Aufgabensammlung zum Buch Algorithmen und Datenstrukturen (Kapitel 7)

Transkript

1 Aufgaenammlung zum Buch Algorihmen und Daenrukuren (Kapiel 7) 1 Aufgaen au dem Buch Zu folgenden Aufgaen, die direk au dem Buch ennommen ind, gi e an der Univeriä Freiurg am Lehruhl Omann Muerlöungen. In der Verion mi Löungen ind diee angegeen. Hiner der forlaufenden Aufgaennummer eh in Klammern die Nummer der Aufgae im Buch. Aufgae 1 (Aufgae 7.9): Gegeen ei die Menge fa; B; C; D; E; F g von Inervallen mi A =[2;3]; B=[5;9]; C=[1;4]; D=[3;7]; E=[6;8] und F =[8;10]: 1. Geen Sie einen Inervallaum möglich geringer Höhe zur Speicherung dieer Inervallmenge an. 2. Führen Sie eine Aufpießanfrage für den Punk x =3durch und geen Sie an, in welcher Reihenfolge die aufgepießen Inervalle endeck werden (augehend vom Inervallaum au a)). 2 Ähnlich Aufgaen Bei den folgenden Aufgaen handel e ich um Aufgaen die an der ETH Zürich, am Iniu für Theoreiche Informaik und an der Univeriä Freiurg im Iniu für Informaik in diveren Vorleungen geell wurden. Inhallich ind diee Aufgaen mi dem ehandelen Soff im Buch verwand. Zu allen Aufgaen gi e Muerlöungen, die allerding nur in der Verion mi Löungen enhalen ind. Aufgae 2: Für den Algorihmu zur Berechnung der konvexen Hülle müen wir een, o ein Punk r auf der rechen Seie von der geraden pq lieg. 1. Beweien Sie, daß da Vorzeichen der Deerminane 1 p x p y D = de 1 q x q y encheide, o r auf der rechen oder linken Seie lieg. 1 r x r y 1 A 2. Zeigen Sie, daß jdj doppel o groß i, wie die Dreieckfläche von p, q und r. Nuzen Sie hierei den folgenden Sachverhal: Für den Inhal A eine unregelmäßigen n-eck in der Eene mi den (engegen dem Uhrzeigerinn geleenen) Endpunken (x 0 ;y 0 );(x 1 ;y 1 );:::;(x n ;y n ) = (x 0 ;y 0 ) gil: A = 1 2 n 1 X k=0 (x k y k+1 x k+1 y k )

