5. Laplace Transformation. 5.1 Definition und Korrespondenzen

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1 23 5. Laplac Tranformaion 5. Dfiniion und Korrpondnzn Di Laplac Tranformaion ha für di Analy und dn Endwurf linarr ziinvarianr dynamichr Sym mi konznrirn Elmnn in groß prakich Bduung rlang. Si ghör wi di Fourir Tranformaion zur Grupp dr Ingralranformaionn. Dabi mu man au mahmaichr Sich zwichn dr iniign und dr zwiiign Laplac Tranformaion unrchidn. Da in dn Anwndungn dr linarn Symhori di zwiiig Laplac Tranformaion in ihrr allgminn Form kaum bnuz wird, wird im folgndn nur di iniig Laplac Tranformaion bhandl; da hiß, in dim Kur i di Laplac Tranformaion grundäzlich nur di iniig Laplac Tranformaion. Di o dfinir Laplac Tranformaion (. u.) z dahr im Zibrich kaual Signal x() vorau. Gmäß 2.4 ind kaual Signal olch, di nur in 0 xiirn, d. h. Signal, di für < 0 Null ind. Im Zuammnhang mi dr Unruchung d Signalübrragungvrhaln von linarn ziinvariann dynamichn Symn (ih 3.4) bdu da übrhaup kin Einchränkung, da da Symvrhaln hir immr r ab inm Einchalzipunk 0 von Inr i. Und din Einchalzipunk kann man zu 0 0 wähln bzw. flgn (ih di Eignchaf dr Ziinvarianz in.4 und 3.4). Dfiniion dr Laplac Tranformaion: X () { x( )} x( ) d (5.) mi dr komplxn Variabln und δ + jω (5.2) c+ j - x ( ) {X()} X ( ) d 2πj c j für 0 (5.3) wobi c in rll Zahl i, di pär dikuir wird. In dr Dfiniionglichung (5.) bginn da Ingraioninrvall für bi 0, o da auch Signal x() zuglan wrdn, di in 0 inn δ-impulanil δ() bizn. Solch Signal rn z. B. al Gwichfunkionn g() bi prungfähign

2 24 Symn auf ( ). Man bach hr gnau dn Unrchid zwichn dm Laplac Ingral in (5.) und dm Fourir - Ingral in (4.)! Dadurch, daß di Laplacvariabl gmäß (5.2) in komplx Variabl mi Ralil δ und Imaginäril ω i, wird rrich, daß (5.) für in wnlich größr Kla von Signaln x() konvrgir al bim Fourir Ingral (4.). Bipil: x() 2 * () x 0 2 2) 2) d d ( 2) X ( ) ( 2) 2) 2) [ ]?!! für all 2) [( δ + jω ) 2] δ 2) * jω δ 2) *[coω j inω] -(-2) ± für δ R() < 2 nich dfinir für δ 2 0 für δ > 2 X() { 2 * ()} 2 für δ R() > 2 δ 2 hiß Konvrgnzabzi und da Gbi δ R() > 2 in dr komplxn -Ebn hiß Konvrgnzgbi: Im

3 C R Wnn C in (5.3) größr al 2 gwähl wird, dann lifr da komplx Umkhringral in (5.3) 2πj c+ j c j 2 d { 2 0 für 0 für < 0. Di Fourir - Tranformir für di Signal x() xiir nich, wil di Dirichlch Bdingung nich rfüll i. Auch für di Zuordnung x() X(), di di Laplac Tranformaion zwichn Zibrich und Bildbrich (-Brich) bwirk, wird da Korrpondnzzichn vrwnd: 2 * () (5.4 a) 2 Da Aufrn dr komplxn Variabln in dr Bildfunkion X() mach dulich, da ich hir um in Laplac Tranformaion handl. Di Bildfunkion X() 2 I in gbrochn raional Funkion in dr komplxn Variabln und xiir für all mi Aunahm 2; 2 i in Pol von X(). Wir Korrpondnzn: () x() -2 * () x 0 X ( ) 2 d + 2) d ( + 2) + 2)

4 26 ( + 2) + 2) + 2) [ ]?!! für all -(δ+j +2) -(δ+2) -j -(δ+2) [co j in ] gh für dann ggn 0, wnn (δ + 2) > 0 Im δ > - 2 R() > R d. h. X() + 2 für δ R() > * σ () (5.5) Daggn war + 2 * σ ( ) 2 (2) x() () x

5 27 0 X ( ) d { } () 0 für δ R() > 0 d.h. X ( ) für R() > 0 σ ( ) (5.6) (3) komplx -Funkion x() -jω * () j X ( ) d ω + jω ) + jω d + jω) + jω ) { } + jω ) δ + jω + jω ) δ j( ω + ω) 0 für wnn δ R > 0

6 28 X ( ) + jω für δ R() > 0 jω * σ ( ) (5.7) + jω Ganz nprchnd find man jω * σ ( ) (5.8) jω (4) x() co * () x 0 X ( ) coω d Löung di Ingral i müham! coω ( 2 jω + jω ) und dann Linariäaz dr Laplac Tranformaion (. u.) (5) x() * () x 0

7 29 X ( ) d u dv parill Ingraion u du d dv - d v X ( ) * ( ) + *d 0 für R() δ > 0 d (2): für R( ) δ > 0 X ( ) 2 für R( ) δ > 0 * σ ( ) 2 (5.9) (6) x 0 < 0 H x() H 0 T T 0 > T 0 T

8 30 X ( ) x( ) d T X ( ) H d H * T H{ H T + T *} - kin gbrochn-raional Funkion in!!! - wgn dr ndlichn obrn Grnz konvrgir di Laplacingral für all. In dr anggbnn Liraur [2] find man auführlich Korrpondnzafln zur Laplac Tranformaion. Ein Sondrllung nimm widr di Dlafunkion x() δ() in: (7) { x( ) δ ( )} δ ( ) d Di Ingral kann widr nur mi dr Aublndignchaf dr Dlafunkion (ih 2.3) augwr wrdn: { δ ( )} 0 (5.0) δ ( )