Zusatzblatt zur Klausurvorbereitung mit Lösungen (ohne

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1 Zuatzblatt zur Klauurvorbereitung mit Löungen (ohne Gewähr (ertellt von Aleiz Gaal und Claudio Lloa Ienrich Da Blatt dient der Klauurvorbereitung und ollte nicht al Probeklauur aufgefat werden. Viel mehr dient e der Wiederholung wichtiger Rechnungen und Begriffe. Inbeondere it e nicht dafür konzipiert in Klauurzeit löbar zu ein. Aufgabe. Sei a, b R und α : [, log(π + ] R 3 eine Raumkurve parametriiert durch: co(e t in(e t t co(e t + in(e t a(e t + b ( Parametriieren Sie α nach Bogenlänge, ofern möglich. ( Betimmen Sie die Länge der nach Bogenlänge parametriierten Kurve α : [, π + a ] R 3, die nach ( gegeben it durch: co( +a in( co( + +a in( a + b +a +a +a (3 Betimme Krümmung und Torion von α. (4 Zeigen Sie allgemein, da für eine nach Bogenlänge parametriierte Kurve γ : [a, b] R 3 gilt: Hat γ verchwindende Torion, o liegt γ in einer Ebene. Für welche a liegt alo die Kurve α au ( (3 in einer Ebene. Hinwei: Bei der Kurve handelt e ich um eine Heli, die durch eine Bewegung au der Standardheli enttanden it. Alo nicht von der etwa komplizierten Form abchrecken laen, denn alle Ergebnie nehmen chöne Werte an Löung. ( E gilt: Man berechnet: α(t e t in(e t e t co(e t e t in(e t + co(e t ae t α(t et ( in(et co(e t + et (co(et in(e t + a e t Alo erhält man: et (co (e t + in (e t + a e t ( + a (t L(α [,t] t α(u du t + a e u du ( + a [e u ] t + a (e t

2 Da heißt inbeondere: Auflöen nach t: L(α [,t] + a (e t (. ( t( log + + a Da heißt man erhält für die nach Bogenlänge umparametriierte Kurve α : [, π ] + a : co( +a in( +a α( co( + +a in( +a a + b +a ( Man liet au Gleichung. ofort ab: (3 E gilt jetzt: v(t α(t L(α [,log(π+] π + a + a α(t + a Alo it die Krümmung gegeben durch: κ(t α(t in( +a co( in( + +a co( co( + +a in( co( +a in( a +a +a +a +a (( co( + in( (+a +a +a + ( co( in( +a +a +a Inbeondere it n(t b(t v(t n(t Anderereit it Alo gilt: ṅ(t co( + +a in( co( +a in( + a + a +a +a a co( + a +a in( a co( + a +a in( in( + +a co( in( +a co( τ(t < ṅ(t, b(t > a + a +a +a +a +a

3 (4: Sei τ(t. Die Bedingung, da γ(t in einer Ebene liegt, it äquivalent dazu, da e ein R 3 gibt, o da: 3 < γ(t, > cont. d (< γ(t, >. dt Man zeigt, da b(t kontant it und diee Bedingung erfüllt. Hierzu ei daran erinnert, da nach den Frenet-Gleichungen gilt: Alo erhält man: ṅ(t κ(tv(t + τ(tb(t v(t κ(tn(t d dt b d dt (v n v n + ṅ v Ähnlich rechnet man jetzt nach: κn n κv v d < γ, b >< γ, b > + < γ, ḃ >< v, b > dt Inbeondere liegt α genau dann in einer Ebene, wenn a gilt. Aufgabe. Betrachten Sie die Fläche, die al Graph der Funktion f : R R (, y y gegeben it. Alo die Fläche S { (, y, f(, y R 3, y R }. Berechnen Sie: ( Die erte Fundamentalform ( Die zweite Fundamentalform (3 Die Weingartenabbildung (4 Die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung Löung. Die Fläche wird offenichtlich parametriiert durch F (, y (, y, y. Alo gilt: F, y F, Ñ F F F F F y F y

4 4 N y + + y (: Man erhält ofort die erte Fundamentalform bezüglich der Bai F, F von T p S, wegen g ij < F i, F (g ij j >: ( + y y y + (: Die zweite Fundamentalform bezüglich der Bai ( F auch leicht berechnen, wegen h ij < (h ij F i j, N >: + + y (, F lät ich (3: Dann erhält man für die Invere von (g ij mit Hilfe von det(g ij + + y : ( (g ij + y + + y y + y Alo it die Weingartenabbildung gegeben durch: ( W (g ij y + (h ij ( + + y 3 + y y (4E gilt det(λ A λ n det(a,für A R (n n, und man erhält alo die Gaußkrümmung: K(, y det(w (, y ( + + y Für die mittlere Krümmung bekommt man: H(, y pur(w y (, y ( + + y 3 Aufgabe 3. Zeigen Sie, da die Fläche S F (R gegeben durch die Parametriierung coh( co(y F (, y coh( in(y eine Rotationfläche it! Berechnen Sie die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung der Fläche S in der gegebenen Parametriierung! Geben Sie die Menge der hyperbolichen Punkte von S an! It S eine Minimalfläche? Löung 3. Die Fläche S it eine Rotationfläche, denn F (, y coh( co(y coh( in(y co(y in(y in(y co(y coh( und für die Kurve γ(t (coh(t, t für t R gilt, da Spur(γ {(, R : > }, weil coh(t t R. Weiter it γ(r R,

