Zusammenfassung: Lineare mechanische Wellen

Transkript

1 LGÖ K Ph -ündig Shuljahr 08/09 Zuammenfaung: Lineare mehanihe Wellen Inhalverzeihni Forhreiende ranveralwellen... Sehende ranveralwellen... 3 Refleion von ranveralwellen... ranverale Eigenhwingungen... 5 Longiudinalwellen... 6 Für Eperen... 7 Forhreiende ranveralwellen Alle Shwingungen und Wellen werden al ungedämpf angeehen. Mehanihe Wellen benöigen zu ihrer Aubreiung einen Wellenräger, d. h. einen feen, flüigen oder gaförmigen Körper. Wir berahen nur lineare Wellen, d. h. Wellen mi einem eindimenionalen Wellenräger, beipielweie einem Seil oder einer Saie. Ein Modell für einen linearen Wellenräger ind einzelne eilhen, die durh elaihe Bänder aneinander geoppel ind. Beweg man da eilhen am linen Rand de Wellenräger nah oben bzw. unen, dann wird durh da elaihe Band da zweie eilhen nah oben bzw. unen behleunig, anhließend da drie eilhen uw.; auf dem Wellenräger läuf eine Querörung mi einer onanen Aubreiunggehwindigei nah reh. Beweg man da ere eilhen nah oben und wieder zurü in eine Gleihgewihlage, dann läuf ein Wellenberg nah reh. Die Momenangehwindigei eine eilhen heiß eine Shnelle v. Sie i an der Vordereie de Wellenberg nah oben und an der Rüeie de Wellenberg nah unen gerihe; da eilhen auf dem Gipfel de Wellenberg ha die Momenangehwindigei Null. v v Führ da ere eilhen (der Erreger) eine harmonihe Shwingung au, dann überräg ih diee Bewegung der Reihe nah auf die anderen eilhen. Sobald ein eilhen von der Welle erfa wird, beginn e ebenfall harmonih zu hwingen. Eine harmonihe Welle breie ih au. Die Shnelle v der eilhen i e orhogonal zur Aubreiunggehwindigei der Welle; e handel ih um eine ranveralwelle (Querwelle). Ein Momenbild der Welle i räumlih periodih mi der Wellenlänge al Periode. Wie hnell ein Erreger hwing, ann man mi der Periodendauer oder mi der Frequenz f angeben, alo mi der Anzahl der Shwingungen pro Seunde. E gil f. Einhei: Hz (Herz) zu_linearemehanihewellen /7

2 LGÖ K Ph -ündig Shuljahr 08/09 Beweg ih der Erreger zum Zeipun 0 in Rihung wahender -Were durh die Gleihgewihlage, dann breie ih eine Welle mi einem Wellenberg an der Vorderfron au: Shwing der Erreger mi der Frequenz f bzw. der Periodendauer, dann breie ih die Welle in der Zei um die Wellenlänge au. Alo gil für die Aubreiunggehwindigei der Welle: f. Eine forhreiende Welle ranporier Energie. Ere Sandardaufgabe: Zeihne ein Momenbild der Welle zum Zeipun. Löung: Berehne die Wellenlänge mihilfe der Beziehung f. Berehne mihilfe der Beziehung die Sree, um die ih die Welle zum Zeipun augebreie ha. Zeihne vom Or au rüwär da Bild der Welle. Geh der Erreger zum Zeipun 0 nah oben (bzw. nah unen) durh die Gleihgewihlage, dann i an der Vorderfron der Welle ein Wellenberg (bzw. ein Wellenal). Zweie Sandardaufgabe: Behreibe die Bewegung de eilhen in der Enfernung vom Erreger. Löung: Berehne mi Hilfe der Beziehung die Zei 0, nah der die Welle da eilhen erfa. 0 Für 0 i da eilhen in Ruhe. zu_linearemehanihewellen /7

