Polygontriangulierung

Transkript

1 Übung Algorithmische Geometrie Polygontriangulierung LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Benjamin Niedermann

2 Ablauf Vergabe der Projekte Übungsblatt 3

3 Projekte Ziel: Visualisierung von in der Vorlesung vorgestellten Algorithmen tiefes eigenes Verständnis & Lernmaterial für Kommilitonen.

4 Projekte Ziel: Visualisierung von in der Vorlesung vorgestellten Algorithmen tiefes eigenes Verständnis & Lernmaterial für Kommilitonen. Ablauf: Jedes Team (Größe 2) bearbeitet ein eigenes Thema.

5 Projekte Ziel: Visualisierung von in der Vorlesung vorgestellten Algorithmen tiefes eigenes Verständnis & Lernmaterial für Kommilitonen. Ablauf: Jedes Team (Größe 2) bearbeitet ein eigenes Thema. Anforderungen an Implementierung: Ablauf der Algorithmen soll visualisiert werden, z.b. schrittweise Benutzer soll Eingabe über graphische Oberfläche machen können. Interaktion mit Benutzer, z.b. schrittweises vor und zurück. Benutzer soll bereits vorhandene Beispieleingaben laden können. Bedienungsanleitung soll in Programm enthalten sein.

6 Projekte Ziel: Visualisierung von in der Vorlesung vorgestellten Algorithmen tiefes eigenes Verständnis & Lernmaterial für Kommilitonen. Ablauf: Jedes Team (Größe 2) bearbeitet ein eigenes Thema. Anforderungen an Implementierung: Ablauf der Algorithmen soll visualisiert werden, z.b. schrittweise Benutzer soll Eingabe über graphische Oberfläche machen können. Interaktion mit Benutzer, z.b. schrittweises vor und zurück. Benutzer soll bereits vorhandene Beispieleingaben laden können. Bedienungsanleitung soll in Programm enthalten sein. Programmiersprache: Java (empfohlen) geeignete andere Sprachen sind auch erlaubt.

7 Projekte Ziel: Visualisierung von in der Vorlesung vorgestellten Algorithmen tiefes eigenes Verständnis & Lernmaterial für Kommilitonen. Ablauf: Jedes Team (Größe 2) bearbeitet ein eigenes Thema. Anforderungen an Implementierung: Ablauf der Algorithmen soll visualisiert werden, z.b. schrittweise Benutzer soll Eingabe über graphische Oberfläche machen können. Interaktion mit Benutzer, z.b. schrittweises vor und zurück. Benutzer soll bereits vorhandene Beispieleingaben laden können. Bedienungsanleitung soll in Programm enthalten sein. Programmiersprache: Java (empfohlen) geeignete andere Sprachen sind auch erlaubt. Anforderungen an Abgabe: Abgabe enthält plattformunabhängige ausführbare Datei, z.b. jar-datei gerne auch direkt im Browser ausführbar, z.b. als Java-Applet

8 Projekte Ziel: Visualisierung von in der Vorlesung vorgestellten Algorithmen tiefes eigenes Verständnis & Lernmaterial für Kommilitonen. Ablauf: Jedes Team (Größe 2) bearbeitet ein eigenes Thema. Anforderungen an Implementierung: Ablauf der Algorithmen soll visualisiert werden, z.b. schrittweise Benutzer soll Eingabe über graphische Oberfläche machen können. Interaktion mit Benutzer, z.b. schrittweises vor und zurück. Wichtig: Benutzer soll bereits vorhandene Beispieleingaben laden können. Programm Bedienungsanleitung soll leicht soll auszuführen in Programmund enthalten zu bedienen sein. sein! Programmiersprache: Java (empfohlen) geeignete andere Sprachen sind auch erlaubt. Anforderungen an Abgabe: Abgabe enthält plattformunabhängige ausführbare Datei, z.b. jar-datei gerne auch direkt im Browser ausführbar, z.b. als Java-Applet

9 Projekte Zeitlicher Ablauf Vergabe der Themen Treffen mit Betreuer bis zum Konzepte & Umsetzung 2. Treffen mit Betreuer bis zum Letzte Details, Programm ist fast fertig Abgabe der Programme am Mai Juni Vorstellung der Programme in den Übungen. Juli 6.07