5 eine -dimenionale Untermannigfaltigkeit, denn γ(r it Nulltellenmenge der Submerion F (, coh(. Um die dartellende Matri W (, y der Weingartenabbildung bezüglich ( F (, y, F (, y auzurechnen betimmen wir N F (, y, wobei N : S S die Gaußabbildung bezeichnet. E gilt: N F (, y F F (, y (, y d ( F F (, y (, y coh( d wobei wir die Identitäten d coh( inh(, d inh( coh( und coh ( inh ( + benutzt haben. Wir leiten nun die Funktion N F partiell nach beiden Variablen ab: N F (, y coh( N F (, y co(y in(y inh( coh F (, y ( coh( co(y in(y inh( coh ( 5 co(y in(y inh( inh( co(y inh( in(y coh F (, y. ( Nach der Kettenregel gilt, da N F (, y DN(F (, y F (, y und analog für y. Daher it die dartellende Matri von DN(F (, y bezüglich ( F (, y, F (, y durch ( W (, y coh ( gegeben. Dann it Gaußkrümmung K(, y det(w (, y coh 4 ( und die mittlere Krümmung H(, y Spur(W (, y. Daher it in jedem Punkt auf der Fläche S die Gaußkrümmung negativ, alo jeder Punkt it hyperbolich. Da die mittlere Krümmung auf der ganzen Fläche verchwindet, it S eine Minimalfläche. Aufgabe 4. Beweien oder widerlegen Sie: ( Sei S die Fläche au Aufgabe. E gibt ein R >, o da S lokal iometrich zur Sphäre S (R vom Radiu R it. ( Jede kompakte Fläche hat Gaußkrümmung K >. (3 Auf jeder kompakten Fläche S gibt e einen Punkt mit nichtnegativer Gaußkrümmung. Hinwei: Beipiele au der Vorleung dürfen ohne Bewei verwendet werden. Für (3 wähle beliebige Ebene in R 3 und nähere ie au dem unendlichen an S an bi ie berührt. Stelle fet, da diee tangential an S it und folgere dann die Behauptung.,

6 6 Löung 4. (: E gibt kein olche R > : Au der Vorleung it bekannt, da die Sphäre S (R vom Radiu R kontante Gaußkrümmung K hat. Weiter it au Gauß Theorema Egregium bekannt, da die R Gaußkrümmung eine innere Größe it und omit unter lokalen Iometrien erhalten bleibt. Wären alo S und S (R lokal iometrich, o müte e eine lokale Iometrie f : S S (R geben. Dann müte für die Gaußkrümmung K und alle p S gelten (K f(p K(p. Die kann aber nicht ein, da nach Aufgabe (4 gilt K(, y (+ +y < < (K f(, y R, für alle (, y R. (: Betrachte den Zylinder vom Radiu R. Nach Vorleung gilt K. Die widerlegt die Auage. (3: Betrachte die affine Ebenenchar enkrecht zu e (,, in R 3 und nähere diee au poitiver -Richtung an S an, bi ie S in p S berührt. Die it möglich, da S kompakt und omit bechränkt und abgechloen it. Da heißt man betrachtet jetzt die Ebene E p,e p + e, mit p S und S hat keine Punkte oberhalb von E p,e. E gilt inbeondere <, e > < p, e > für alle S. Man zeigt, da dann E p,e p + T p S gilt: Nehme hierzu an, da die nicht erfüllt it. Dann eitiert ein X T p S mit < X, e > und nach Definition de Tangentialraume eine Kurve c : ( ɛ, ɛ S, mit c( p, ċ( X. Da heißt aber, da c die Ebene E p,e chneidet, denn e gilt nach Taylorentwicklung: c(t p + Xt + O(t Da heißt: < c(t, e >< p, e > +t < X, e > +O(t, worau man wegen < X, e > ofort abliet, da e ein t ( ɛ, ɛ gibt, o da gilt: < c(t, e > >< p, e > Die it ein Widerpruch zu Bild(c S. Da heißt aber, da S volltändig auf einer Seite von T p S liegt und omit kann nach Vorleung nicht K(p < gelten. Alo gilt K(p. Aufgabe 5. a, Zeigen Sie den Satz von Euler: It S R 3 eine (eingebettete Fläche und p S ein Punkt mit Hauptkrümmungen κ κ, dann gilt für jede Normalenkrümmung κ nor ( in dem Punkt p in die Richtung γ ( T p S mit γ ( eukl, da κ nor ( [κ, κ ]. b, Entcheiden Sie, ob folgende Auagen richtig oder falch ind! i, It S R 3 eine (eingebettete Fläche mit p S und v T p S, o da die Gerade {p + tv : t R} S ganz in der Fläche S liegt, dann gilt für die Gaußkrümmung K(p. ii, It γ : I S R { R3 : eukl R} eine reguläre C -Kurve auf der Kugeloberfläche mit Radiu R, dann gilt für die Krümmung κ(t der Raumkurve γ im Punkt t I, da κ(t R.

