Kanonische Ordnungen und die Mondshein-Sequenz

Transkript

1 Kanonische Ordnungen und die Mondshein-Sequenz a.k.a. (2,)-Order

2 Überblick Geradlinige Zeichnungen Kanonische Ordnungen + Shift-Algorithmus Erweiterungen durch Ohrendekompositionen Mondshein-Sequenz + Anwendungen

3 Geradlinige Zeichnungen 2 Wie kann man eine planare Einbettung zeichnen? 2 planare Einbettung geradlinige Zeichnung Thm [Steinitz & Rademacher ', Wagner '6, Fary '8, Stein '5]: Jeder planare Graph hat eine geradlinige Zeichnung. Aber: Fläche der Zeichnung in Beweisen ist nicht polynomiell durch n beschränkt! Aber: Beweise liefern kein effizientes Verfahren, um Zeichnung zu finden (geometrische Argumente high precision arithmetic).

4 Geradlinige Zeichnungen Thm [de Fraysseix, Pach, Pollack '88]: Jeder planare Graph hat eine geradlinige Zeichnung auf einem (2n-) (n-2)-gitter. Effizient! hier Thm [Schnyder '90]: Jeder planare Graph hat eine geradlinige Zeichnung auf einem (n-2) (n-2)-gitter. Thm [Brandenburg '08]: Jeder planare Graph hat eine geradlinige Zeichnung auf einem (n/) (2n/)-Gitter.

5 Eingabegraph Triangulation = planare Einbettung, in der jede innere Fläche ein Dreieck ist n n 2 2 z.b. maximal planar wenn nicht maximal planar: füge Kanten in Flächen ein Sei G=(V,E) Einbettung eines maximal planaren Graphen mit äußerer Fläche,2,n.

6 Kanonische Ordnung Def.: Eine kanonische Ordnung von G ist eine Totalordnung,...,n der Knoten, so dass für jedes i gilt: Knoten,...,i- induzieren eine 2-zusammenhängende Triangulation G i- Kante (,2) liegt auf Außenfläche von Gi-; Knoten i außerhalb von G i- Nachbarn von i in G i- sind konsekutiv auf Außenfläche von G i- (maximal planar) n 2

9 Kanonische Ordnung Def.: Eine kanonische Ordnung von G ist eine Totalordnung,...,n der Knoten, so dass für jedes i gilt: Knoten,...,i- induzieren eine 2-zusammenhängende Triangulation G i- Kante (,2) liegt auf Außenfläche von Gi-; Knoten i außerhalb von G i- Nachbarn von i in G i- sind konsekutiv auf Außenfläche von G i- (maximal planar) n 7 2

10 Kanonische Ordnung Def.: Eine kanonische Ordnung von G ist eine Totalordnung,...,n der Knoten, so dass für jedes i gilt: Knoten,...,i- induzieren eine 2-zusammenhängende Triangulation G i- Kante (,2) liegt auf Außenfläche von Gi-; Knoten i außerhalb von G i- Nachbarn von i in G i- sind konsekutiv auf Außenfläche von G i- (maximal planar) n 7 6 2

11 Kanonische Ordnung Def.: Eine kanonische Ordnung von G ist eine Totalordnung,...,n der Knoten, so dass für jedes i gilt: Knoten,...,i- induzieren eine 2-zusammenhängende Triangulation G i- Kante (,2) liegt auf Außenfläche von Gi-; Knoten i außerhalb von G i- Nachbarn von i in G i- sind konsekutiv auf Außenfläche von G i- (maximal planar) n

12 Kanonische Ordnung Def.: Eine kanonische Ordnung von G ist eine Totalordnung,...,n der Knoten, so dass für jedes i gilt: Knoten,...,i- induzieren eine 2-zusammenhängende Triangulation G i- Kante (,2) liegt auf Außenfläche von Gi-; Knoten i außerhalb von G i- Nachbarn von i in G i- sind konsekutiv auf Außenfläche von G i- (maximal planar) n zum 2-Zusammenhang 2

16 Existenz Lemma: G hat eine kanonische Ordnung. Notwendig: i nicht inzident zu einer Sehne der Außenfläche von Gi Hinreichend: Jeder -Separator von Gi- ist Teil eines 2-Separators von G i. Da G i Triangulation, muss 2-Separator auf Außenfläche von G i sein. Dann existiert Sehne zwischen den beiden Separator-Knoten. Existiert ein Knoten i {,2}, der nicht zu einer Sehne inzident ist? i G i G i- j 2 Sehne (i,j) der Außenfläche: 2-Separator j 2 -Separator j zum 2-Zusammenhang