10 Themen Thema Konvexe Hülle Chans Algorithmus Thema 2 Einfaches Polygon y-monotones Polygon Thema 3 y-monotones Polygon Triangulierung

11 Themen Thema 4 Lin. Prog. Schnitt von konvexen Regionen l C C 2 c h 6 h 5 h 4 h 3 h h 2 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Thema 5 Lin. Prog. Inkrementeller Ansatz l 5 l l 7 Thema 6 Bereichsanfrage kd-tree p l 2 l 8 4 p p 2 p 5 p 3 p 9 p 7 l 9 p0 p 6 p 8 l 3 p 3 p 4 p 5 p 8 p 9 p 0 l 4 l 6 p p 2 p 6 p 7

12 Themen Thema 7 Bereichsanfrage Range-Tree T x v P (v) T y (v) P (v) r p q l r Thema 8 Dualität Kleinstes Dreieck Thema 9 Dualität Ham-Sandwich-Theorem

13 Themen Thema 0 Well-Separated Pair Decomposition s t Thema Sichtbarkeitsgraph

14 Ablauf Vergabe der Projekte Übungsblatt 3

15 Das Kunstgalerie-Problem Aufgabe: Installiere ein Kamerasystem zur Überwachung einer Kunstgalerie, so dass jede Stelle der Galerie gesehen wird.

16 Das Kunstgalerie-Problem Aufgabe: Installiere ein Kamerasystem zur Überwachung einer Kunstgalerie, so dass jede Stelle der Galerie gesehen wird. P Annahme: Beobachtung: Definition: Ziel: Galerie ist ein einfaches Polygon P mit n Ecken (keine Schnitte, keine Löcher) jede Kamera sieht sternförmiges Gebiet Punkt p P ist sichtbar von c P wenn cp P Nutze möglichst wenige Kameras! NP-schwer! Anzahl hängt von der Komplexität n und der Form von P ab

17 Vereinfachung des Problems Beobachtung: Dreiecke sind leicht zu überwachen Idee: zerlege P in Dreiecke und überwache die Dreiecke Satz : Jedes einfache Polygon mit n Ecken besitzt eine Triangulierung; jede Triangulierung besteht aus n 2 Dreiecken. P lässt sich mit n 2 Kameras in den Dreiecken überwachen P lässt sich mit n/2 Kameras auf den Diagonalen überwachen P lässt sich mit noch weniger Kameras auf den Ecken überwachen

18 Das Art-Gallery-Theorem [Chvátal 75] Satz 2:Für ein einfaches Polygon P mit n Ecken sind manchmal n/3 Kameras nötig, aber immer ausreichend um P zu überwachen. Beweis: Finde einfaches Polygon für beliebiges n, das n/3 Kameras braucht! Teil 2 an der Tafel. Fazit: Hat man eine Triangulierung, lassen sich n/3 Kameras in O(n) Zeit platzieren.

19 Aufgabe 3 P sei Polygon. Kameras sind so platziert, dass der vollständige Rand von P abgedeckt wird. Wird automatisch auch das Innere vollständig abgedeckt?

20 Aufgabe 3 P sei Polygon. Kameras sind so platziert, dass der vollständige Rand von P abgedeckt wird. Wird automatisch auch das Innere vollständig abgedeckt?

21 Aufgabe 3 P sei Polygon. Kameras sind so platziert, dass der vollständige Rand von P abgedeckt wird. Wird automatisch auch das Innere vollständig abgedeckt?

22 Aufgabe 3 P sei Polygon. Kameras sind so platziert, dass der vollständige Rand von P abgedeckt wird. Wird automatisch auch das Innere vollständig abgedeckt?

23 Aufgabe 3 P sei Polygon. Kameras sind so platziert, dass der vollständige Rand von P abgedeckt wird. Wird automatisch auch das Innere vollständig abgedeckt?

24 Aufgabe 3 P sei Polygon. Kameras sind so platziert, dass der vollständige Rand von P abgedeckt wird. Wird automatisch auch das Innere vollständig abgedeckt?

25 Aufgabe 3 P sei Polygon. Kameras sind so platziert, dass der vollständige Rand von P abgedeckt wird. Wird automatisch auch das Innere vollständig abgedeckt?