7 Hinwei: Für Teil (ii it e nützlich ich die Begriffe der Krümmung einer Kurve in einem Punkt und der Normalenkrümmung einer Fläche in Richtung eine Tangentialvektor in einem Punkt, o wie deren Zuammenhang klar zu machen. Löung 5. a, Seien X, X T p S normierte Hauptrichtungen zu κ, κ, dann gilt g p (X i, X j δ ij. Wir können dann einen beliebigen normierten Vektor γ ( T p S chreiban al γ ( co(αx + in(αx mit einem geeigneten α R. Nach dem Satz von Meunier gilt für die Normalenkrümmung κ nor ( in die Richtung von γ (, da κ nor ( h p (γ (, γ (. Wir rechnen: κ nor ( h p (γ (, γ ( h p (co(αx + in(αx, γ ( g p (W p (co(αx + in(αx, γ ( g p (κ co(αx + κ in(αx, γ ( g p (κ co(αx + κ in(αx, co(αx + in(αx κ co (α + κ in (α [κ, κ ]. b, i, Die Normalenkrümmung in die Richtung v/ v it, weil die zweite Ableitung einer nach Bogenlänge parametriierten Geraden verchwindet, und die Normalenkrümmung in die Richtung v/ v γ ( it definiert al κ nor ( γ (, N(p, wobei γ eine nach Bogenlänge parametriierte Kurve it mit γ( p, die ganz in der Fläche verläuft, alo z.b. γ(t p + v v t. Damit it nach dem Satz von Euler κ nor( [κ, κ ], alo κ κ, und daher gilt für die Gaußkrümmung K(p κ κ. ii, Wir nehmen o.b.d.a. an, da γ nach Bogenlänge parametriiert it und t I. Die Weingartenabbildung in γ( p SR der Sphäre von Radiu R it W p R id, mit id : T ps T p S, nach dem Satz von Meunier gilt κ nor ( h p (γ (, γ ( g p (W p γ (, γ ( R g p(γ (, γ ( R. Inbeondere hat γ nicht verchwindende zweite Ableitung. Wir definieren n : γ (/ γ (, dann gilt γ ( κ(n und wir Zerlegen n in Tangential- und Normalanteil γ ( κ(n κ(n + κ(n, N(p N(p, } {{ } } {{ } T psr (T psr mit κ(n, N(p κ nor ( R. Dann gilt für da Quadrat der Krümmung der Raumkurve γ in : κ ( γ (, γ ( κ(n + R N(p, κ(n + R N(p κ ( n + } {{ } R R, weil κ( > folgt nun, da κ( R. 7

8 8 Aufgabe 6. Sei Z der Zylinder um die z-ache mit Radiu, alo Z {(, y, z R 3 : + y R }. Sei weiter π : R 3 R π(, y, z die Projektion auf die erte Komponente. a, Berechnen Sie den Gradienten grad(f für f π Z. b, Berechnen Sie die kovariante Ableitung X grad(f in die Richtung de Vektorfelde X(p : F (p, p t, wobei F : R R 3 F (, t (co(, in(, t und (p, p t R beliebig mit F (p, p t p. Löung 6. a, Mit Hilfe der Parametriierung F au b, chreiben wir f F (, t co(. Wir können den Gradienten in die Bai (F, F t entwickeln, mit F i F i für i {, t}, wir etzten alo grad(f F X F + X t F t, mit kalaren Funktionen X i : R R für i {, t}. Dann ind (X, X t gegeben durch ( X X t ( f F G f F t ( ( in( ( in(, mit der Gram chen Matri G der erten Fundamentalform. Damit it alo da Vektorfeld grad(f in der Parametriierung F : grad(f F (, t (X F + X t F t (, t in( in( co(. b, E gilt nach der Kettenregel (grad(f F Dgrad(f F. Nach Definition von X gilt, da X F (, t F (, t. Die kovariante Ableitung it definiert al X Y π[dx(y ], mit der Projektion π auf den Tangentialraum. Alo X grad(f(f (, t π[dgrad(f X(F (, t] π[dgrad(f F (, t] π[ (grad(f F (, t]. Wir leiten grad(f F partiell nach ab in ( in( co( in( co( in ( co ( und projezieren anchließend dieen Vektor auf die Tangentialebene. Beachte, da F, F t bereit orthonormal ind, und (grad(f F keinen Anteil in die F t -Richtung hat.

9 9 π in( co( in ( co ( in( co( in ( co ( in( co( in ( co (, F (, t, (in ( co( + co 3 ( co( in( co( Wir haben alo ( X grad(f F (, t co( in( co( in( co( in( co(. F (, t in( co(