17 Existenz Lemma: G hat eine kanonische Ordnung. Notwendig: i nicht inzident zu einer Sehne der Außenfläche von Gi Hinreichend: Jeder -Separator von Gi- ist Teil eines 2-Separators von G i. Da G i Triangulation, muss 2-Separator auf Außenfläche von G i sein. Dann existiert Sehne zwischen den beiden Separator-Knoten. Existiert ein Knoten i {,2}, der nicht zu einer Sehne inzident ist? ja i 2 denn minimale Sehnen überdecken solche Knoten! G i

18 Shift-Algorithmus Zeichne Knoten,2, im Einheitsgitter an den Koordinaten (0,0),(2,0),(,). 2 Invarianten vor jedem nächsten Knoten i : und 2 sind an Koordinaten (0,0) und (2i-6,0) x-koordinaten der Knoten der Außenfläche von G i- monoton steigend Jede Kante (,2) auf Außenfläche von G i- hat Steigung oder -. G i

19 Shift-Algorithmus Zeichne Knoten,2, im Einheitsgitter an den Koordinaten (0,0),(2,0),(,). 2 Invarianten vor jedem nächsten Knoten i : und 2 sind an Koordinaten (0,0) und (2i-6,0) x-koordinaten der Knoten der Außenfläche von G i- monoton steigend Jede Kante (,2) auf Außenfläche von G i- hat Steigung oder -. i y x G i

20 Shift-Algorithmus Zeichne Knoten,2, im Einheitsgitter an den Koordinaten (0,0),(2,0),(,). 2 Invarianten vor jedem nächsten Knoten i : und 2 sind an Koordinaten (0,0) und (2i-6,0) x-koordinaten der Knoten der Außenfläche von G i- monoton steigend Jede Kante (,2) auf Außenfläche von G i- hat Steigung oder -. i Idee! x G i y

21 Shift-Algorithmus Zeichne Knoten,2, im Einheitsgitter an den Koordinaten (0,0),(2,0),(,). 2 Invarianten vor jedem nächsten Knoten i : und 2 sind an Koordinaten (0,0) und (2i-6,0) x-koordinaten der Knoten der Außenfläche von G i- monoton steigend Jede Kante (,2) auf Außenfläche von G i- hat Steigung oder -. i Idee! x G i y

22 Shift-Algorithmus Zeichne Knoten,2, im Einheitsgitter an den Koordinaten (0,0),(2,0),(,). 2 Invarianten vor jedem nächsten Knoten i : und 2 sind an Koordinaten (0,0) und (2i-6,0) x-koordinaten der Knoten der Außenfläche von G i- monoton steigend Jede Kante (,2) auf Außenfläche von G i- hat Steigung oder -. i y x G i

23 Shift-Algorithmus n (0,0) 2

24 Shift-Algorithmus n (0,0)

27 Shift-Algorithmus n (0,0) + +2

31 Shift-Algorithmus Halt! Wie weit wird Knoten verschoben? n (0,0)

32 Shift-Algorithmus i Lower Set L(i) x y Lower Sets L(v) in G i- Antwort: Verschiebe L(v) wie v. Korrektheit: Lower Sets von ]x,y[ bilden Wald in Gi- denn ix und iy sind nicht in L(i) Per Induktion können die Knoten der Lower Sets von ]x,y[ um nach rechts verschoben werden [y,n] um 2 nach rechts verschoben werden i wird an Schnittpunkt der Geraden an x und y mit Steigung und - gesetzt i verursacht keine Kantenkreuzung

33 Shift-Algorithmus Halt! Wie weit wird Knoten verschoben? n (0,0)

35 Shift-Algorithmus n 7 6 n (0,0)

36 Shift-Algorithmus n n (0,0) 2

37 Shift-Algorithmus n (n-2,n-2) n (0,0) 2 (2n-,0)

38 Shift-Algorithmus Wegen Steigung + und - an Kanten (,n) und (2,n) (n-2,n-2) n (0,0) (2n-) (n-2)-gitter 2 (2n-,0) Jeweils um +2 verschoben (außer bei Knoten und 2)

39 Laufzeit Berechnung einer kanonischen Ordnung: Laufzeit für das Finden aller Sehnen von Gi- : O(n) z.b. durch Markierung der Knoten auf der Außenfläche Insgesamt O(n 2 ) O(n) mit zusätzlichen Tricks möglich Shift-Algorithmus: Laufzeit für Schritt i: O(n) durch Verschieben der Knoten Insgesamt O(n 2 ) O(n) mit zusätzlichen Tricks möglich n 2

40 Überblick Geradlinige Zeichnungen Kanonische Ordnungen + Shift-Algorithmus Erweiterungen durch Ohrendekompositionen Mondshein-Sequenz + Anwendungen