2 Im Uhrzeigerinn geleene Endpunke ergeen den Wer A. Aufgae 3: Zeigen Sie den Saz von Euler Sei G ein kreuzungfreier Graph in der Eene, v die Anzahl der Knoen, e die Anzahl der Kanen, f die Anzahl der Flächen (inkluive der unegrenzen äußeren Fläche) und c die Anzahl der Zuammenhangkomponenen. Dann gil v e + f = c +1. durch volländige Indukion. Aufgae 4: Wenn e im Vergleich zur Anzahl der Eingaepunke n wenig Eckpunke k in der konvexen Hülle gi o i e güniger, einen Algorihmu zu konruieren, der owohl in Ahängigkei von k al auch n eh. Berache o.b.d.a. nur die Berechnung oere Hülle. Die Idee i e, augehend vom linkeen Punk die Punke auf der Hülle nacheinander zu eimmen. 1. Bechreien Sie die Vorereiungen und den Gang üer die Hülle genauer. 2. Wa i die erziele Laufzei Ihrer Implemenaion? Aufgae 5: Für n orhogonale Ojeke in der Eene ieen ich Divide-And-Conquer Algorihmen zur Löung von geomerichen Prolemen an. E gil da folgende algorihmiche Prinzip: Fall Ojekmenge klein genug, löe da Prolem direk, on zereile da Prolem in (möglich) gleichgroße Teilproleme (devide) und löe die Teilproleme rekuriv (conquer), anchließend füge die Teillöungen zu einer Geamlöung zuammen (merge). Der Voreil von DAC Algorihmen i ihre Einfachhei, elen werden kompliziere Daenrukuren verwende. Ana die Ojekmenge in nur zwei Teilmengen aufzueilen, zerleg eine verikale Gerade die geomerichen Ojeke allgemein in drei Teile: Die Ojeke die volländig link zw. rech von der Geraden liegen und die Ojeke, die von der Geraden gechnien werden. Für da folgende Prolem echreien Sie die ich ergeenen Fallunercheidungen im Merge-Schri und zeigen Sie, daß Ihr Algorihmu O(n log n) Zei und O(n) Plaz enöig. Te auf orhogonaler Segmenchni: Sei S Menge horizonaler und verikaler Segmene in gerenner Darellung (L; R; V ), d.h. eine Menge L von linken, eine Menge R rechen Endpunken horizonaler Segmene und eine Menge V verikaler Segmene. Geuch i die Anwor auf die Frage, o e in S ein Paar ich chneidender Segmene gi. Aufgae 6: Die opimale Triangulaion eine Polygon P =(v 0 ;:::;v n 1 ;v n )mi n +1Knoen i definier für eine Gewichfunkion w, die durch die Seien und Flächen der Triangulaion fegeleg i. Da Prolem i e, eine Triangulaion zu finden, die die Summe der Gewiche minimier. Eine mögliche Gewichfunkion i z.b. w( v i v j v k )=jv i v j j+jv j v k j+jv k v i j, woei jv i v j j der euklidiche Aand von jv i j zu jv j j i. Die encheidende Berachung i die Surukur einer opimalen Triangulaion: Eine opimale Triangulaion, die da Dreieck v 0 v k v n enhäl, zerfäll in zwei Polygone (v 0 ;v 1 ;:::;v k ) und (v k ;v k+1 ;:::;v n ), deren geere Triangulaion wiederum opimal i.

3 Sei [i; j] da Gewich einer opimalen Triangulaion de Polygon (v i 1 ;:::;v j ), dann i iniial [i; i] =0. Bechreien Sie, wie die Taelle der Were [i; j], 1» i<j» ndynamich akualiier werden kann, um einen O(n 3 ) Algorihmu zur w-opimalen Triangulaion eine Polygon zu erhalen. Aufgae 7: Beanworen Sie die folgenden zwei Fragen zur Triangulaion von Polygonen und egründen Sie Ihre Anwor! 1. Kann man zu jedem Eckpunk eine einfachen Polygon eine Diagonale finden? 2. Läß ich jede einfache Polygon o riangulieren, daß jede Dreick höchen zwei Nachardreiecke ha? Aufgae 8: Zum Verändni der lineare Opimierung dienen die zwei folgenden Aufgaen: 1. Wieviel poenielle Exrempunke gi e in einem linearen Programm mi n Varialen x 1 ;:::;x n mi x i 0 und m weieren Neenedingungen maximal? 2. Minimieren Sie graphich die Zielfunkion x y in der xy-eene mi den Neenedingungen 1» x» 3, 0» y und 2y x» 3. Aufgae 9: Finden Sie die Trapezzerlegung inkluive der aozieren Daenrukur für die folgende Segmenmenge in der Eene In dem inkremenellen Algorihmu ollen die Segmene in der Reihenfolge ihrer Numerierung ehandel werden. Aufgae 10: Randomiieren Sie die Berechnung zur konvexen Hülle. Der Algorihmu are mi einem elieigen Dreieck KH 3 = p 1 p 2 p 3.Seiz ein innerer Punk und p i, i>3, ein Punk außerhal der derzeiig erechneen

