Modelle und Methoden der Linearen Optimierung (Die Thesen zur Vorlesung 3)

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1 (Die Theen zur Vorleung 3) da Thea der Vorleung Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Teil Pro. Dr. Mihal Fendek Intitut ür Operation Reearh und Ökonoetrie Wirthatuniverität ratilava Dolnozeká ratilava Slowakei Univerität Haburg - Noveber 4

2 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren eipiel au dervorleung : Model (LOP): Maiierung de Geaterlö ( ) 8 + a Unter den Nebenbedingungen (LOP) Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:

3 Graphihe Dartellung der Löung de linearen Optiierungproble Der erte Shritt it die o genannte Menge der zuläigen Löungen zu kontruieren. a T n n { ( ) A b wobei A R ; R b R } ( LOP) Deinition Für da lineare Optiierungproble (LOP) it die Menge D { A b } die Menge der zuläigen Löungen 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:3

4 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Mahinenkapazität 7 6 Rohtobehränkung MOPO (3333;) ( )36664 * ( ) Ioerlölinie Marketingbehränkung 4 Produkt 3 N N N3 D Produkt 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:4

5 Graphihe Dartellung der Löung de linearen Optiierungproble Der zweite Shritt de Verahren it au der Menge der zuläigen Löungen D o genannte Otiallöung zu identiizieren. Deinition Die zuläige Löung * D it die Optiallöung de linearen Optiierungproble a wenn T n n { ( ) A b wobei A R R b R } { D ( ) > ( * ) * } ~ 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:5

6 Graphihe Dartellung der Löung de linearen Optiierungproble D wird al Durhhnitt von endlih vielen Halbebenen ein konvee Polyeder d.h. eine von endlih vielen Geradentüken begrenzte konvee Menge der Ebene. Kove bedeuted daß die Verbindungtreke zwihen zwei beliebigen Punkten von D an keiner Stelle D verläßt. Diee Eingenhat it ür viele Rehenverahren zur etiung einer optialen Löung wihtig Alo die Menge der zuläigen Löungen wird it de konveen Polyeder D gebildet. Dann auh ede zuläige Löung unerer Augabe beindet ih in eine Punkt de konveen Polyeder D Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:6

7 Graphihe Dartellung der Löung de linearen Optiierungproble Jede ete Wert q der Zielunktion () n q wird al Iozielunktionlinie bezeihnet da ede au dieer Geraden liegende Kobination der Variablen ( n ) den gleihen Wert der Zielunktion erbringt. T Jede Iozielunktionlinie ( ) q it enkreht zu den Gradientvektor () der Zielunktion (). Die Rihtung de raanteten Antieg der Funktion ( n ) i Punkt wird durh den Gradient ( ) der Funktion i Punkt angezeigt. Gradient () der Funktion () i Punkt it gegeben durh den Vektor der erten partiellen Ableitungen i Punkt und gilt ( ) ( ) ( ) ( ) K n 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:7

8 Graphihe Dartellung der Löung de linearen Optiierungproble Anwenden wir etzt die augeührten Eingehaten der Iozielunktionlinie ür die Löung unere nuerihen eipiel der Optiierung der Produktiontrategie der Fira. Wenn wir werden die Ioerlölinie parallel in Rihtung de Orthogonalenvektor (Orthogonalvektor it enkreht zu der Ioerlölinie) bzw. de Gradient der Zielunktion ür den Geaterlö ( ) ( ) ( ) ( 8) verhieben wir können ehen daß partielle optiale Löung ür die Zielunktion Geaterlö in der Eke beindet ih. In diee Punkt de konveen Polyeder gilt (3333;) und der Wert der Zielunktion Geaterlö it ( ) GE 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:8

9 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Erinnern wir die eleentare Forulierung de linearen Optiierungproble erkung: a) alle Nenbedinungen ind in der For kleiner oder gleih < b) alle Variablen ind nihtnegaiv unter den edingungen () n a i n b i in i K Kn wo Zahl der Nebenbedingungen de Proble n Zahl der Variablen de Proble Koeizienten der Zielunktion...n b i Koeizienten der rehten Seite i... a i Koeizienten der Matri de Syte der Nebenbedingungnen i......n - Entheidungvariablen...n 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:9

10 Löung der linearen Prograierungproblee:Da Sipleverahren Standardor de linearen Optiierungproble - Tranoration de linearen Optiierungprole au der For de linearen Ungleihungyte in der For de linearen Gleihungyte eerkung: a) alle Nenbedinungen ind in der For gleih oruliert b) Tranroation der Ungleihungen it it der Hile o genannten Shlupvarablen i realiiert ) alle Shlupariablen ind auh nihtnegativ Augabe LOP_SF unter den edingungen () n a i i n + i b i in i K Kn i K wo 4..4 Koeizienten der Zielunktion...n b i Koeizienten der rehten Seite i... a i Koeizienten der Matri de Syte der Nebenbedingungnen i......n - Entheidungvariablen...n i - Shlupvariablen i... Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:

11 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.: Löung der linearen Prograierungproblee:Da Sipleverahren a 8 ) ( + Unter den Nebenbedingungen (LOP) Standardor de linearen Optiierungproble in der Matrior SF_LOP { } n n T R R R R + b E A b E A ; ; ) ( a ei der Vorauetzung n ; rang ( A E ) [ ] i i e e i i E Model (LOP): Maiierung de Geaterlö

12 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.: Löung der linearen Prograierungproblee:Da Sipleverahren Erte Frage: Wie werden wir diee linearen Optiierungproble in der For de linearen Gleihungyte löen? ( ) T + E rang!!! a ) ( b E A ( ) ( ) b N N N N a ) (!!! ; ; N N E N A ( ) ( ) b N N ) ( b T ) ( b E b b L /!!!! ( ) b b T () *

13 Löung der linearen Prograierungproblee:Da Sipleverahren Die Löung de Syte der linearen Nebenbedingungen in der For: b it aihe zuläige Löung de Proble Nähte Frage: Welherart wir können diee aihe zuläige Löung de Proble inden Deinition 5: Geben it eine Auabe in der For LOP_ST it < n. Eine ailöung de Proble it eine Löung (Vektor) in der höhten Variablen von Null verhiedene Werte annehen. Die indeten n- retlihen Variablen nehen en Wert Null an. Die zur ailöng gehörigen Variablen heißen aivariablen. eerkung: Eine ailöung it den nihtnegativen Variablen b heißt aihe zuläige Löung de Proble 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:3

14 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:4 Löung der linearen Prograierungproblee:Da Sipleverahren Zu eipiel olgende drei Vektoren ind die zuläige ailöungen in uerer Optiierungaugabe In de Syte der Nebenbedingungen in uerer Optiierungproble wir haben 3 Nebenbedigungen und n 5 Variablen Rang der Matri de Syte der Nebenbedingungen it r(a) 3. Alo Vektor der zuläigen ailöung uß eht 3 poitiven Eleente uaßen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) und zu eipiel Vektor it die niht zuläige ailöung de Optiierungaugabe

15 Löung der linearen Prograierungproblee:Da Sipleverahren E it klar daß wir theoretih alle ailöungen de Optiierungproble berehnen können.??? Wieviel diee Löngn wir üen alo berehnen wenn da Optiierungproble Nebenbedigungen und n Variablen hat und Rang der Matri de Syte der Nebenbedingungen it r(a). n p( L) In unere eipiel ür die Zahl der ailöungen (inoailkoeizient)dann gilt n 5 p( L) 3 Aber hon i Fall wenn 3 und n it p n 3 ( L) ( 9 8) /( 3 ) Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:5

16 Löung der linearen Prograierungproblee:Da Sipleverahren Nähte Frage: Können wir diee aktuelle aihe zuläige Löung de Proble b T ( ) b verbeern? Oder It diee aktuelle aihe zuläige Löung de Proble hon die Optiallöung? Deinition 6: Die zuläige Löung * der Optiierungaugabe in der For LOP_ST it die Optiallöung der Augabe wenn keine andere zuläige Löung it de beeren Wert der Zielunktion eitiert Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:6

17 Löung der linearen Prograierungproblee:Da Sipleverahren Nähte Frage: Müen wir wirklih bei der Suhe der optiale Löung o viel ailöungen unteruhen? Die Antwort gab G. Dantzig in eine Sipleverahren Ideenhea de Sipleverahren Algorithu hrittweie unteruht niht die unendlihe Zahl der allen zuläigen Löungen aber nur die endlihe Zahl der ailöungen iterativer Prozeß L k L * I. k D k k It k optial? A) a Stop ) nein II. II. k k + : k + k ( ) ( ) b 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:7

18 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Eleentaralgorithu de Sipleverahren Gegeben it da Optiierungproble ( ) T a A b I.Etappe Initialiierung: Fetlegung der zuläigen Augangbailöung (ZAL) T ( ) a A b ( ) T a A + E b Iterationnuer p - Vorauetzungen: ~ A R b R ( n+ ) ( A E) R ; rang( A E) n n ; ( ) R Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:8

19 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:9 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Stellen wir der Iterationnuer p Wir bekoen die zuläige Augangbailöung Führen wir nähte Subtitutionen ein: II ( ) ( ) a ) ( p p p p p p N N b N N N ( ) ( ) ( ) ( ) ZAL L b b b b Eb b N T T E N A N p p p ; ; [ ] [ ] ( ) ; ; b; ~ ; ~ ~ ; ~ ; ~ + + n i i n R R a n X X X A A A A X A X K

20 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren II. Etappe: Suhe der optialen Löung de linearen Optiierungodell - OL Optialitättet der aktuellen ailöung (etiung der eintretrenden Variable) erehnung de Vektor der reduzierten ewertung der Variablen a) Wenn b) Wenn () : a () : in r r r [ r ] T n+ p. wenn r k * it OL de LOP; STOP. wenn dann r k p i i i a {.. n+ in { }.. n+ r k r r k r A } T K n + Der Spaltenvektor A k trit in der ai ein Die entprehende Variable it eintretende ( Der k-te Spaltenvektor der Sipletabelle it.g. Pivotpalte) gehe zu de Shritt X T X 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:

21 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren etiung der eintretrenden Variable. Wenn ik ür i K der Wert der Zielunktion it unbegrentzt STOP. Wenn i... wir berehnen ik > t in > ik i ik i l lk dann Die eintretende Variable den Wert t haben wird Der l-te aipaltenvektor trit au der ai au Die l-te aivariable wird autretende Der l-te Zeilenvektor der Sipletable it.g. Pivotzeile Da Tabelleeleent lk da i Abhnitt von Pivotpalte und Pivotzeile teht heißt Pivoteleent gehe zu de Shritt Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:

22 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren 3 Die eleentare aiänderung it de Pivotleent lk ALLE Eleente der Sipletabelle wir werden au der Matri au die Matri nah der olgenden Forel tranoieren l ür i l ür i l [ ~ K + lk ] ~ K n ~ X l + i i K i ik i lk Dann tellen wir a) X X K + [ ] i i K [ ~ + ] ~ K X i i K [ K + ] [ t + ] i ~ K X i K i i K b) Iterationnuer p p + gehe zurük zu de Shritt 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:

23 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren eipiel N. Wir werden ein Unternehen unteruhen. Da Unternehen hat in eine Produktionprogra zwei Produkte P P. Für die Erzeugung diee zwei Produkte die Fira benutzt Produktionaktoren. Dipoition de Modell: a) Wir haben zur Verügung: die Angaben über die Verbrauhnoren der Produktionaktoren ür die einzelne Produkte de Produktionprogra a i i ; die Angaben über die verügbare Menge der Produktionaktoren b i i die Angaben über die Preie p der einzelnen Produkte de Produktionprogra Diee Angaben über da Produktionprogra de Unternehen ind in Tabelle präentiert Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:3

24 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Tabelle. Produktionaktor Verbrauhnoren der Produktionaktoren P P verügbare Menge der Produktionaktoren F - F 5 5 Prei 3 - ( U.. ) a 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:4

25 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Graphihe Dartellung der Löung ( U.. ) a 7 () / *(3) D 7/ / Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:5

26 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Löung Tab. ( ) 8 5 b 7 3 r 8 5 A 3 b 7 T ( 8 5) Zuläige Augangbailöung nah der erten Iteration: ( A 3 A 4 ) ( ) ( 7 ) ( ) ( ) 8{ 5 ~ r a 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:6

27 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren. Iteration Tab. ( ) 8 5 b 8 / 7/ / -3/ / r -8 8 Zuläige ailöung nah der zweiten Iteration: ( A A4 ) ( ) ( 7 / / ) ( ) 8 ( ) { 8 r a 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:7

28 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren 3. Iteration Tab.3 ( ) 8 5 b r Eindeutige optiale ailöung nah der dritten Iteration: ( A A ) * ( ) ( 3 ) ( * *) Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:8

29 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren eipiel ( U.. ) a 4 Graphihe Dartellung der Löung 6 () 4 D Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:9

30 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Löung Tab. ( ) 3 b - 4 r 3 A b 4 T ( 3) Zuläige Augangbailöung nah der erten Iteration: ( A 3 A 4 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) 3{ ~ r a 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:3

31 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Tab. ( ) 3 b r 8-3 Zuläige Augangbailöung nah der zweiten Iteration: ( A A 4 ) ( ) ( 4 4) ( ) ( ) ( 8 3 ) ~ r 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:3

32 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Tab.3 ( ) 3 b 3 / 6 -/ /4 r - Zuläige Augangbailöung nah der erten Iteration: ( A A) ( ) ( 6 ) ( ) ( ) { ~ r a Wert der Zielunktion it unbegrenzt!!! Unbehränkte Löung: U U ( ) + t t ; + t 6 t ; t 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:3

33 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren eipiel 3 ( U.. ) a 4 8 Graphihe Dartellung der Löung * (5) (* ) (* ) () 4 D * (4) () Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:33

34 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Löung Tab. ( ) 5 b r 5 A 4 b 4 8 T ( 5 ) Zuläige Augangbailöung nah der erten Iteration: ( A 3 A 4 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) 5{ ~ r a 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:34

35 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Tab. ( ) 5 b 5 /5 / 4 8/5 / r -/ Erte alternative ailöung nah der zweiten Iteration Mehrdeutige Optiallöung: ( A A4 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) { / OL r 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:35

36 Löung der linearen Prograierungproblee: Da Sipleverahren Tab. ( ) 5 b 5 / -/6 /4 5/ 5 r -/ Zweite alternative ailöung nah der dritten Iteration Mehrdeutige Optiallöung: ( A A ) ( ) ( 5 ) ( ) ( ) / { OL r Alle alternative Optiallöungen * * * λ + ( λ) λ( 4 ) + ( λ)( 5) ( + λ 5 λ) ( ) ( 5 )( ) 4..4 Pro. Dr. Mihal Fendek Folie Nr.:36