line Status) while Q do v Q.nextVertex() Q.deleteVertex(v) handlevertex(v) return D handlestartvertex(vertex v) T füge linke Kante e ein helper(e) v e v = helper(e) e v handleendvertex(vertex v) e linke Kante if ismergevertex(helper(e)) then D füge (helper(e), v) ein lösche e aus T helper(e)

64 Algorithmus MakeMonotone(P) MakeMonotone(Polygon P ) D doppelt-verkettete Kantenliste für (V (P ), E(P )) Q priority queue für V (P ) lexikographisch sortiert T (binärer Suchbaum für Sweep-Line Status) while Q do v Q.nextVertex() Q.deleteVertex(v) handlevertex(v) return D handlesplitvertex(vertex v) e Kante links von v in T D füge (helper(e), v) ein helper(e) v T füge rechte Kante e von v ein helper(e ) v e e v helper(e)

65 Algorithmus MakeMonotone(P) MakeMonotone(Polygon P ) D doppelt-verkettete Kantenliste für (V (P ), E(P )) Q priority queue für V (P ) lexikographisch sortiert T (binärer Suchbaum für Sweep-Line Status) while Q do v Q.nextVertex() e Q.deleteVertex(v) handlevertex(v) return D helper(e ) v e helper(e) handlemergevertex(vertex v) e rechte Kante if ismergevertex(helper(e)) then D füge (helper(e), v) ein lösche e aus T e Kante links von v in T if ismergevertex(helper(e )) then D füge (helper(e ), v) ein helper(e ) v

66 Algorithmus MakeMonotone(P) MakeMonotone(Polygon P ) v D doppelt-verkettete Kantenliste für (V (P ), E(P )) Q priority queue für V (P ) lexikographisch sortiert T (binärer Suchbaum für Sweep-Line Status) while Q do v Q.nextVertex() Q.deleteVertex(v) handlevertex(v) return D e e helper(e) helper(e) e handleregularvertex(vertex v) v if P liegt lokal rechts von v then e, e obere, untere Kante if ismergevertex(helper(e)) then D füge (helper(e), v) ein lösche e aus T T füge e ein; helper(e ) v else e Kante links von v in T if ismergevertex(helper(e)) then D füge (helper(e), v) ein helper(e) v

67 Algorithmus MakeMonotone(P) MakeMonotone(Polygon P ) v D doppelt-verkettete Kantenliste für (V (P ), E(P )) Q priority queue für V (P ) lexikographisch sortiert T (binärer Suchbaum für Sweep-Line Status) while Q do v Q.nextVertex() Q.deleteVertex(v) handlevertex(v) return D e e helper(e) helper(e) e handleregularvertex(vertex v) v if P liegt lokal rechts von v then e, e obere, untere Kante if ismergevertex(helper(e)) then D füge (helper(e), v) ein lösche e aus T T füge e ein; helper(e ) v else e Kante links von v in T if ismergevertex(helper(e)) then D füge (helper(e), v) ein helper(e) v

68 Lösung 2. Wie wählen wir in O(1) die richtigen Kanten für das anpassen der next(e) bzw. prev(e) Einträge? a) Nur konstant viele Kanten inzident zu jedem Knoten Initial hat jeder Knoten Grad 2 Jeder Knoten ist höchstens einmal helper: +1 Jeder Knoten ist höchstens einmal Sonderknoten : +2 b) Durch passende Sortierung können wir die korrekten Kanten finden