Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
|
|
- Insa Beck
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 WS 008/ Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit. Funktionen.. Potenzfunktionen... Potenzfunktion. Grade Zu jedem IR lät ih die dritte Potenz eindeutig berehnen. Die Gleihung = behreibt omit eine Funktion. Diee heißt kubihe Grundfunktion, ihr Graph heißt kubihe Grundparabel.,5 0,5 0 0,5,5 =,75 0,5 0 0,5,75 = Eigenhaften: Definitionmenge: DI = IR Wertemenge \W = IR Monotonie: Für alle, D I gilt: > f( ) > f( ) Die Funktion f mit = it treng monoton zunehmend. f( ) f( ) Smmetrie: Der Graph it punktmmetrih zum Urprung. Wendepunkt Bewegt ih ein Punkt auf dem Graphen vom III. Quadranten in den I. Quadranten, o durhläuft er zunäht eine Rehtkurve. Vom Punkt O (0 0) ab durhläuft er eine Linkkurve. Man bezeihnet O (0 0) dehalb den Urprung al Wendepunkt W der kubihen Grundparabel.... Abbilden der kubihen Grundparabel durh orthogonale Affinität Die kubihe Grundparabel mit der Gleihung = kann mit einem Faktor a 0 getrekt oder getauht werden. Ahe; a E gilt: P ( ) P ( a ) = Gleihung der Grundparabel: = Gleihung der Bildparabel: = a Bei dieer Abbildung werden alle Funktionwerte mit dem Faktor a multipliziert. Eine olhe Abbildung nennt man orthogonale Affinität. Die -Ahe heißt dabei Affinitätahe. Der Wendepunkt W ( 0 0) it der einzige Fipunkt de Graphen bei dieer Abbildung.... Abbilden der kubihen Grundparabel durh Parallelverhiebung Die kubihe Grundparabel mit der Gleihung = wird durh Verhiebung mit dem Vektor v = punktweie abgebildet. b Die Gleihung der Bildparabel kann man folgendermaßen ermitteln (Parameterverfahren) ermitteln: P ( ) v P ( ) Gleihungtem: I = + b II = + Elimination von : Au I = b In II = ( b) + Die Koordinaten von P erfüllen die Gleihung = ( b) +. Die it alo die Gleihung der Bildkurve. Sie it mmetrih zum Wendepunkt W (b ). Wir bezeihnen eine verhobene kubihe Grundparabel al kurz al kubihe Parabel. Verhiebung und Abbildung durh orthogonale Affinität ergeben zuammen eine Gleihung der Form = a ( b) + W = ( b) + b v = = = 0,
2 WS 008/ Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit..4. Potenzfunktionen mit natürlihen Eponenten (n IN) Die maimale Definitionmenge it IR. Die Graphen kann man mit Hilfe einer Wertetabelle zeihnen. Man nennt ie Parabeln n-ter Ordnung. Wir unterheiden, ob der Eponent n eine gerade oder ungerade Zahl it. a) Parabeln gerader Ordnung b) Parabeln ungerader Ordnung = 6 = 4 = = 7 = 5 = Smmetrie zur -Ahe Smmetrie zum Urprung + I 0 DI = R \W = I R D I = IR \W = I R..5. Potenzfunktionen mit negativ-ganzzahligen Eponenten (n Z ) Die maimale Definitionmenge it IR \ {0}. Die Graphen nennt man Hperbeln n-ter Ordnung. Wir treffen dieelbe Fallunterheidung wie oben. ) Hperbeln gerader Ordnung d) Hperbeln ungerader Ordnung = 6 = 4 = 7 = 5 = = Smmetrie zur -Ahe Smmetrie zum Urprung + DI = IR \ {0} \W = IR D I = IR \ {0} \W = IR \ {0}..6. Potenzfunktionen mit rationalem Eponent Funktionen mit der Gleihung = und IR +, m Z, n IN nennen wir Grundfunktionen der Potenzfunktionen. Die zugehörigen Graphen ind entweder Parabeltüke (Eponent poitiv) oder Hperbeltüke (Eponent negativ). Die Graphen dieer Funktionen können durh Parallelverhiebung und durh orthogonale Ahenaffinität abgebildet werden. n m..7. Potenzfunktionen mit irrationalen Eponenten Da e Potenzen mit irrationalen Zahlen gibt, it e innvoll, auh Potenzfunktionen mit irrationalen Eponenten zu betrahten. Ihre Graphen zeihnet man mit Hilfe einer Wertetabelle.