4 konvexen Hülle KH i 1. Dann ha zp i einen Schni mi einem Segmen e in KH i 1. Durch einen Kanenlauf von e au werden o lange Kanen eliminier, i die Tangenenpuke a und von KH i 1 zu p i erreich werden. KH i ergi ich au dem Zuammenchluß von p i und KH i 1. Daei werden weier Schniegmene aufgeuch und KH i 1 lezendlich um p i erweier. Die Segmene werden durch Verweie (Zeiger) in einem Array A verwale: Für jeden noch nich eingefügen Punk p j 2 fp i ;:::;p n g wird diejenige Kane innerhal von KH i 1 gepeicher, die von zp j gechnien wird. Fall ein Knoen chon innerhal der konvexen Hülle lieg, o i der Verwei leer. Die von den Punken au adreieren Segmene verweien wiederum auf die jeweiligen Punke p j zurück. 1. Bechreien Sie, wie ei gegeenen Punk p i außerhal der Hülle KH i 1 und gegeenen Tangenenpunken a und da Array A akualiier werden kann. 2. Wir agen ein Punk p i mi i<jeh mi p j im Konflik, wenn zp j eine Kane von KH i 1 chneide, die eim Einfügen von p i enfern wird. Die Laufzei de Verfahren i durch die Anzahl der Konflikpaare echränk. Geen Sie ein wor-cae Beipiel an, in dem die Anzahl aller Konflikpaare quadraich i. Aufgae 11: Planen Sie in drei Schrien einen Weg von Sarpunk zum Zielpunk g für den gegeenen Rooor (Referenzpunk ei deen Spize) in der folgenden Umgeung: g 1. Projekion de Konfiguraion- in den Areiraum. 2. Trapezzerlegung de Bereich inkluive der Eliminaion von Ojekrapezen. 3. Planung de Wege enlang der Trapez- und Seienmien. Aufgae 12: Gegeen ei ein punkförmiger Rooer, der nur üer einen Taenor und einen Winkelzähler verfüg. Dieer Zähler kann auf 0 zurückgeez werden und gi danach zu jedem Zeipunk die Summe der Winkel der augeführen Drehewegungen an. Daei werden Linkewegungen poiiv, Rechewegungen negaiv gezähl. Bei einer Wanderührung dreh ich der Rooer nach rech. Der Rooor kann einer Richung und einer Wand folgen, z.b. mi repea folge Richung unil Wandkonak oder mi repea folge Wand unil Winkelzähler = 0. Veruchen Sie ich an einem Algorihmu, der in einem polygonalen Layrinh einen Auweg finde, owei er exiier.

5 Nehmen Sie al Beipiele die folgenden einfache Layrinhe mi Sarpunk : Aufgae 13: Gegeen ei die folgende Menge P von 7 Punken in der Eene: A D E C B F G 1. Geen Sie da Voronoi-Diagramm von P an. 2. Geen Sie eine doppel verkeee Kanenlie an, echränk auf alle Kanen der Voronoi-Regionen der Punke A, B und C au Vor(fA; B; C; D; E; F; Gg). 3. Zeigen Sie graphich, wie man au den Voronoi-Diagramm für die Mengen fa; B; Cg und fd; E; F; Gg da Voronoi-Diagramm für die geame Punkmenge konruieren kann (Merge-Schri de Divide-and-conquer Algorihmu). Aufgae 14: Zeigen Sie: Für ein Voronoi-Diagramm Vor(P ) zur Punkmenge P = fp 1 ;:::;p n g gelen die folgenden eiden Auagen: 1. Ein Punk q in der Eene i ein Knoen in Vor(P ) genau dann, wenn der größe leere Krei C P (q) ezüglich P um q drei oder mehrere Punke p au P auf einem Rand eiz. 2. Die Mielenkreche (der Biekor) zwichen den Punken p i und p j (eide au P ) definier eine Kane in Vor(P ) genau dann, wenn e einen Punk q in der Eene gi, o daß der größe leere Krei C P (q) owohl p i und p j auf dem Rand enhäl, aer keinen weieren Punk au P.

