Geometric Algebra Computing Transformationen in LA und CGA Dr. Dietmar Hildenbrand
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- Dominik Bachmeier
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1 Geomeric Algebra Compuing Tranformaionen in LA und CGA Dr. Diemar Hildenbrand Techniche Univeriä Darmad Fachbereich Mahemaik
2 Überblick In linearer Algebra Homogene Koordinaen Tranformaionen in linearer Algebra Tranformaionen in konformer geomericher Algebra
3 Homogene Koordinaen definiere Äquivalenklae: 3D (inhomogene) Koordinaen 4D homogene Koordinaen Skalierungfakor bw. Gewich w ungleich w / w / w / w
4 Tranlaion Tranlaion al Mari-Muliplikaion in homogenen Koordinaen Bp. Tranlaion um den Vekor (,, ) Homogene Koordinaen ind einfach deubar al ein erweiere Rechenchema!
5 Tranlaion Tranlaion al Mari-Muliplikaion in homogenen Koordinaen Bp. Tranlaion um den Vekor (,, ) Homogene Koordinaen ind einfach deubar al ein erweiere Rechenchema!
6 Tranlaion Tranlaion al Mari-Muliplikaion in homogenen Koordinaen Bp. Tranlaion um den Vekor (,, ) Homogene Koordinaen ind einfach deubar al ein erweiere Rechenchema!
7 Tranlaion Tranlaion al Mari-Muliplikaion in homogenen Koordinaen Bp. Tranlaion um den Vekor (,, ) Homogene Koordinaen ind einfach deubar al ein erweiere Rechenchema!
8 Tranlaion Tranlaion al Mari-Muliplikaion in homogenen Koordinaen Bp. Tranlaion um den Vekor (,, ) Homogene Koordinaen ind einfach deubar al ein erweiere Rechenchema!
9 Roaion Eine Roaion R um den Winkel um die -Ache in mahemaich poiive Richung ergib für die Baivekoren folgende Beiehung: R ((,, ) ) ( co, in, ) R ((,, ) ) (-in, co, ) R ((,, ) ) (,, )
10 Roaion Die ugehörige 3 3 Mari ergib ich daher u In homogenen Koordinaen folg für die Roaion R um die -Ache co in in co co in in co
11 Roaion Bei Roaion R um die -bw. -Ache ergeben ich analog folgende homogene Darellungen. Drehung mi dem Winkel um die -Ache Drehung mi dem Winkel um die -Ache co in in co co in in co
12 Roaion um beliebige Ache (durch Urprung) Berechnung von R Drehung R(,,) um beliebige Ache in Richung de normieren Vekor r(,,) um den Winkel Orhonormale Bai (r,,) beimmen erer Baivekor i r weier Baivekor oll enkrech auf r ehen: drier Baivekor r r e r e r oder ( fall r ) R R - r e R () r e r e r
13 Roaion um beliebige Ache (durch Urprung) Berechnung von R Vekoren (r,,) werden in die Spalen der Tranformaionmari gechrieben T-Mari i orhogonal und ranformier e r, e, e. (da i R - ) Für orhonormiere Marien A gil e A - A. Alo: R ergib ich, indem man die Vekoren (r,,) in die Zeilen von A chreib r R R - r R () r
14 Roaion um beliebige Ache (durch Urprung) Dreh man im Uhreigerinn um den Vekor (,,) und den Winkel, o gil mi den Abkürungen in(), cco() und -co() Für kleine Winkel ( < ) kann man in durch die Bogenlänge und co durch approimieren ( ), 2 2 2,, c c c R ( ),, R
15 Roaion um beliebige Raumache Die biher dikuieren Roaionen laen den Urprung fe Roaionache durch eine beliebige Ache im Raum Verchiebung de Roaionenrum in den Urprung anchließende Roaion und Zurückverchiebung in da Roaionenrum r T T - r r R(r)
16 Roaion um beliebige Raumache Beipiel Roaion in poiiver Richung um eine Ache durch den Punk (,, ) und um den Winkel Die Richung der Roaionache ei die -Richung. p p co in in co
17 Tranformaionen in geomericher Algebra Siehe CluCalc-Scrip ConformalTranformaion.clu
18 Tranformaion in geomeric algebra
19 RoaionAi
20 CLUScrip eample RoaionAi.clu
21 Roor
22 CLUScrip eample Roor.clu
23 Tranlaor
24 Rigid Bod Moion
25 CLUScrip eample RigidBod.clu
26 Screw Moion
27 Inerpolaion of moion
28 Velociie
29 Dnamic
30 Al näche numeriche Sabiliä der Berechnung von Roaionen a) wie berechne man viele hinereinander augeführe Roaionen in linearer Algebra, wie in geomericher Algebra? b) wa paier, wenn durch Tranformaionmarien bechriebene Roaionen numerich ungenau werden? c) wa paier, wenn durch Rooren bechriebene Roaionen numerich ungenau werden? d) in welchem Sinn, ind Rooren dami numerich abiler al Tranformaionmarien?
31 vielen Dank für die Aufmerkamkei
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