3 WS 008/ Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit.4. Eponentialfunktionen Wir behränken un neben einer kurzen Überiht über die in der Sekundartufe I vorkommenden Funktionen auf Wahtum- und Ablingprozee..4.. Die Funktion mit = Jedem IR kann eindeutig die Zahl zugeordnet werden, da die Potenzen für beliebige reelle Eponenten definiert ind. Die Gleihung = behreibt alo eine Funktion. Sie heißt Eponentialfunktion zur Bai. Eigenhaften: Definitionmenge: DI = IR Wertemenge \W = IR + Monotonie: Für alle, gilt: > f( ) > f( ) Die Funktion f mit = it in D I treng monoton zunehmend. Amptoten: Die -Ahe it Amptote. =.4.. Die Funktion mit = ( ) Wegen ( ) = gilt für jede IR: Die Funktion g mit = ( ) hat an der Stelle den gleihen Funktionwert wie die Funktion f mit = an der Stelle. Alo erhält man den Graphen von = ( ) durh Spiegelung de Graphen von = an der -Ahe. = 0,5 Für alle, D I gilt: > f( ) < f( ) Die Funktion f mit = ( ) it in DI treng monoton abnehmend. Die Graphen der Funktionen mit = ( ) und mit = gehen durh Spiegelung an der -Ahe in einander über. Funktionwerte können durh Ableen au einer Graphik oder mit dem Tahenrehner betimmt werden..4.. Die allgemeine Eponentialfunktion = a Entprehend der Definition der allgemeinen Potenz behränken wir die Bai a in = a auf poitive Werte. Der Term a it für jede IR berehenbar. Die Menge der Zahlenpaare ( a ) und IR tellt alo eine Funktion dar. Die Funktion mit der Gleihung = a heißt Eponentialfunktion zur Bai a. = 0, Eigenhaften für a : Definitionmenge: DI = IR \ {0; } Wertemenge: \W = IR + Amptoten: Die -Ahe it Amptote. Monotonie für a > : Für alle D I gilt: > f( ) > f( ) Die Funktionen ind in D I treng monoton zunehmend. Monotonie für 0 < a < : Für alle D I gilt: > f( ) < f( ) Die Funktionen ind in D I treng monoton abnehmend. Alle Graphen gehen durh den Punkt P (0 ). Für a = erhält man al Sonderfall eine Parallele zur -Ahe. = = ( ) ( ) = 0 = = ( )
4 WS 008/ Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit.4.4. Definition de Logarithmu Nebentehende Graphik zeigt, da die Funktion = in DI = IR umkehrbar it. Funktion f: = Umkehrfunktion f : = = Graph zu f Die Gleihung der Umkehrfunktion können wir mit den biher bekannten Rehenarten niht nah auflöen und wollen dehalb eine neue Rehenart definieren, da Logarithmieren. Damit kann man eine Eponentialgleihung der Form a = nah dem Eponenten auflöen. Wir zeigen die Vorgehenweie an einem Beipiel: Graph zu f = log = 64 = 6 Eponentenvergleih: = 6 6 it der Eponent, der den Potenzwert 64 ergibt, bei der Bai 6 it der Eponent zu 64 zur Bai Neue Sprehweie: 6 it der Logarithmu von 64 zur Bai Kurzhreibweie: 6 = log 64 Entprehend kann die Gleihung = nah aufgelöt werden: = log Überiht über die Rehenarten der dritten Stufe Diee Rehenarten umfaen da Potenzieren, da Radizieren und da Logarithmieren. Sie tehen in folgendem Zuammenhang: a b = radizieren logarithmieren.4.6. Sonderfälle für Logarithmen Au den Definitionen für Potenzen ergibt ih für jede zuläige a, : a 0 = log a = 0 a = a log a a = log a a n = a = mit n = log a log a = n log a a n = n mit = a n.4.7. Logarithmieren eine Produkt Für jede zuläige a, b, gilt: log a (b ) log b + log log b log a = b b = log a a a a a I a = b II a = a a = b log a (b ) loga b + loga Au dem Vergleih von I und II folgt: a = a Durh Eponentenvergleih: log a (b ) = log a b + log a.4.8. Logarithmieren eine Quotienten Für jede zuläige a, b, gilt: log a (b : ) I a = b : II log a b log a log a b log a a = a : a = b : Au dem Vergleih von I und II folgt: log a (b : ) loga b loga a = a Durh Eponentenvergleih: log a (b : ) = log a b log a.4.9. Logarithmieren einer Potenz Für jede zuläige a, b, gilt: I loga b a = b II loga b a = ( a log b ) = b loga b log a b a Au dem Vergleih von I und II folgt: a = Durh Eponentenvergleih: log a b = log a b.4.0. Wehel der Logarithmenbai
5 WS 008/ Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Dem Tahenrehner können wir nur Zehnerlogarithmen, alo Logarithmen zur Bai 0 entnehmen. Die Berehnung eine Logarithmu zu einer beliebigen Bai lät ih auf die Berehnung eine Zehnerlogarithmu zurükführen. Wir formen die Gleihung a = auf zwei Arten um: Nah Definition: Durh Logarithmieren zur Bai 0: I = log a II log 0 a = log 0 = log log 0 0 a = lg lg a Gleihetzen: log a = lg lg a IR + a IR + \ {}.4.. Die allgemeine Logarithmufunktion Wir bezeihnen jede Funktion mit der Gleihung = log a al logarithmihe Grundfunktion. Die Funktion f mit = log a und a IR + \ {} heißt Logarithmufunktion zur Bai a. = log = log Die Logarithmufunktion mit = log a it die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion mit = a. Eigenhaften: Definitionmenge: DI = IR + Wertemenge: \W = IR Monotonie für a > : Für alle, D I gilt: > f( ) > f( ) Die Funktion f mit = log a und a > it in DI treng monoton teigend. Monotonie für 0 < a < : Für alle D I gilt: > f( ) < f( ) Die Funktion f mit = log a it treng monoton fallend. Amptote: Die -Ahe it Amptote. Gemeinamer Punkt: Alle Graphen gehen durh Punkt P ( 0). = lg = = = log 0 log log.4.. Eponentialgleihungen Eine Gleihung, bei der eine Variable im Eponenten auftritt, heißt Eponentialgleihung. Für die Löung einer Eponentialgleihung der Form k a + b = bzw. a + b = k mit k > 0 tehen drei Verfahren zur Verfügung. a) Graphihe Löung Man zeihnet den Graphen der zugehörigen Eponentialfunktion = k a + b. Die Parallele zur -Ahe mit = und > 0 hneidet den Graphen in einem Punkt P. Die -Koordinate diee Punkte it die geuhte Löung. Beipiel Gegeben: = Geuht: L Zugehörige Eponentialfunktion: = Die Parallele zur -Ahe im Abtand d = hneidet den Graphen im Punkt P (4,6 ). Au der Zeihnung: = 4,6 L = {4,6} Probe: 4,6 =,0 4,6
