Tutorial 01 (korrigierte Fassung): Beispiele zu vollständig zufälligen Prozessen.

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Horst Boer
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1 SS 6 uorial _rv. / S. von 5 uorial (orriir Fassun): Bispil zu vollsändi zufällin Prozssn. Di Bispil in dr Oriinalfassun von uorial wurdn nich unmissvrsändlich lassifizir. Bi auschn Si di Oriinalvrsion n dis orriir Vrsion aus. Einfach Frasllunn: B : In inm lfonnz wrd das Bszn inr Liun durch inn vollsändi zufällin Prozss mi dr milrn Warzi / Minun modllir. Dami önnn z.b. lich di folndn Fran banwor wrdn: a) Wi ross is di Wahrschinlichi, nach 5 Minun in fri Liun zu rhaln? b) Wi lan muss in ilnhmr warn, um mi 8% Wahrschinlichi in fri Liun zu rhaln? c) Kann dr ilnhmr davon aushn, dass sin Warzi bi widrholn vrblichn Anrufn rinr wird? B : Annommn, Si ommn zu inr lfonzll, in dr rad jmand lfonir und noch Lu vor Ihnn warn. Di milr Zi ins lfonas si Minu. Wi roß is di Wahrschinlichi, dass Si noch höchsns Minun warn müssn? Es is Pr( V ) ( d d. 577.! Wi ändr sich di Wahrschinlichi, wnn di milr Gsprächsdaur nich in, sondrn.5 Minun daur? Jz is.. Pr( V ) ( d d..! Wi lan müssn Si im rsn Fall warn, bis Si mi 9% Wahrschinlichi lfonirn önnn? Zur Banworun disr Fra müssn Si di Glichun

2 SS 6 uorial _rv. / S. von 5 nach auflösn: bbzw. φ(): d.9 φ ( ) ( + + ).9, Di Lösun disr ranszndnn Glichun lifr dn Wr 5. Minun. Allminr Aussan: B : Bsimmn Si dn Erwarunswr von V Dr Erwarunswr von V läss sich bispilswis übr di LAPLACE- ransformir dr Dichfunion von V rmiln: ( )! ( s) ( + s) ( )! d ( + s) (wi hä man dis auch unmilbar shn önnn?). Es fol sofor: d E( V ) ( s) s ds. B : Bsimmn Si dn Erwarunswr von ma{,, }. Um disn Erwarunswr zu bsimmn, brchnn wir zunächs di LAPLACE-ransformir ( s ) von : d

3 SS 6 uorial _rv. / S. von 5 ( s) ϕ( ) d (! ( s + )( s + ) K( s + ) Di naiv Abliun von ( s ) an dr Sll s lifr dann dn Erwarunswr d ds ( ) ) E( ) s s K d +. Für ross ann disr Erwarunswr wn dr Divrnz dr harmonischn Rih shr ross wrdn (r wächs wi ln ). B 5: In Arbisbla wurd bris noir, dass di Zufallsvariabl W, di das Minimum von voninandr unabhänin, mi dm Paramr j ponnill vriln Variabln j bschrib, bnfalls ponnill vril is: Bnöi wird zum Bwis nur di Funion b h: ],] ],] mi Pr({ W b}) h( d, für di aufrund dr Unabhänii dr j und dr asach, dass W nau dann rössr lich b is, wnn all j rössr lich b sind, il, dass Daraus fol unmilbar, dass Pr({ W Pr({ W b}) Pr({ b}). j b}) ( + + K + ) d, b j ( + + K+ ) das Minimum W also widr (mi dr Summ dr j ) ponnill vril is. Wir Bispil: B 6: Unr dr Annahm, dr Absand aufinandr folndr Fahrzu auf inr in inr Richun bfahrbarn Srass fol inr ponnilln Vrilun mi inm Milwr von Mrn zwischn dn Fahrzun, brchn man

4 SS 6 uorial _rv. / S. von 5 di Wahrschinlichi dafür, dass sich in inm Brich dr Län von 5 m zwischn 5 und 6 Fahrzu bfindn. Di Anzahl N dr Fahrzu is in Poisson-vril Zufallsvariabl mi n Pr( N n). n! 5[ m] Dabi is 5 zu szn. Es fol [ m] Pr(5 N 6) 6 5 5! 5.7. B 7: Unr dr Annahm, dr Vrhr auf inr Einbahnsrass si vollsändi zufälli mi inr Innsiä von Fahrzun pro Minu, brchnn Si di Wahrschinlichi P dafür, dass n Fahrzu mhr als N Sundn bnöin, um in Msssll zu passirn. In (.8) in Arbisbla wurd di Dichfunion n () dr Zufallsvariabln V n n, di di - Anunfszi bschrib, zu ( )! rmil. Mi ½ und N fol dahr P Pr( V n 5! > N)! 5.65 B 8: Auf inr Einbahnsrass si dr Vrhr unabhäni und ponnill vril, und im Mil passirn in Minun Fahrzu in Msssll. Brachn Si Puls von jwils 5 Fahrzun und brchnn Si di Erwarunswr E 5, E 5 ma und E 5 min dr Zufallsvariabln. V ,. M ma{ 5 },. W min{ 5 } d.

5 SS 6 uorial _rv. / S. 5 von 5 di Sll passirn und di Wahrschinlichi P dafür, dass Fahrzu innrhalb ds durch. und. dfinirn Inrvalls di Sll passirn. Mi min -, d.h. E() sc, wird E 5 5 /.67 min sc, E 5 ma / ( + / + / +/ + /5).76 min 5.7 sc, E 5 min / (5 ).7 min sc. Für di Wahrschinlichi P Pr(E 5 min V < E 5 ma ) rib sich P ( d d.68

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