41 Ohrendekomposition Ohrendekomposition = geordnete Partition C,C 2,...,C m-n+ von E in Kreis C und Pfade C 2,...,C m-n+, so dass sich jedes C i mit C... C i- genau in seinen Endknoten schneidet. r u t

42 Ohrendekomposition Ohrendekomposition = geordnete Partition C,C 2,...,C m-n+ von E in Kreis C und Pfade C 2,...,C m-n+, so dass sich jedes C i mit C... C i- genau in seinen Endknoten schneidet. r u t

43 Ohrendekomposition Ohrendekomposition = geordnete Partition C,C 2,...,C m-n+ von E in Kreis C und Pfade C 2,...,C m-n+, so dass sich jedes C i mit C... C i- genau in seinen Endknoten schneidet. r u 2 t

44 Ohrendekomposition Ohrendekomposition = geordnete Partition C,C 2,...,C m-n+ von E in Kreis C und Pfade C 2,...,C m-n+, so dass sich jedes C i mit C... C i- genau in seinen Endknoten schneidet. r u 2 t

45 Ohrendekomposition Ohrendekomposition = geordnete Partition C,C 2,...,C m-n+ von E in Kreis C und Pfade C 2,...,C m-n+, so dass sich jedes C i mit C... C i- genau in seinen Endknoten schneidet. r 2 u Kante: kurzes Ohr sonst: langes Ohr... t Thm [Whitney '2]: Ein Graph ist genau dann 2-zusammenhängend, wenn er eine Ohrendekomposition hat. nutze für Erweiterungen

46 Erweiterung auf -Zusammenhang Maximal planare Graphen sind -zusammenhängend. Sei G planar -zusammenhängend mit Pfad t-r-u auf der Außenfläche. Nachbarn von i in G i- müssen nicht mehr konsekutiv sein! Füge statt Knoten Pfade hinzu Ohrendekomposition! Eine kanonische Ordnung durch tr und nach u ist eine Ohrendekomposition D für die gilt: Bedingung für Kante (,2) rt C 2-Zusammenhang u ist alleiniger innerer Knoten des letzten langen Ohres C(u) und ru C(u) D ist nicht-separierend (d.h. G-V(C... C i- ) ist zusammenhängend i) r u t

47 Erweiterung auf -Zusammenhang Maximal planare Graphen sind -zusammenhängend. Sei G planar -zusammenhängend mit Pfad t-r-u auf der Außenfläche. Nachbarn von i in G i- müssen nicht mehr konsekutiv sein! Füge statt Knoten Pfade hinzu Ohrendekomposition! Eine kanonische Ordnung durch tr und nach u ist eine Ohrendekomposition D für die gilt: Bedingung für Kante (,2) rt C 2-Zusammenhang u ist alleiniger innerer Knoten des letzten langen Ohres C(u) und ru C(u) D ist nicht-separierend (d.h. G-V(C... C i- ) ist zusammenhängend i) r u non-separating cycle existiert nach Tutte t

53 Erweiterung auf -Zusammenhang Maximal planare Graphen sind -zusammenhängend. Sei G planar -zusammenhängend mit Pfad t-r-u auf der Außenfläche. Nachbarn von i in G i- müssen nicht mehr konsekutiv sein! Füge statt Knoten Pfade hinzu Ohrendekomposition! Eine kanonische Ordnung durch tr und nach u ist eine Ohrendekomposition D für die gilt: Bedingung für Kante (,2) rt C 2-Zusammenhang u ist alleiniger innerer Knoten des letzten langen Ohres C(u) und ru C(u) D ist nicht-separierend (d.h. G-V(C... C i- ) ist zusammenhängend i) r u Knoten i außerhalb von G i- existiert genau für -zshngd. Graphen t

54 und nicht-planare Graphen! Eine kanonische Ordnung durch tr und nach u ist eine Ohrendekomposition D für die gilt: rt C u ist alleiniger innerer Knoten des letzten langen Ohres C(u) und ru C(u) D ist nicht-separierend r u r u t t [S. 20] Kanonische Ordnungen sind nicht-separierende Ohrenzerlegungen.

55 Historie Planar 988 de Fraysseix, Pach, Pollack Maximal Planar O(n log n) 990 Chrobak, Payne Maximal Planar O(n) 990 Kant -zshng. O(n)... PhD-Thesis am MIT (insgesamt mal referenziert) General 97 Mondshein -zshng. O(m 2 ) 988 Cheriyan, Maheshwari -zshng. O(nm) 989 Itai, Zehavi -zshng. nur Existenz 20 S. -zshng. O(m) Mondshein-Sequenz = nicht-separierende Ohrendekomposition Mondshein nannte diese wegen 2- und -zshngd. Teil (2,)-Sequenz. Heutzutage wird sie auch (2,)-Order genannt.