6 WS 008/ Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit b) Löung durh Eponentenvergleih Diee Verfahren it nur anzuwenden, wenn ih k al Potenz von a hreiben lät. In dieem Fall kann ein Eponentenvergleih durhgeführt werden. Beipiel. + 4 = = Eponentenvergleih: + 4 = = L = { }. 4 5 = 6 5 = 9 5 = Eponentenvergleih: 5 = = 7 L = {7} ) Löung durh Logarithmieren Durh Logarithmieren beider Seiten lät ih jede Eponentialgleihung k a + b = nah auflöen: lg lg k lg lg k lg k + ( + b) lg a = lg + b = = b lg a lg a Wegen der Verwendung de Tahenrehner zur Berehnung von Näherungwerten verwendet man güntigerweie den Zehnerlogarithmu..4.. Wahtumprozee Von einer Bakterienkultur ind anfänglih 0 Bakterien vorhanden. Im Durhhnitt verdoppelt ih ihre Anzahl in jeder Stunde. Auf welhen Betand it die Bakterienkultur nah 5,5 Stunden angewahen? Nah welher Zeit hat ie ih verzehnfaht. Geuht it alo der funktionale Zuammenhang zwihen der Zeit ( Stunden) eit Anlage der Kultur und der Anzahl () der vorhandenen Bakterien. Zu Beginn: 0 = 0 bzw. 0 = 0 0 = 0 0 Nah Stunde: = 0 bzw. = 0 = 0 Nah Stunden: = 40 bzw. = 0 4 = 0 Nah Stunden: = 80 bzw. = 0 8 = 0 Nah 4 Stunden: 4 =60 bzw. 4 = = 0 4 Nah Stunden: = 0 Da Anwahen der Bakterienkultur kann alo durh die Funktiongleihung = 0 mit D I = IN 0 behrieben werden. Diee Gleihung kann auh für Zwihenwerte (z. B., Stunden) verwendet + werden, alo D I = IR 0. a) Graphihe Löung Au der Graphik: Für = 5,5 erhält man 450 Überprüfung mit dem Tahenrehner: = 0 5,5 Da Ergebni kann nur eine ganze Zahl ein; alo it auf 45 zu runden. Nah 5,5 Stunden it die Bakterienkultur auf 45 Bakterien angewahen. 450 Au der Graphik: Für = 00 erhält man, = 0 Nah, Stunden hat ih die Anzahl der Bakterien in der Bakterienkultur verzehnfaht. b) Rehnerihe Löung Für = 00 erhält man: 00 = 0 0 =. Logarithmieren: lg 0 = lg Auflöen nah : = lg 0 lg, 00 Nah, Stunden hat ih die Anzahl der Bakterien in der Kultur verzehnfaht., 5,5
7 WS 008/ Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit.4.4. Abklingprozee Da Edelga Radon wandelt ih durh radioaktiven Zerfall um, wobei täglih 6,7 % der Retmae zerfallen. Nah welher Zeit it noh die Hälfte de Stoffe vorhanden? Wie viele Gramm von 60 g Radon ind nah zwei Tagen zerfallen? Geuht it der funktionale Zuammenhang zwihen der Zeit de Zerfall (in Tagen) und der Mae ( Gramm) de noh vorhandenen radioaktiven Gae. Anfangmae: 0 = 60 6, 7 Mae nah Tag: = = 60 ( 0,67) = 60 0,8 6, 7 Mae nah Tagen: = 00 6, 7 Mae nah Tagen: = 00 Mae nah Tagen: = 60 0,8 = ( 0,67) = 60 0,8 = ( 0,67) = 60 0,8 be- Der Zuammenhang kann alo durh die Eponentialgleihung = 60 0,8 mit D I = hrieben werden. a) Graphihe Löung Au der Graphik: Für = 0 erhält man =,8. Nah,8 Tagen it alo die Hälfte de Radon zerfallen. + IR 0 Die Zeit, nah welher Zeit von der urprünglihen Mae de radioaktiven Gae noh die Hälfte übrig it, nennt man Halbwertzeit. Au der Graphik: Für = erhält man = 4. Nah Tagen ind alo 8 g de Radon zerfallen. 4 0 = 60 0,8 b) Rehnerihe Löung Mae nah Tagen: = 60 0,8 g = 4,6 g Nah zwei Tagen ind 8,7 Gramm zerfallen.,8 Für eine beliebige Anfangmae m 0 eine radioaktiven Stoffe gilt allgemein da Zerfallgeetz m = m 0 a. Die Halbwertzeit eine Stoffe errehnet ih dann folgendermaßen: Mit m = m 0 gilt: m 0 = m 0 a Kürzen mit m 0 : = a Logarithmieren: lg 0,5 = lg a = Für Radon: = lg 0,5 lg 0,8 =,79 Die Halbwertzeit von Radon beträgt,79 Tage. lg 0,5 lg a
8 WS 008/ Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit.4.5. Empirihe Funktion Wir prehen von einer empirihen Funktion, wenn die Zahlenpaare keiner erkennbaren mathematihen Geetzmäßigkeit unterliegen. Beipiel: Die Klae 8a der Stein-Realhule liet eine Wohe lang täglih um 8.00 Uhr und um.00 Uhr die Tagetemperatur ab. Sie erhält eine Metabelle folgender Art: Montag Dientag Mittwoh Donnertag Freitag Die graphihe Dartellung ergibt folgende Bild: C Mo Di. Mi. Do. Fr. Durh die Zahlenpaare in der numerihen und graphihen Wertetabelle it eine Funktion fetgelegt. Häufig verbindet man auh die Endpunkte näherungweie zu einem gehloenen Strekenzug.
9 WS 008/ Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit.4.6. Übung: Potenz- und Eponentialfunktionen Aufgabe Der Graph der Funktion f mit = ( = ) oll zuer t durh eine orthogonale Affinität mit a und anhließend durh eine Parallelverhiebung mit v abgebildet werden. Geben Sie die Gleihung de Bildgraphen an. Überprüfen Sie die Ergebnie mit einem Geometrieprogramm. 5 7 a) a =,5 v = b) a = 0,4 v =,5 Aufgabe.0 Die kinetihe Energie eine Körper lät ih nah der Formel E kin = m v berehnen. m: Mae de Körper v: Gehwindigkeit de Körper. Für die Einheit J (Joule) der Energie gilt: kg m J =. Betätigen Sie die.. Welhe Energie hat ein Auto (m =,4 Tonnen), da mit 00 km h fährt?. Stellen Sie den Zuammenhang au 8.0 für v [0 km h ; 00 km h ] und m =,4 t graphih dar. -Ahe: m = 0 km h -Ahe: LE = J.4 Mit welher Gehwindigkeit fährt da Auto (Angabe in km h ), wenn eine anfänglihe Bewegungenergie von J halbiert wird? Graphihe und rehnerihe Löung..5 Da Auto fährt nun bi 50 km h gleihmäßig behleunigt, dann behält e für Minute die erreihte Gehwindigkeit bei und erreiht letztlih mit der gleihen Behleunigung die Endgehwindigkeit von 00 km h. Stellen Sie dieen Vorgang graphih dar und geben Sie die einzelnen Bewegunggleihungen an. Aufgabe.0 Zu einem Kapital K 0 werden die Zinen jeweil am Jahreende hinzugefügt. Kapital und Zinen werden zuammen weiter verzint (Zinezinen). Da Kapital K 0 wäht o in n Jahren bei p% Zinen auf K n an. p E gilt die Gleihung: K n = K 0 ( + 00 )n.. Auf welhen Betrag wahen 800 EUR bei einem Zinatz von 4% in 6 Jahren?. Legt man 800 EUR bei 6% Verzinung für 4 Jahre fet, erhält man ein kleinere Endkapital. Berehnen Sie den Unterhied.. Wie hoh it der Zinatz bei der Gleihung K n = K 0,055 n? Nah wie vielen Jahren verdoppelt ih bei dieer Verzinung da Kapital? Aufgabe Eine Streke der Länge l = m wird fortlaufend halbiert (vgl. Skizze). 4. Geben Sie eine Gleihung der Form = a an, die dieen Vorgang behreibt. 4. Nah wie vielen Teilungen erhält man eine Streke, deren Länge kleiner it al mm? 4. Ein Stabbakterium it etwa 0 7 m lang. Nah wie vielen Teilungen erhält man eine Streke dieer Länge?