3 LGÖ K Ph -ündig Shuljahr 08/09 Für 0 gil: Wird die Bewegung de Erregereilhen durh E in behrieben, dann gil für da eilhen: in. E 0 0 Sehende ranveralwellen Breien ih auf einem Wellenräger zwei Wellen au, dann überlagern ie ih ungeör, d. h. die Elongaionen addieren ih (Superpoiionprinzip). Wir berahen zwei einander engegenlaufende (blau und grün gezeihnee) Wellen mi derelben Wellenlänge und derelben Ampliude. Die Überlagerung ergib die (ro gezeihnee) reulierende Welle: 0 3 zu_linearemehanihewellen 3/7

4 LGÖ K Ph -ündig Shuljahr 08/09 Die Überlagerung ergib eine ehende Welle. Die eilhen an den marieren Punen bleiben immer in Ruhe; diee Sellen heißen Bewegungnoen. Der Aband zweier benahbarer Bewegungnoen i. Die eilhen zwihen benahbaren Bewegungnoen hwingen gleihzeiig mi verhiedener Ampliude in die gleihe Rihung. Die eilhen in der Mie zwihen den Bewegungnoen hwingen mi maimaler Ampliude; diee Sellen heißen Bewegungbäuhe. Eine ehende Welle ranporier eine Energie. Refleion von ranveralwellen. Refleion an einem feen Ende Ein Wellenberg wird al Wellenal refleier. 0 Die refleiere Welle eneh au der gedahen weierlaufenden Welle durh eine Punpiegelung an P. P Vor dem Ende bilde ih eine ehende Welle mi einem Bewegungnoen an dem feen Ende.. Refleion an einem freien Ende Ein Wellenberg wird al Wellenberg refleier. 0 Die refleiere Welle eneh au der gedahen weierlaufenden Welle durh eine Geradenpiegelung an g. g Vor dem Ende bilde ih eine ehende Welle mi einem Bewegungbauh an dem freien Ende. zu_linearemehanihewellen /7

5 LGÖ K Ph -ündig Shuljahr 08/09 ranverale Eigenhwingungen Wir berahen einen beideiig begrenzen Wellenräger der Länge l mi der Aubreiunggehwindigei für ranveralwellen. Wir berahen nur den Fall, da beide Enden de Wellenräger fe ind; die anderen Fälle werden bei Für Eperen berahe. Eine ehende Welle ha an beiden Enden einen Bewegungnoen. Alo gib e folgende Mögliheien: l l l Grundhwingung. Oberhwingung 3 3 l. Oberhwingung uw. Allgemein: l ( ; ; 3; ) Auflöen der allgemeinen Bedingung nah ergib l. (*) Auflöen der Gleihung f nah f ergib f, und Einezen der Gleihung (*) ergib f l l. Eigenhwingungen (d. h. abile ehende Wellen) ind alo nur bei beimmen Frequenzen möglih, den og. Eigenfrequenzen f ( ; ; 3; ). l Die Frequenz f l der Grundhwingung i die leine dieer Frequenzen. Die Frequenzen der Oberhwingungen ind alle ganzzahligen Vielfahe hiervon: f f ( ; 3; ). Bei Anregung mi einer Eigenfrequenz ri Reonanz auf, und e bilde ih eine Eigenhwingung mi großer Ampliude. Bring man die (beideiig eingepanne) Saie eine Muiinrumen zum Shwingen, dann ell ih die Grundhwingung ein und gleihzeiig mi hwäheren Ampliuden einige der Oberhwingungen. Die Grundhwingung beimm die onhöhe und die Lauäre, und die Oberhwingungen beimmen den Klang. zu_linearemehanihewellen 5/7