26 Aufgabe 3 P sei Polygon. Kameras sind so platziert, dass der vollständige Rand von P abgedeckt wird. Wird automatisch auch das Innere vollständig abgedeckt?

27 Aufgabe 3 P sei Polygon. Kameras sind so platziert, dass der vollständige Rand von P abgedeckt wird. Wird automatisch auch das Innere vollständig abgedeckt?

28 Aufgabe 3 P sei Polygon. Kameras sind so platziert, dass der vollständige Rand von P abgedeckt wird. Wird automatisch auch das Innere vollständig abgedeckt?

29 Aufgabe 3 P sei Polygon. Kameras sind so platziert, dass der vollständige Rand von P abgedeckt wird. Wird automatisch auch das Innere vollständig abgedeckt?

30 Aufgabe 4 Gegeben: Polygon P mit n Knoten. Gesucht: O(n log n)-algorithmus, der P in zwei einfache Polygone auftrennt, sodass jedes höchstens 2n/3 + 2 Knoten besitzt. Hinweis: Triangulieren Sie das Eingabe-Polygon und verwenden Sie dann den Dualgraphen dieser Triangulierung.

31 Aufgabe 4 Lösung Initialisierung: Alle Knoten u V erhalten Gewicht w(u) =. solange True tue Sei u Blatt von T solange u hat Grad tue wenn n 2n/3 + 2 w(u) 2n/3 + 2 dann return Teilbaum von u indzuiert ges. Partitionierung. w(parent(u)) w(parent(u)) + w(u) Lösche u aus T u parent(u) n = 9 n 2n/3 + 2 = 5 2n/3 + 2 = 4 Annahme: Baum hat Wurzel mit Grad >= 2. Kanten sind zur Wurzel gerichtet.

32 Aufgabe 4 Lösung Initialisierung: Alle Knoten u V erhalten Gewicht w(u) =. solange True tue Sei u Blatt von T solange u hat Grad tue wenn n 2n/3 + 2 w(u) 2n/3 + 2 dann return Teilbaum von u indzuiert ges. Partitionierung. w(parent(u)) w(parent(u)) + w(u) Lösche u aus T u parent(u) n = 9 n 2n/3 + 2 = 5 2n/3 + 2 = 4 Annahme: Baum hat Wurzel mit Grad >= 2. Kanten sind zur Wurzel gerichtet.

33 Aufgabe 4 Lösung Initialisierung: Alle Knoten u V erhalten Gewicht w(u) =. solange True tue Sei u Blatt von T solange u hat Grad tue wenn n 2n/3 + 2 w(u) 2n/3 + 2 dann return Teilbaum von u indzuiert ges. Partitionierung. w(parent(u)) w(parent(u)) + w(u) Lösche u aus T u parent(u) n = 9 n 2n/3 + 2 = 5 2n/3 + 2 = 4 Annahme: Baum hat Wurzel mit Grad >= 2. Kanten sind zur Wurzel gerichtet. 2

34 Aufgabe 4 Lösung Initialisierung: Alle Knoten u V erhalten Gewicht w(u) =. solange True tue Sei u Blatt von T solange u hat Grad tue wenn n 2n/3 + 2 w(u) 2n/3 + 2 dann return Teilbaum von u indzuiert ges. Partitionierung. w(parent(u)) w(parent(u)) + w(u) Lösche u aus T u parent(u) n = 9 n 2n/3 + 2 = 5 2n/3 + 2 = 4 Annahme: Baum hat Wurzel mit Grad >= 2. Kanten sind zur Wurzel gerichtet. 3 2

35 Aufgabe 4 Lösung Initialisierung: Alle Knoten u V erhalten Gewicht w(u) =. solange True tue Sei u Blatt von T solange u hat Grad tue wenn n 2n/3 + 2 w(u) 2n/3 + 2 dann return Teilbaum von u indzuiert ges. Partitionierung. w(parent(u)) w(parent(u)) + w(u) Lösche u aus T u parent(u) n = 9 n 2n/3 + 2 = 5 2n/3 + 2 = 4 Annahme: Baum hat Wurzel mit Grad >= 2. Kanten sind zur Wurzel gerichtet