10 WS 008/ Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Löungen Zu Aufgabe Zu Aufgabe a) =,5 ( 5) + bzw. =,5 ( 5) b) = 0,4 ( + 7) +,5 bzw. = 0,4 ( + 7). [E kin ] = [m] [v ] = kg m = kg m = J + +,5. E kin = 400 kg (7,78 m ) E kin = J = 540, kj. E kin = J v = km h = 400 kg = 54,0.4 Au der Graphik: A (, ) B (, ) Bei Halbierung der Bewegungenergie reduziert ih die Gehwindigkeit nur auf da 0,7-fahe. Durh Rehnung: E kin = J = E kin = J = n =,57 = 0,7,.5. Abhnitt: = a t a =. Abhnitt: =,78 m (5 ) = 4,75 m +,89 m , ,0 km =, =,57 m 50 h,89 m = =,78 = 5 5,78 m t [0 ; 5 ] = 4,75 m (t 5 ) t [0 ; 65 ] t. Abhnitt: = 4,75 m +,89 m 60 = 868,5 m Zu Aufgabe = 868,5 m +,78 m (t 65) v = a t 7,77 m =,78 m t t = 0 t [65 ; 75 ]. K 6 = 0,6. K 4 = 009,98. p = 5,5 %,055 n = n =,95 Nah Jahren verdoppelt ih da Kapital..4 entprehend dem Unterriht Zu Aufgabe 4 4. = 0,5 4. 0,00 = 0,5 = lg 0,00 lg 0,5 = 9,97 Nah 0 Teilungen it die Streke kürzer al mm = 0,5 = l g 0, lg 0,5 =,5
Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit. Wertemenge: \W =IR
WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit. Funktionen.. Die quadratische Funktion... Die quadratische Grundfunktion Wir betrachten die Gleichung = als Funktionsgleichung und bezeichnen die
MehrK l a u s u r N r. 2 G k P h 12
.1.010 K l a u u r N r. G k P h 1 Aufgabe 1 Behreiben Sie den Unterhied zwihen einer Läng- und einer Querwelle. Nennen Sie für jeden Wellentyp ein Beipiel. In welhen Stoffen können ih Querwellen aubreiten?
MehrInstitut für Thermische Verfahrenstechnik. Wärmeübertragung I. Lösung zur 4. Übung (ΔT LM (Rührkessel, Gleich-, Gegenstrom))
Prof. Dr.-Ing. Matthia Kind Intitut für hermihe Verfahrentehnik Dr.-Ing. homa Wetzel Wärmeübertragung I öung zur 4. Übung ( M (Rührkeel, Gleih-, Gegentrom Einführung Ein in der Wärmeübertragung häufig
MehrFunktionenlehre. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard
GRUNDWISSEN MATHEMATIK Funktionenlehre Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngmnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gmnasiums Gräfelfing J O H A N N
MehrTECHNIKEN ZUR BERECHNUNG DER DIMENSION
TECHNIKEN ZUR BERECHNUNG DER DIMENSION KATHARINA KIESEL Zuammenfaung Im Folgenden werden Tehniken zur Berehnung der Dimenion von Fraktalen aufgezeigt E wird unter anderem definiert wa eine Mae-Verteilung
MehrWürde man nun versuchen die Aufgabe 6.2 des vorigen Abschnittes rechnerisch zu lösen, so stößt man auf folgende noch unlösbare Gleichung: h 1
0 Die Logarithmusfunktion Würde man nun versuhen die Aufgae 6. des vorigen Ashnittes rehnerish zu lösen, so stößt man auf folgende noh unlösare Gleihung: h 0,88 www.etremstark.de 0,88 h Gesuht ist also
Mehr4.4. Aufgaben zu Potenzfunktionen
.. Aufgaben zu Potenzfunktionen Definition: Eine Funktion der Form f() = c z mit z Z\{;} heißt Potenzfunktion. Aufgabe : Potenzfunktionen mit positiven Eponenten (Parabeln). Ergänze: 9 8 7 6 - - - - -
Mehry2 keine eindeutige Zuordnung Reelle Funktionen gebrochen rationale Funktionen f(x)=(x²-1) / x³+1
4 Reelle Funktionen in einer Veränderlichen 4.1 Definition Es seien M 1 und M 2 zwei Mengen reeller Zahlen. Ordnet man jedem Element 1 M 1 durch eine Zuordnungsvorschrift f genau ein Element M 2 zu, so
Mehr4.4. Potenzfunktionen
.. Potenzfunktionen Definition: Eine Funktion der Form f() = c z mit z \{; } heißt Potenzfunktion.... Potenzfunktionen mit positiven Eponenten (Parabeln) Schaubilder und Wertetabelle: = = - - - - - - -
MehrBeispiel-Schulaufgabe 2
Anregungen zur Ertellung von Aufgaben Aufgaben für Leitungnachweie Die zeichnet ich durch eine augewogene Berückichtigung der allgemeinen mathematichen Kompetenzen au. Aufgaben, deren Bearbeitung in auffallendem
MehrMasse und Geschwindigkeit von Neutrinos
Autor: Walter Bilin 1 on 5 walter.bilin.h/blog/ 10.05.013 3:05 Mae und Gehwindigkeit on Neutrino Dientag, 9. April 013-16:03 Autor: wabi Themen: Wien, Phyik, QM Bi zur ntdekung der Neutrino-Ozillation
MehrLogarithmen. 1 Logarithmenbegriff
Logarithmen 1 Logarithmenbegriff Beispiel Lösung Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f: y = 2 x - 8 und bestimmen Sie die Nullstelle. Wertetabelle x - 2-1 0 1 2 3 4 y - 7,8-7,5-7 - 6-4 0 8 Bestimmung
MehrR. Brinkmann Seite Anwendungen der Exponentialfunktion
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6..2 Aufstellen der Funktionsgleichung : Anwendungen der Eponentialfunktion Coli Bakterien verrichten ihre Arbeit im menschlichen Darm. Sie vermehren sich durch
Mehr9 Funktionen und ihre Graphen
57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man
MehrAbleitungsberechnung mit der Grenzwertmethode. Besonders wichtig ist der Zentraltext über Ableitungen Datei Stand 30.