6 LGÖ K Ph -ündig Shuljahr 08/09 Longiudinalwellen Ein Modell für einen linearen Wellenräger ind einzelne eilhen, die ih nur läng einer Geraden bewegen önnen und die ih gegeneiig aboßen. Beweg man da eilhen am linen Rand de Wellenräger nah reh bzw. lin, dann wird da zweie eilhen nah reh bzw. lin behleunig, anhließend da drie eilhen uw.; auf dem Wellenräger breie ih eine Längörung mi der Aubreiunggehwindigei au. Führ da ere eilhen eine harmonihe Shwingung au, dann überräg ih diee Bewegung der Reihe nah auf die anderen eilhen. Sobald ein eilhen von der Welle erfa wird, beginn e ebenfall harmonih zu hwingen. Man räg eine Elongaion der eilhen, die nah reh erfolg, nah oben auf. Die Shnelle v der eilhen i e parallel zur Aubreiunggehwindigei der Welle; e handel ih um eine Longiudinalwelle (Längwelle). 0 3 In feen Körpern gib e ranveralwellen und Longiudinalwellen. An der Oberflähe von Flüigeien gib e nur ranveralwellen. Im Innern von Flüigeien und in Gaen gib e nur Longiudinalwellen. I der Wellenräger ein Ga oder eine Flüigei, dann bewir die Elongaion der eilhen eine Drudifferenz p gegenüber dem Normaldru. An Sellen, an denen die Elongaion Null i und die eilhen lin und reh davon zu dieer Selle hin verhoben ind, herrh maimaler Überdru. An den Sellen, an denen die Elongaion Null i und die eilhen von dieer Selle weg verhoben ind, herrh maimaler Unerdru. An Sellen, an denen die Elongaion maimal i, herrh Normaldru. p Eine Longiudinalwelle in einem Ga oder in einer Flüigei i alo eine Druwelle. Die Überlagerung zweier einander engegenlaufender Longiudinalwellen gleiher Wellenlänge und gleiher Ampliude ergib eine ehende Longiudinalwelle. In den (mi einem Kreuz marieren) 0 Bewegungnoen herrh abwehelnd maimaler Überdru und maimaler Unerdru; dor ind die Drubäuhe. Jeweil in der Mie dazwihen, in den Bewegungbäuhen, ind die Drunoen. zu_linearemehanihewellen 6/7

7 LGÖ K Ph -ündig Shuljahr 08/09 Am Ende eine Wellenräger wird eine Longiudinalwelle refleier, und vor dem Ende bilde ih eine ehende Welle. An einem feen Ende i ein Bewegungnoen bzw. Drubauh, und an einem freien Ende i ein Bewegungbauh bzw. Drunoen. Auf einem beideiig begrenzen Wellenräger önnen ih bei beimmen Frequenzen, den Eigenfrequenzen, longiudinale Eigenhwingungen bilden. Die Eigenfrequenzen ind dieelben wie bei ranveralen Eigenhwingungen. Für Eperen Wir berahen einen beideiig begrenzen Wellenräger der Länge l mi der Aubreiunggehwindigei für ranveralwellen.. Beide Enden frei Eine ehende Welle ha an beiden Enden einen Bewegungbauh. Alo gib e folgende Mögliheien: l l l Grundhwingung. Oberhwingung 3 3 l. Oberhwingung uw. Man erhäl dieelbe Bedingung für die Wellenlängen wie bei einem Wellenräger, deen Enden beide fe ind. Alo ind auh die Eigenfrequenzen dieelben. Ein Ende fe, ein Ende frei Eine ehende Welle ha an dem feen Enden einen Bewegungnoen und an dem freien Ende einen Bewegungbauh. Alo gib e folgende Mögliheien: l l 3 l 3 5 l Grundhwingung. Oberhwingung. Oberhwingung uw. Allgemein: l ( ; ; 3; ) Darau ergeben ih die Eigenfrequenzen f ( ; ; 3; ). l Die Frequenz f der Grundhwingung i die leine dieer Frequenzen, und die Frequenzen l der Oberhwingungen ind alle ungeradzahligen Vielfahen hiervon. zu_linearemehanihewellen 7/7