36 Aufgabe 4 Lösung Initialisierung: Alle Knoten u V erhalten Gewicht w(u) =. solange True tue Sei u Blatt von T solange u hat Grad tue wenn n 2n/3 + 2 w(u) 2n/3 + 2 dann return Teilbaum von u indzuiert ges. Partitionierung. w(parent(u)) w(parent(u)) + w(u) Lösche u aus T u parent(u) n = 9 n 2n/3 + 2 = 5 2n/3 + 2 = 4 Annahme: Baum hat Wurzel mit Grad >= 2. Kanten sind zur Wurzel gerichtet

37 Aufgabe 4 Lösung Initialisierung: Alle Knoten u V erhalten Gewicht w(u) =. solange True tue Sei u Blatt von T solange u hat Grad tue wenn n 2n/3 + 2 w(u) 2n/3 + 2 dann return Teilbaum von u indzuiert ges. Partitionierung. w(parent(u)) w(parent(u)) + w(u) Lösche u aus T u parent(u) n = 9 n 2n/3 + 2 = 5 2n/3 + 2 = 4 Annahme: Baum hat Wurzel mit Grad >= 2. Kanten sind zur Wurzel gerichtet

38 Aufgabe 4 Lösung Initialisierung: Alle Knoten u V erhalten Gewicht w(u) =. solange True tue Sei u Blatt von T solange u hat Grad tue wenn n 2n/3 + 2 w(u) 2n/3 + 2 dann return Teilbaum von u indzuiert ges. Partitionierung. w(parent(u)) w(parent(u)) + w(u) Lösche u aus T u parent(u) n = 9 n 2n/3 + 2 = 5 2n/3 + 2 = 4 Annahme: Baum hat Wurzel mit Grad >= 2. Kanten sind zur Wurzel gerichtet

39 Aufgabe 4 Lösung Initialisierung: Alle Knoten u V erhalten Gewicht w(u) =. solange True tue Sei u Blatt von T solange u hat Grad tue wenn n 2n/3 + 2 w(u) 2n/3 + 2 dann return Teilbaum von u indzuiert ges. Partitionierung. w(parent(u)) w(parent(u)) + w(u) Lösche u aus T u parent(u) n = 9 n 2n/3 + 2 = 5 2n/3 + 2 = 4 Annahme: Baum hat Wurzel mit Grad >= 2. Kanten sind zur Wurzel gerichtet

40 Aufgabe 4 Lösung Initialisierung: Alle Knoten u V erhalten Gewicht w(u) =. solange True tue Sei u Blatt von T solange u hat Grad tue wenn n 2n/3 + 2 w(u) 2n/3 + 2 dann return Teilbaum von u indzuiert ges. Partitionierung. w(parent(u)) w(parent(u)) + w(u) Lösche u aus T u parent(u) n = 9 n 2n/3 + 2 = 5 2n/3 + 2 = 4 Annahme: Baum hat Wurzel mit Grad >= 2. Kanten sind zur Wurzel gerichtet

41 Aufgabe 4 Lösung Initialisierung: Alle Knoten u V erhalten Gewicht w(u) =. solange True tue Sei u Blatt von T solange u hat Grad tue wenn n 2n/3 + 2 w(u) 2n/3 + 2 dann return Teilbaum von u indzuiert ges. Partitionierung. w(parent(u)) w(parent(u)) + w(u) Lösche u aus T u parent(u) n = 9 n 2n/3 + 2 = 5 2n/3 + 2 = 4 Annahme: Baum hat Wurzel mit Grad >= 2. Kanten sind zur Wurzel gerichtet

42 Triangulierung: Überblick Zweistufiges Verfahren: Schritt : Zerlege P in y-monotone Teilpolygone Definition: Ein Polygon P ist y-monoton, falls der Schnitt l P für jede horizontale Gerade l zusammenhängend ist. l Schritt 2: Trianguliere y-monotone Teilpolygone

43 Zerlegen in y-monotone Teile Idee: Unterscheide fünf verschiedene Knotenarten

44 Zerlegen in y-monotone Teile Idee: Unterscheide fünf verschiedene Knotenarten Wendeknoten: reguläre Knoten

45 Zerlegen in y-monotone Teile Idee: Unterscheide fünf verschiedene Knotenarten Wendeknoten: vertikale Laufrichtung wechselt reguläre Knoten