Analyi Ableitungfunktionen Ableitungberechnung mit der Grenzwertmethode Beonder wichtig it der Zentraltet über Ableitungen 400 Datei 40 Stand 0. Dezember 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 40 Ableitungfunktionen
MehrA5 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion
A5 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion A5 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion Wachstums- und Zerfallsprozesse. Beispiel: Bakterien können sich sehr schnell vermehren. Eine bestimmte Bakterienart
MehrPotenzen Potenzfunktionen und ihre Eigenschaften Abbilden von Funktionsgraphen
Wie können Gleichungen der Form x n = a; a 0 n N gelöst werden? Wir benötigen die n-te Wurzel: n x = a Was ist, wenn n Q statt n N? (Q: rationale Zahlen; alle Brüche, auch negative N: natürliche Zahlen;
MehrExponentielles Wachstum und Logarithmus
Eigenschaften der Exponentialfunktionen Die Funktion nennt man Exponentialfunktion mit der Basis a. Ist neben der Potenz noch ein Faktor im Funktionsterm vorhanden, spricht man von einer allgemeinen Exponentialfunktion:
Mehrfest vorgegeben, dann heißt die Funktion Exponentialfunktion zur Basis b.
9 Die Eponentialfunktion Die bisher betrachteten Funktion (ganzrationale Funktionen und gebrochen rationalen Funktionen) setzten sich als Summe, Differenz, Produkt oder Quotient von Potenzfunktionen zusammen.
MehrGeben Sie an, welche dieser vier Funktionen im gesamten Definitionsbereich monoton steigend sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
Aufgabe 3 Funktionen vergleichen Gegeben sind vier reelle Funktionen f, g, h und i mit den nachstehenden Funktionsgleichungen: f() = 3 mit g() = 3 mit h() = 3 mit i() = sin(3) mit Geben Sie an, welche
MehrDefinition des Begriffs Funktion
Definition des Begriffs Funktion In der Mathematik ist eine Funktion (lateinisch functio) oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der Definitionsmenge (Funktionsargument,
Mehr( ) = ( ) ( ) ( ) ( )
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.0 Löungen Grundaufgaben für lineare und quadratiche Funktionen I e: E e f( x) = x+ Py 0 f( x) = x+ Px 0 E E E E E6 E7 E8 E9 E0 f x = mx + b mit m = und P(
MehrMerksatz Begriff der Funktion
Der Begriff Funktion Um uns klar zu machen, was eine Funktion (lateinisch functio) ist, betrachten wir uns die Gegenüberstellung nachfolgender Situationen. Die Temperatur eines Gewässers wird in verschiedenen
MehrPhotonen. s 6, = 3,00m, f = c = 100MHz (UKW) s 6, = 3, m (Röntgenstrahlung)
Photonen. In dieer Aufgabe kannt du = 3, 8 m für die Lihtgehwindigkeit, h = 6,6 34 J für da Plank he Wirkungquantum und e =,6 9 C für die Elementarladung verwenden. (a) Gib 9, 9 J in der Einheit ev an.
Mehr2 Von der Relation zur Funktion
2 Von der Relation zur Funktion 2.1 Relationen Gegeben seien zwei Zahlenmengen P = 1, 2, 3, 4 und Q = 5, 6, 7. Setzt man alle Elemente der Menge P in Beziehung zu allen Elementen der Menge Q, nennt man
MehrFunktionenklassen. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.008 Einführung: Funktionenklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der Rationalen Funktionen. In der
MehrRegiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10
RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 Wissen und Können. Berechnungen am Kreis Bogenmaß Das Bogenmaß ist das zu
MehrAnalysis. Tangenten, Normalen, Änderungsraten. Schaubilder von Ableitungsfunktionen
Analysis Shaubilder von Ableitungsfunktionen Allg. Gymnasien: ab Klasse 0 Beruflihe Gymnasien: ab Klasse Berufskolleg: Aufgaben ohne *) Hilfsmittel: wissenshaftliher Tashenrehner Alexander Shwarz Juli
Mehr2.4 Exponential - und Logarithmus - Funktionen
25.05.20 2.4 Eponential - und Logarithmus - Funktionen Mit Hilfe der Potenz a t definiert man eine weitere Funktionsart, indem man statt der Basis den Eponenten durch die Variable ersetzt: Für a ε R >
Mehr1 Lineare Funktionen. 1 Antiproportionale Funktionen
Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift
MehrExamen GF Mathematik (PAM) Kurzfragen 2017
Examen GF Mathematik (PAM) Kurzfragen 2017 Die mit einem + gekennzeichneten Fragen sind längere Kurzfragen. Kurzfrage 1+ Was ist ein Vektor? Ein Vektor ist die Menge aller gerichteten Strecken ( Pfeile
MehrR. Brinkmann Seite Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0..0 Klaenarbeit Mathematik Bearbeitungzeit 90 min. Di.06.0 SB Z NAME: A A A A Gerade durch Punkte. Gegeben ind die Punkte P (- ) P ( - ). Berechnen Sie die Funktiongleichung.