6 Aufgae 15: Zeigen Sie: Die oere konvexe Hülle UH eine Punkmenge P enprich im Dualraum der uneren Einhüllenden LE (für lower envelope) von P Λ. Daei i LE(P Λ ) durch da Minimum der y Were aller p Λ au P Λ gegeen. Aufgae 16: Berachen Sie da Paraoloid z = x 2 + y 2 im 3-dimenionalen Raum und einen Punk p =(p x ;p y ;0). Weierhin ei die folgende dem Punk p aoziiere nich verikale Eene z =2p x x+2p y y (p 2 x +p2)mi y h(p) ezeichne. 1. Zeigen Sie: Die Eene h(p) i eine Tangenialeene an da Paraoloid zum Punk p und chneide eine (in z Richung gelegene) Verikale durch den Punk q =(q x ;q y ;0) laufende Gerade G in dem Punk =(q x ;q y ;2p x q x +2p y q y (p 2 x +p2 y )): 2. Zeigen Sie: Die verikale Dianz zwichen und dem Schnipunk q 0 von G mi dem Paraoloid i da Quadra der Dianz zwichen p und q. 3. Zu einer Punkmenge P = fp 1 ;:::;p n g ei H definier al Menge fh(p)jp 2 P g der Tangenialeenen an da Paraoloid. Deweieren ei die oere Einhüllende UE(H) die Fläche, die ich durch da Maximum der z-were aller eeiliger Eenen in H zuammenez. Zeigen Sie: Die Projekion von UE(H) auf die xy-eene i da Voronoi-Diagramm von P. Veranchaulichen Sie ich daei die Siuaion in einer Dimenion niedriger. Aufgae 17: Sei P ein Menge von n Punken in der Eene, von denen keine vier auf einem Krei liegen, und p 1 ;p 2 ;p 3 2 P. Beweien Sie, daß die Delaunay-Triangulaion der duale Graph de Voronoi-Diagramm i. Aufgae 18: Sei P ein Menge von n Punken in der Eene, von denen keine vier auf einem Krei liegen, und p 1 ;p 2 ;p 3 2 P.Seip 1 p 2 eine Delaunaykane mi angrenzenden Dreiecken D(p 1 ;p 2 ;p 3 )und D(p 1 ;p 2 ;p 4 ).ZeigenSie, daß die Voronoi-Kane zwichen p 1 und p 2 da Linienegmen zwichen den Umkreimielpunken von D(p 1 ;p 2 ;p 3 )und D(p 1 ;p 2 ;p 4 )i. Aufgae 19: Beweien Sie, daß 1. die Delaunay-Triangulaion den maximalen Umkrei minimier; 2. die Delaunay-Triangulaion den maximalen enhalenden Krei minimier. Aufgae 20: Sei P ein Menge von n Punken in der Eene, von denen keine vier auf einem Krei liegen. Der Gariel- Graph G(P ) von P i wie folg definier: Eine Kane e =<p 1 ;p 2 >mi p 1 ;p 2 2 P gehör zu G(P ), fall für alle p 3 2 P nfp 1 ;p 2 ggil, daß (d 2 (p 1 ;p 3 )) 2 +(d 2 (p 2 ;p 3 )) 2 (d 2 (p 1 ;p 2 )) 2

7 @ " "@ Q Q Q VD(P) " Q e " Q " e 0 DT (P ) Aildung 1: Eine Kane der Delaunay-Triangulaion chneide die duale Voronoi-Kane. i, woei d 2 den euklidichen Aand zwichen zwei Punken ezeichne. 1. Zeigen Sie, daß der minimal pannende Baum von P ein Teilgraph de Gariel-Graphen i. 2. Zeigen Sie, daß jede Kane de Gariel-Graphen auch eine Kane der Delaunay-Triangulaion i. 3. Zeigen Sie, daß e 2 DT (P ) genau dann eine Kane von G(P ) i, fall e die Kane e 0 de Voronoi- Diagramm chneide woei e 0 die zu e duale Kane i (vgl. Aildung 1). 4. Geen Sie einen Algorihmu an, der in einer Zei von O(n) den Gariel-Graphen erechne, fall die Delaunay-Triangulaion gegeen i. Aufgae 21: Gegeen ei die Menge fa; B; C; D; E; F g von Inervallen mi A =[2;3], B =[5;9], C =[1;4], D = [3; 7], E =[6;8] und F =[8;10]. 1. Geen Sie einen Inervallaum möglich geringer Höhe zur Speicherung dieer Inervallmenge an. 2. Führen Sie eine Aufpießanfrage für den Punk x =3durch und geen Sie an, in welcher Reihenfolge die aufgepießen Inervalle endeck werden (augehend vom Inervallaum au (a))