46 Zerlegen in y-monotone Teile Idee: Unterscheide fünf verschiedene Knotenarten Wendeknoten: vertikale Laufrichtung wechselt Startknoten α falls α < 80 reguläre Knoten

47 Zerlegen in y-monotone Teile Idee: Unterscheide fünf verschiedene Knotenarten Wendeknoten: vertikale Laufrichtung wechselt Startknoten α falls α < 80 Splitknoten β falls β > 80 reguläre Knoten

48 Zerlegen in y-monotone Teile Idee: Unterscheide fünf verschiedene Knotenarten Wendeknoten: vertikale Laufrichtung wechselt Startknoten α falls α < 80 Splitknoten β falls β > 80 Endknoten γ falls γ < 80 reguläre Knoten

49 Zerlegen in y-monotone Teile Idee: Unterscheide fünf verschiedene Knotenarten Wendeknoten: vertikale Laufrichtung wechselt Startknoten α falls α < 80 Splitknoten β falls β > 80 Endknoten γ falls γ < 80 Mergeknoten δ falls δ > 80 reguläre Knoten

50 Zerlegen in y-monotone Teile Idee: Unterscheide fünf verschiedene Knotenarten Wendeknoten: vertikale Laufrichtung wechselt Startknoten α falls α < 80 Splitknoten β falls β > 80 Endknoten γ falls γ < 80 Mergeknoten δ falls δ > 80 reguläre Knoten

51 Charakterisierung Lemma : Ein Polygon ist y-monoton, wenn es keine Splitoder Mergeknoten besitzt. an der Tafel Wir müssen alle Split- und Mergeknoten durch Einfügen von Diagonalen entfernen

52 Charakterisierung Lemma : Ein Polygon ist y-monoton, wenn es keine Splitoder Mergeknoten besitzt. an der Tafel Wir müssen alle Split- und Mergeknoten durch Einfügen von Diagonalen entfernen Vorsicht: Diagonalen dürfen weder Kanten von P noch andere Diagonalen schneiden

53 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus ) Diagonalen für Splitknoten v

54 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus ) Diagonalen für Splitknoten betrachte für jeden Knoten v linke Nachbarkante left(v) bzgl. horizontaler sweep line l left(v) v

55 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus ) Diagonalen für Splitknoten betrachte für jeden Knoten v linke Nachbarkante left(v) bzgl. horizontaler sweep line l left(v) v

56 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus ) Diagonalen für Splitknoten betrachte für jeden Knoten v linke Nachbarkante left(v) bzgl. horizontaler sweep line l left(v) v verbinde Splitknoten v zu niedrigstem Knoten w oberhalb v mit left(w) = left(v)

57 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus ) Diagonalen für Splitknoten betrachte für jeden Knoten v linke Nachbarkante left(v) bzgl. horizontaler sweep line l left(v) v w verbinde Splitknoten v zu niedrigstem Knoten w oberhalb v mit left(w) = left(v)

58 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus ) Diagonalen für Splitknoten betrachte für jeden Knoten v linke Nachbarkante left(v) bzgl. horizontaler sweep line l left(v) v w verbinde Splitknoten v zu niedrigstem Knoten w oberhalb v mit left(w) = left(v)

59 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus ) Diagonalen für Splitknoten betrachte für jeden Knoten v linke Nachbarkante left(v) bzgl. horizontaler sweep line l left(v) v w verbinde Splitknoten v zu niedrigstem Knoten w oberhalb v mit left(w) = left(v) speichere für jede Kante e den untersten Knoten w mit left(w) = e als helper(e) l e helper(e)

60 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus ) Diagonalen für Splitknoten betrachte für jeden Knoten v linke Nachbarkante left(v) bzgl. horizontaler sweep line l left(v) verbinde Splitknoten v zu niedrigstem Knoten w oberhalb v mit left(w) = left(v) v w speichere für jede Kante e den untersten Knoten w mit left(w) = e als helper(e) trifft l auf Splitknoten v: verbinde v mit helper(left(v)) l e helper(e) v

61 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus 2) Diagonalen für Mergeknoten erreicht man Mergeknoten v wird helper(left(v)) = v l left(v) v