MehrKontakt: Prof. Dr. Michael Düren Tel:
Kontakt: Prof. Dr. Mihael Düren Tel: 9933 Mihael.Dueren@uni-gieen.de www.phik.uni-gieen.de/dueren Zur Erinnerung: Die Vorleung beginnt um 4:00.t. Phikalihe Größen und Einheiten Beobahtung und Eperiment
MehrLeibniz Universität Hannover Institut für Turbomaschinen und Fluid-Dynamik Prof. Dr.-Ing. J. Seume. Klausur Herbst Strömungsmechanik I
Leibniz Univerität Hannover Intitut für urboahinen und Fluid-Dynaik Prof. Dr.-Ing. J. Seue lauur Herbt 7 Ströungehanik I Bearbeitungdauer 9 in zugelaene Hilfittel: - ahenrehner (niht rograierbar) - FD-Forelalung
MehrAbbildungen und Funktionen Lösung:
lineare Funktion f() = Neue Funktionsgleichung: f() = - 5 Es ändert sich nur der y-abschnitt Spiegeln an der -Achse Neue Funktionsgleichung: f() = - + Steigung und y-abschnitt mal (-) Neue Funktionsgleichung:
MehrThema: Der Logarithmus und die Logarithmusfunktion - Sportgymnasium Dresden Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 10/2.
Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Der Logarithmus Zielstellung: Zeigt man natürliche Zahlen mit dem Computerbildschirm (o.ä.) an, ist es manchmal notwendig zu wissen, wie viele Ziffern die Zahl hat.
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2015/2016 Blatt h(x, y, z) := (x 2) 2 + y 2 + z 2 4 = 0,
Übungen ur Ingenieur-Mathematik III WS 5/6 Blatt..6 Aufgabe 4: Betrahten Sie die Gleihungen: Lösung: h(,, := ( + + 4 =, g(,, := =, ( h(,, f(,, := = g(,, (. a Geben Sie eine geometrishe Interpretation der
Mehr1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen
1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2.1 Nullstellen Seien A und B Teilmengen von R und f : A B f : Df Wf eine Funktion. Eine Nullstelle der Funktion f ist ein 2 D f, für das f ( = 0 ist. (Eine
MehrModelle und Methoden der Linearen Optimierung (Die Thesen zur Vorlesung 3)
(Die Theen zur Vorleung 3) da Thea der Vorleung Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Teil Pro. Dr. Mihal Fendek Intitut ür Operation Reearh und Ökonoetrie Wirthatuniverität ratilava
MehrPotenzen mit gleichen Grundzahlen werden multipliziert, indem man die Hochzahlen addiert und die Grundzahlen beibehält. a n a m = a m+n. a...
Mathematikskript: Steven Passmore Potenzgesetze Einleitung Einen Ausdruk mit einer Hohzahl nennt man Potenz Beispiele: 3 5,9 x, a n ). Zunähst ist eine Potenz eine vereinfahte Shreibweise für die vielfahe
MehrMathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Der Graph einer Funktion
MehrLösungen Grundlagen quadratische Funktionen IV. Ausführliche Lösungen:
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.0 Löungen Grundlagen quadratiche Funktionen IV en: A A Gegeben it die Funktion f(). Zeigen Sie durch Rechnung, da der Graph der Funktion die Ache berührt.
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 2
1994 Runde ufgabe 1 Zeige, da 1!! 3!... 1995! mindeten 1 Teiler hat. Hinwei: Unter n! verteht man da Produkt der erten n natürlichen Zahlen. eipiel: 5! = 1 3 4 5 = 10 Löung Die Summe S = 1!! 3!... 1995!
MehrVorbereitung Mathematik Cusanus-Gymnasium Wittlich Fachlehrer : W. Zimmer
Vorbereitung Mathematik Cuanu-Gymnaium Wittlich Fachlehrer W. Zimmer Den folgenden Katalog habe ich bei www.lehrer.uni-karlruhe.de gefunden. Er oll Beipiele dafür aufzeigen, wa konkret verlangt werden
MehrGegeben sei die Operationsverstärker-Schaltung nach Abb. 1.1 mit kffl[0; 1]. Alle OP s sind als. Abbildung 1.1: Operationsverstärkerschaltung
Klauur Impultehnik I & II 08.04.2003 Aufgabe 1: 16 Punkte Gegeben ei die OperationvertärkerShaltung nah Abb. 1.1 mit kffl[0; 1]. Alle OP ind al ideal anzunehmen, d.h. e gilt: Z e!1, Z a! 0, v 0!1. R k
MehrAbiturprüfung Mathematik 2014 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analytische Geometrie / Stochastik Aufgabe B 1 - Lösungen
1 Abiturprüfung Mathematik 214 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnaien Wahlteil Analytiche Geometrie / Stochatik Aufgabe B 1 - Löungen klau_mener@eb.de.elearning-freiburg.de Wahlteil 214 Aufgabe B
MehrEiniges zu den Potenzfunktionen. Exponentialfunktionen
Einiges zu den Potenzfunktionen Es sind zunächst zwei Arten der Potenzfunktionen zu unterscheiden. Erstens die eigentlichen Potenzfunktionen, bei denen die Variable x als Basis von Potenzen vorkommt. Diese
MehrGrundwissensblatt 8. Klasse. IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen
Grundwissensblatt 8. Klasse IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen Alle linearen Gleichungen der Form a + by = c (oder auch y = m + t) erfüllen:
MehrWir gehen in dieser Vorlesung mit folgenden Zahlbereichen um: zweier ganzer Zahlen p und q schreiben kann.
1 Grundlagen 1.1 Das Rechnen mit Zahlen Wir gehen in dieser Vorlesung mit folgenden Zahlbereichen um: N: natürliche Zahlen 1, 2, 3, 4, 5,... Z: ganze Zahlen..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Q: rationale Zahlen:
MehrWeitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen
Kapitel 6 Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen 6.1 Polynome Geg.: Polynom vom Grad n p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n 1 x n 1 + a n x n, also mit a n 0. p(x) = x n ( a 0 x + a 1 n x +...
MehrDefinition: Die Bewegung eines Körpers, die sich in festen Zeitabständen wiederholt und symmetrisch zu einer Ruhelage abläuft heißt Schwingung.
9 Schwingungen 9.1 Beipiele und Grundlagen Ruhelage Ruhelage Fadenpendel Ruhelage Federpendel Federpendel Ruhelage orionpendel Charakteritika: Die Bewegung it periodich; d.h. die Bewegung wiederholt ich
MehrZusammenfassung: Lineare mechanische Wellen
LGÖ K Ph -ündig Shuljahr 08/09 Zuammenfaung: Lineare mehanihe Wellen Inhalverzeihni Forhreiende ranveralwellen... Sehende ranveralwellen... 3 Refleion von ranveralwellen... ranverale Eigenhwingungen...