56 Anwendungen Anwendung : Planaritätstest (in Linearzeit) geg.: -zshngd. Graph r u Sei die Außenfläche links der Kante ru. Wenn G planar ist, t ist C Fläche nach Satz von Tutte (nicht-separierende Kreise = Flächen). hat G eine eindeutige planare Einbettung nach Satz von Whitney.

57 Anwendungen Anwendung : Planaritätstest (in Linearzeit) geg.: -zshngd. Graph r u Sei die Außenfläche links der Kante ru. Wenn G planar ist, t ist C Fläche nach Satz von Tutte (nicht-separierende Kreise = Flächen). hat G eine eindeutige planare Einbettung nach Satz von Whitney.

58 Anwendungen Anwendung : Planaritätstest (in Linearzeit) geg.: -zshngd. Graph r u t Alle inneren Knoten des nächsten Ohres müssen in die Außenfläche! (sonst erzeugt die Nicht-Separiertheit von D eine Kreuzung) Nachbarn des Ohres müssen also konsekutiv auf Außenfläche liegen.

61 Anwendungen Anwendung : Planaritätstest (in Linearzeit) geg.: -zshngd. Graph r u Algorithmus verwaltet lediglich die Knotenreihenfolge der äußeren Fläche. t Alle inneren Knoten des nächsten Ohres müssen in die Außenfläche! (sonst erzeugt die Nicht-Separiertheit von D eine Kreuzung) Nachbarn des Ohres müssen also konsekutiv auf Außenfläche liegen. Wenn nicht, kann ein Kuratowski-Teilgraph extrahiert werden.

62 Anwendungen Anwendung 2: Unabhängige Spannbäume [Vermutung von Itai und Rodeh '89] Enthält jeder k-zusammenhängende Graph k unabhängige Spannbäume? t s

63 Anwendungen Anwendung 2: Unabhängige Spannbäume [Vermutung von Itai und Rodeh '89] Enthält jeder k-zusammenhängende Graph k unabhängige Spannbäume? t s

64 Anwendungen Anwendung 2: Unabhängige Spannbäume [Vermutung von Itai und Rodeh '89] Enthält jeder k-zusammenhängende Graph k unabhängige Spannbäume? t 2 Historie: k=: Spannbaum O(m) k=2: [Itai, Rodeh '8] st-numbering O(m) k=: [S. '] Mondshein-Sequenz O(m) k=: [Curran, Lee, Yu '06] O(m ) k>: [OFFEN] sogar Existenz s

65 Anwendungen Anwendung 2: Unabhängige Spannbäume unabhängige Spannbäume: Nehme r als Wurzel. Betrachte den Graph nach Hinzufügen des Knotens x. r u x t Ohrenzerlegung ergibt 2 unabhängige Pfade von x nach r. Nicht-Separiertheit ergibt weiteren Pfad von x nach r (jedes x ist zu den verbleibenden Knoten benachbart). Konsistente st-numerierung ergibt unabhängige Spannbäume.

66 Anwendungen Anwendung 2: Unabhängige Spannbäume r u r 2 u t t unabhängige Spannbäume

67 Anwendungen Anwendung : Das -Partitionsproblem geg.: Knoten a,...,a k eines Graphen G und Zahlen n,...,n k mit Summe n. gesucht: k-partition von V, so dass für alle i gilt: a i V i, V i =n i, und G[V i ] ist zusammenhängend....existenz bewiesen für den Fall das G -zshngd. ist. a 2 a n =, n 2 =5, n =5 2 a 2

68 Anwendungen Anwendung : Das -Partitionsproblem Linearzeitalgorithmus mit Mondshein-Sequenz: r u Splitte C, da n +n 2 > G 2 t V -{8} oder V -{} a =r, a 2 =t, a =u n =, n 2 =5, n =5

69 Anwendungen Anwendung : Das -Partitionsproblem Linearzeitalgorithmus mit Mondshein-Sequenz: r u Splitte C, da n +n 2 > G 2 t V -{8} oder V -{} a =r, a 2 =t, a =u n =, n 2 =5, n =5 V und V 2 mit geeignet gewähltem rt-numbering (k=2)

70 Anwendungen Weitere Anwendungen für: Output-lineare Datenstrukturen, die für jede 2 Knoten bis zu drei intern knotendisjunkte Pfade ausgeben [S. 20] Kontrahierbare Teilgraphen von -zusammenhängenden Graphen [S. 206] Orthogonale Einbettungen [Biedl & S. 205] Analoge Struktur für -kantenzshngd. Graphen existiert [Schlipf & S. 206].