62 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus 2) Diagonalen für Mergeknoten erreicht man Mergeknoten v wird helper(left(v)) = v l v v erreicht man Splitknoten v mit left(v ) = left(v) wird Diagonale (v, v ) eingefügt

63 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus 2) Diagonalen für Mergeknoten erreicht man Mergeknoten v wird helper(left(v)) = v l v v erreicht man Splitknoten v mit left(v ) = left(v) wird Diagonale (v, v ) eingefügt v ersetzt man helper(left(v)) durch v wird Diagonale (v, v ) eingefügt l v

64 In Richtung Sweep-Line-Algorithmus 2) Diagonalen für Mergeknoten erreicht man Mergeknoten v wird helper(left(v)) = v l v v erreicht man Splitknoten v mit left(v ) = left(v) wird Diagonale (v, v ) eingefügt v ersetzt man helper(left(v)) durch v wird Diagonale (v, v ) eingefügt l v v erreicht man das Ende v von left(v) wird Diagonale (v, v ) eingefügt v l

65 Aufgabe MakeMonotone(Polygon P ) D doppelt-verkettete Kantenliste für (V (P ), E(P )) Q priority queue für V (P ) lexikographisch sortiert T (binärer Suchbaum für Sweep-Line Status) while Q do v Q.nextVertex() e Q.deleteVertex(v) handlevertex(v) return D helper(e ) v e helper(e) handlemergevertex(vertex v) e rechte Kante if ismergevertex(helper(e)) then D füge (helper(e), v) ein lösche e aus T e Kante links von v in T if ismergevertex(helper(e )) then D füge (helper(e ), v) ein helper(e ) v

66 Aufgabe 2 MakeMonotone(Polygon P ) D doppelt-verkettete Kantenliste für (V (P ), E(P )) Q priority queue für V (P ) lexikographisch sortiert T (binärer Suchbaum für Sweep-Line Status) while Q do v Q.nextVertex() Q.deleteVertex(v) handlevertex(v) return D Annahme: P hat nur O() Wendepunkte. Aufgabe: Beschleunige Verfahren auf O(n) Zeit.

67 Aufgabe 2 MakeMonotone(Polygon P ) D doppelt-verkettete Kantenliste für (V (P ), E(P )) Q priority queue für V (P ) lexikographisch sortiert T (binärer Suchbaum für Sweep-Line Status) while Q do v Q.nextVertex() Q.deleteVertex(v) handlevertex(v) return D Annahme: P hat nur O() Wendepunkte. Aufgabe: Beschleunige Verfahren auf O(n) Zeit. Beobachtung: Erstellung von Q kostet O(n log n) Zeit. Anfragen in T kosten insgesamt O(n log n) Zeit.

68 Aufgabe 2. Schritt: Erstelle Queue Q in O(n) Zeit.

69 Aufgabe 2 L L 4 L 3. Schritt: Erstelle Queue Q in O(n) Zeit. Durchlauf P gegen den Uhrzeigersinn. Fasse aufeinanderfolgende reguläre Knoten in Liste zusammen. Beobachtung: Listen sind nach y-koordinate sortiert. O() viele Listen. L 2. Verwende Merge-Schritt von Merge-Sort auf Listen an, um eine Liste zu erhalten. 2. Füge Wendeknoten sortiert in Liste ein. O(n) Zeit, da O() viele Listen und O() viele Wendepunkte. Queue Q kann in O(n) Zeit aufgebaut werden.

70 Aufgabe 2 2. Schritt: Ersetze T. Aufgabe von T : Für Knoten v bestimme Kante left(v) direkt links von v. L 4 L L 3 L 2

71 Aufgabe 2 2. Schritt: Ersetze T. Aufgabe von T : Für Knoten v bestimme Kante left(v) direkt links von v. L 4 left(v) Idee: Berechne für jeden Knoten v die Kante left(v) vor. L l L 3 Sweep-Line: von oben nach unten. Sweep-Zustand: Kanten die Sweep-Line schneiden L 2 Event: Knoten des Polygons Bestimme Kante, die Sweep-Line direkt links von aktuellen Knoten schneidet. Sweep-Line schneidet immer nur O() viele Kanten, da O() viele Listen und O() viele Wendepunkte.