Mehr1 Kreissektoren und Kugeln Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel α und dem Radius r:
Mathematikgrundwissen der 0. Jahrgangsstufe Kreissektoren und Kugeln Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel und dem Radius r: r A r b Bogenlänge: b = 60 r Flächeninhalt: b = 60 r Berechne jeweils den Umfang
MehrStudienbegleitende Prüfung Modul 12 Anorganisch-Chemisches Grundpraktikum WS 2002/
Studienbegleitende Prüfung Modul 1 Anorganih-Chemihe Grundpraktikum WS 00/00 6.05.00 ame: Vorname: Matrikelnummer: Fahemeter: Punkte: ote: Frage 1 Wie lautet die Reaktiongleihung für den im Praktikum verwendeten
MehrDas Simplex-Verfahren
Da Simple-Verfahren Hitorihe Lineare Programmierung Ein erte eipiel Einfahe Löungmethoden Da Simple-Verfahren Die Ellipoid-Methode Da Innere Punkt-Verfahren Gehihte Im Verlauf de zweiten Weltkriege ah
Mehr4. Weitere Ableitungregeln ================================================================= 4.1 Die Ableitung der Sinus-und Kosinusfunktion
4. Weitere Ableitungregeln ================================================================= 4.1 Die Ableitung der Sinus-und Kosinusfunktion ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrExponential- und Logarithmusfunktion
Eponential- und Logarithmusfunktion. Gegeben sind die Funktionen f : y = 0,5 log 3 ( + 2) und f 2 : y = 0,5 log 3 ( ) mit G =R R. (a) Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f 2
MehrÜberlegungen zum Bremsweg eines Wagens Seite 1. Rechnung Bremsweg. F g. m g,m=0,8 1000kg 10 N Hy. =μ H
Überlegungen zum Bremweg eine Wagen Seite 1 Rechnung Bremweg Ein Auto mit v=72km/h und m=1000kg Mae macht eine Vollbremung. Der Reibfaktor zwichen Reifen und Straße beträgt dabei μ H =0,8. Impultrom Impul
MehrGebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1
Gebrochen rationale Funktion f() = +. Der Graph der Funktion f ist punktsmmetrisch, es gilt: f( ) = ( ) + f() = f( ) = + = + = f(). An der Stelle = 0 ist f nicht definiert, an dieser Stelle liegt ein Pol
MehrPrüfungsvorbereitung Physik: Wellen, Radioaktivität
Prüfungvorbereitung Phyik: Wellen, Radioaktivität Die Grundlagen au den vorhergehenden Prüfungen werden voraugeetzt (vor alle Sybole und Einheiten). Theoriefragen: Diee Begriffe üen Sie auwendig in ein
MehrEinführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten
Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 45: Gesucht ist die Schnittmenge der beiden Zylinder
Übungen ur Ingenieur-Mathematik III WS 2/2 Blatt..22 Aufgabe 45: Gesuht ist die Shnittmenge der beiden Zlinder 2 + 2 =, 2 + 2 =. (i Zeigen Sie, dass die Shnittmenge aus wei geshlossenen Kurven besteht
MehrWiederholung. Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können:
Wiederholung Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können: Was bedeutet ein negativer Eponent? Wie kann man den Grad einer Wurzel noch darstellen? Wie werden Potenzen potenziert? Was bewirkt
MehrPool für das Jahr 2017
Gemeinsame Abituraufgabenpools der Länder Pool für das Jahr 17 Aufgabe für das Fah Mathematik Kurzbeshreibung Anforderungsniveau Prüfungsteil Sahgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis WTR 1 Aufgabe
MehrMathematik - Oberstufe
Mathematik - Oberstufe Aufgaben und Musterlösungen zu linearen Funktionen Zielgruppe: Oberstufe Gmnasium Shwerpunkt: Geraden, Streken und Dreieke im Koordinatensstem Aleander Shwarz www.mathe-aufgaben.om
Mehr= T 2. Lösungsmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereiches D G, die die Gleichung zu einer Wahre Aussage machen.
Gleichungen Eine Gleichung ist eine Aussage, in der die Gleichheit zweier Terme durch Mathematische Symbol ausgedrückt wird. Dies wird durch das Gleichheitssymbol = symbolisiert G : = T 2 Definitionsmenge
MehrÜbungsaufgaben zur Analysis
Serie Übungsaufgaben zur Analysis. Multiplizieren Sie folgende Klammern aus: ( + 3y)( + 4a + 4b) (a b )( + 3y 4) (3 + )(7 + y) + (a + b)(3 + ). Multiplizieren Sie folgende Klammern aus: 6a( 3a + 5b c)
MehrDefinition, Funktionsgraph, erste Beispiele
5. Vorlesung im Brückenkurs Mathematik 07 Reelle Funktionen Dr. Markus Herrich Markus Herrich Reelle Funktionen Definition, Funktionsgraph, erste Beispiele Markus Herrich Reelle Funktionen Definition Eine
MehrParabeln und quadratische. Gleichungen. 3.1 Die Gleichung y = ax 2
Parabeln und quadratische Gleichungen In Klasse 7 hast du schon Geraden und Hperbeln als Funktionsgraphen kennen gelernt. Jetzt lernst du eine weitere Kurve kennen, und zwar die Parabel, zunächst aber
MehrFunktionen. x : Variable von f oder Argument f x : Funktionswert, Wert der Funktion f an der Stelle x D f. : Definitionsmenge(Urbildmenge)
Funktionen Eine Funktion oder Abbildung ist eine Beziehung zwischen zwei nicht leere Mengen D f und Z, die jedem Element x aus einer Menge D f genau ein Element y aus anderer Menge Z zuordnet. f : D f
MehrNiveau: Abitur. Thema: e-funktion
Fach: Mathematik Niveau: Abitur Thema: e-funktion Inhalt: Allgemeines.... S. 3 Veränderung der e - Funktion Spiegelung an der Y - Achse.. S. 4 Spiegelung an der X - Achse.. S. 4 Verschiebung in Y - Richtung...
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 0 Einführung Hans Walser: Modul 0, Einführung ii Inhalt Zahlen.... Natürliche Zahlen.... Ganze Zahlen.... Rationale Zahlen.... Reelle Zahlen... Smbole....
MehrGrundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik
Grundwissen 10. Jahrgangsstufe Mathematik 1 Kreis und Kugel 1.1 Kreissektor und Bogenmaß Kreis Umfang U = π r=π d Flächeninhalt A=π r Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α Bogenlänge b= α π r 360 Flächeninhalt
MehrPhysikpraktikum. Versuch 2) Stoß. F α F * cos α
Phyikpraktikum Veruch ) Stoß Vorbereitung: Definition von: Arbeit: wenn eine Kraft einen Körper auf einem betimmten Weg verchiebt, o verrichtet ie am Körper Arbeit Arbeit = Kraft * Weg W = * S = N * m
MehrA3.2 Quadratische Funktionen
A. Quadratische Funktionen Die Quadratfunktion Definition: Eine reelle Funktion f: = a + b + c, D = R (a, b, c R a 0) heißt quadratische Funktion. Beispiele:. f: =. f: = 0,5 - + Die Quadratfunktion f:
MehrALGEBRA UND GEOMETRIE. 5. und 6. Klasse
ü ALGEBRA UND GEOMETRIE 5. und 6. Klasse 1. VERKAUFSPREIS Für einen Laufmeter Stoff betragen die Selbstkosten S Euro, der Verkaufspreis ohne Mehrwertsteuer N Euro. a) Gib eine Formel für den Gewinn G in
MehrMathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 2. 1 Translationen 2. 2 Skalierungen 4. 3 Die Wurzelfunktion 6
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 2 Inhaltsverzeichnis 1 Translationen 2 2 Skalierungen 4 3 Die
MehrKooperatives Lernen SINUS Bayern
Kooperative Lernen SINUS Bayern Mathematik Fachoberchule/Berufoberchule Jgt. 11/1 Partnerpuzzle zu quadratichen Funktionen Mit der Methode Partnerpuzzle wird die Betimmung der Nulltellen und de Scheitelpunkte
MehrR. Brinkmann Seite Aufgabe Prüfen Sie ob die Geraden g, h, i durch einen Punkt verlaufen.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 9.09.0 Löungen lineare Funktionen Teil V en: A A A Prüfen Sie ob die Geraden g, h, i durch einen Punkt verlaufen. a) g(x) = x+ ; h:y+ x+ 4 = 0 ; i:y x = 7 b) g(x)
Mehrα π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel
Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,
Mehr2.5 Komplexe Wurzeln. Mathematik für Naturwissenschaftler I 2.5
Mathematik für Naturwissenschaftler I 2.5 Die Periodizität von e z ist der Grund, warum im Komplexen Logarithmen etwas schwieriger zu behandeln sind als im Reellen: Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrung
MehrFH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz.
FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz Funktionen Einige elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Eine Funktion f
MehrExponentialfunktionen. Eigenschaften, graphische Darstellungen 1-E1 Vorkurs, Mathematik
e Exponentialfunktionen Eigenschaften, graphische Darstellungen 1-E1 Vorkurs, Mathematik Exponentialfunktionen Potenzfunktion: y = x 9 Exponentialfunktion: y = 9 x Die Potenz- und die Exponentialfunktionen
MehrMathematikvorkurs. Fachbereich I. Sommersemester Elizaveta Buch
Mathematikvorkurs Fachbereich I Sommersemester 2017 Elizaveta Buch Themenüberblick Montag Grundrechenarten und -regeln Bruchrechnen Binomische Formeln Dienstag Potenzen, Wurzeln und Logarithmus Summen-
MehrKlausur Impulstechnik I&II Beschaltung als invertierender Verstarker mit der Spannungsverstarkung jvj = 11 betrieben.
Klauur Impultehnik I&II 07.04.98 Aufgabe 1: 13 Punkte Ein idealer Operationvertarker (v 0!1, R i!1, R a! 0) wird durh die auere Behaltung al invertierender Vertarker mit der Spannungvertarkung jvj = 11
MehrDiese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus C und nicht aus R.
Aufgabe 1 Zahlenmengen, quadratische Gleichungen Gegeben ist eine quadratische Gleichung a 0 mit a R. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus
MehrFit in Mathe. Januar Klassenstufe 11 Umkehrfunktion. f x ist 2,5 also Buchstabenpaar GA.
Thema Musterlösungen 1 Umkehrfunktion Bestimme zur Funktion f die Umkehrfunktion f, dargestellt als Tabelle. x 0 1 2 3 4 f x 1 3 5 7 9 x 0 1 2 3 4 f x -0,5 0 0,5 1 1,5 Die Summe der 5 Werte von f x ist
Mehr1.3 Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im x, y - Koordinatensystem
.0.0. Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im, - Koordinatensstem Vereinbarungen Wir betrachten vorerst nur noch Funktionen f, deren Definitionsund Wertebereich jeweils R oder ein
Mehr10. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Exponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen.
IV Umkehrfunktion Umkehrbarkeit 0. Klasse: Logarithmusfunktionen sind die Umkehrungen der Eponentialfunktionen. Umkehrungen beschreiben umgekehrte Zuordnungen. f f -> 2 2 -> 2 -> - - -> 2 4 -> -> 4 Graphen
MehrBeispiele für eine vollständige Kurvendiskussion
Seite von Ganzrationale Funktionen Nur mit Ausklammern Beispiel. Diskutiere die Funktion f 8. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : Da
MehrPrüfungsteil B, Aufgabengruppe 2, Analysis. Bayern Aufgabe 1. Bundesabitur Mathematik: Musterlösung. Abitur Mathematik Bayern 2014
Bundesabitur Mathematik: Prüfungsteil B, Aufgabengruppe, Bayern 014 Aufgabe 1 a) 1. SCHRITT: DEFINITIONSBEREICH BESTIMMEN Bei einem Bruch darf der Nenner nicht null werden, d.h. es muss gelten: x 5 0 x
MehrGrundkurs Codierung Lösungsvorschläge zu den Fragen in den Unterkapiteln Was blieb? Stand Unterkapitel 4.4 Seite 261
Grundkur Codierung Löungvorchläge zu den Fragen in den Unterkapiteln Wa blieb? Stand 22.04.2007 Unterkapitel 4.4 Seite 261 Zu Frage 1: Nein, damit bleibt da one time pad-verfahren nicht perfekt. Man kann
MehrDieses Kapitel vermittelt:
2 Funktionen Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: wie die Abhängigkeit quantitativer Größen mit Funktionen beschrieben wird die erforderlichen Grundkenntnisse elementarer Funktionen grundlegende Eigenschaften
Mehr