Lösungen zu Blatt 6 Laplace-Transformation Mathematik III KI. F(s) von a) f(t)=sin(t) b)f(t)=cos(t) c) f(t)=1 (Heaviside-Fkt) 1 s

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1 öngn z Bla aplac-tranformaion Mahmaik III KI T, Rückranformaionn, Anwnng bi dr öng von Diffrnialglichngn Prof.Dr.B.Grabowki Z Afgab Brchnn Si rch Anwnng dr orml f di aplac-tranformir von a fin bfco c f Haviid-k wobi für all nkionn f gil: f für <. öng: Z a ür xiir di aplac-tranformir nich Da Ingral i nich ndlich. Wir brachn dhalb nr dn all >. Wir wndn di Parill Ingraion an: in, v - co, v nd rhaln: ür dn all > gil für dn rn Smmandn: co lim nd folglich i: co Af di Ingral wndn wir rn di Parill Ingraion an: co, v - -in, v co ür dn rn Trm gil für >: nd rhaln: co lim co nd folglich rhaln wir:

2 Slln wir * nach dm gchn Ingral in für >. * m, o rhaln wir da Ergbni: Z b Analog z a ür > nd mal Parill Ingrirn rhaln wir: co für >. Z c Di aplac-tranformir dr Haviid-nkion i nd folglich für nich dfinir in dim all i da Ingral. Wir brachn dhalb nr dn all >. In dim all rhaln wir: für > lim Z Afgab Zign Si, da für all n> di aplac-tranformir von f n di Gal: n!, n > biz! öng: Saz: Bh.: n n! { } n, >. Bwi: rch volländig Inkion: Inkionanfang: n: z.z.: { } für > qd. { } Inkionchri: n n! Vor: { } n n n! Bh.: { } n Bwi: E gil:

3 n! n! n, nd i n n n! n n f n nach Vorazng nd f n Dr Mliplikaion im Bildbrich nprich in alng im Originalbrich, d.h., gil: n! n! n n f * n n n Wir rchnn f a: E gil n n n n n f * n n n n n q.. d. Z Afgab Man gb di aplac-tranformir z folgndn Zifnkionn f an! 8 in w a b cin d in w Vrwndn Si dafür di in dr Tabll anggbnn Tranformaionäz aßr dr alng a n n! nd folgnd T: in,,. n a Z a Anwnng d inariäaz 8 8! 8! { } { } { } { } { } { } 9 Z b inariäaz { } { } { } Z c Dämpfngaz Di aplac-tranformir von in i. Nach Dämpfngaz gil: { in } Z d Ablingaz für Bildfnkionn A dm Ablingaz für Bildfnkionn: { f } ' folg { f } ' Da finw i in nrm all: '. Wir rhaln dami wgn { f } ' Ergbni: in :

4 Z Ingralaz für Bildfnkionn Mi dm Ingralaz für Bildfnkionn f in rgib ich : - - in f nd Sbiion: dv v, Wir rhaln dami: / / / arcan in v v dv arcan arcan arcan limarcan v v π Bmrkng: Di lz Glichng: arcan arcan π folg a dr Taach, da co an y y π i Ergbni: arcan f Z Afgab Wlch nkionn f ind di Urbildfnkionn z folgndn aplac-tranformirn? ln d c b a Wndn Si di Tranformaionäz dr Tabll nich PBZ nd nich alng! an! öng: Z a Ingraionaz

5 Z b co in in co Ingraionaz Z c inariäaz in co Z d ln i in Vrchibng dr Urbildfnkion von ln im Zibrich! Wir brchnn znäch di Urbildfnkion von ln. A dm Ablingaz für Bildfnkionn: { } ' f folg { } ' f - /. Da f gil nd wir win, da ach g - gil nd di orirranformaion inig i, m gln: fg, alo f g. Wir wndn nn dn Vrchibngaz für Zifnkionn an nd rhaln wgn f da gil: f f- ln Alo la da Ergbni: f ln Z Afgab Brchnn Si di Urbildfnkionn z folgndn nkionn mil Parialbrchzrlgng! a 8 8 b Z a. Schri: Nlllln d Nnnr bimmn: rch Probirn,, -. Schri: Anaz für di Parialbrüch:

6 C B A. Schri: Bimmng dr Koffizinn A,B,C dr Parialbrüch: Wir mliplizirn di Glichng mi dm Hapnnnr von nd zn di Nlllln,- nd in. Wir rhaln in GS mi Glichngn für A,B,C. Wir lön di GS rch dn Ga chn Algorihm nd rhaln: A, B, C-.Schri: Rückranformaion Drch Rückranformaion dr inzlnn Parialbrüch rgib ich da Ergbni: f } { Z b Schri: Zrlgng d Nnnr von in inarfakorn. Daz bimmn wir di Nlllln d Nnnr: Wir rhaln di Nlllln: doppl nd da Paar konjgir komplxr Nlllln:, j j. Di Z d Nnnr la folglich:..schri: Anaz für di Parialbrüch: D C B A. Schri: Brchnng dr Koffizinn A,B,C,D D C B A D C B A Drch Einzn von vrchidnn Wrn für -, -,, Ergib ich folgnd Glichngym: mi dn öngn : 9 D C B A D C B A Ergbni:

7 7. Schri: Rückranformaion { } in Z Afgab Brchnn Si nr Vrwnng d alngaz di Urbildfnkion f z a 8 b Z a. Schri: Z d Nnnr von Di Nlllln d Nnnr ind: infach, - infach D.h., i: 8. Schri: akoriirng von : mi nd.schri: alng alngaz Ergbni:

8 Z b. Schri: Z d Nnnr von Di Nlllln d Nnnr ind: Paar konjgir komplxr Nlllln j, -j doppl D.h., i:. Schri: akoriirng von : mi in nd co.schri: alng Addiionhorm co in co co in in in co in alngaz co co in co, in co in Wir brchnn nn di bidn Tilingral dir Glichng: I I I I in co, vdv v co Sbiion : v in Rückbiion : I Sbiion : v cov dv v in v Rückbiion : I in in dv co dv Dami rhaln wir da Ergbni: co in in in co in in in in Z Afgab 7 Wlch nkionn ind gfal wordn, m folgnd aplac-tranformir z rhaln: 9 9 8

9 öng: Z d Nnnr rchführn, d.h. zr ind di Nlllln d Nnnr z bimmn! Nlllln: -, Paar konjgir komplxr Nlllln j, -j Di rll Z d Nnnr la folglich: 9 9 j j 9 akoriirng von, d.h. wir zrlgn o in akorn, da wir von jdm akor di Urbildfnkion knnn bzw. rmiln könnn: Hinwi: Di akorn olln wnn ich m gbrochn raional nkionn handl, ch gbrochn raional nkionn in! Bimmng dr Urbildfnkionn dr inzlnn akorn, co in 9, Nach alngaz gil: Prok im Bildbrich nprich dr alng im Urbildbrich Ergbni: olgnd nkionn ind gfal wordn: f nd f co in, d.h. f*f 9 9 Z Afgab 8 Ggbn Si für >. a Unrchn Si da Grnzvrhaln dr Urbildfnkion f, d.h. bimmn Si : lim f. b Warm dürfn Si zr Brchnng d Vrhaln von f für ggn da Gz lim f lim nich anwndn? c Brchnn Si lim f af gign Wi! Z a a Grnzwraz Saz übr dn Zammnhang von Urbild- nd Bildfnkion bi dr aplac-tranformaion gil: 9

10 lim f lim lim lim Z b Vorich hir! Dr Grnzwr lim f für im Zibrich, darf nich al Grnzwr von für brchn wrdn. Di würd lifrn, dr Grnzwr i jdoch, wnn man ihn übr di Rückranformir archn, nndlich. Grnd: Da bi dr aplac-tranformaion z bildnd Ingral konvrgir nr für >, d.h. di aplac-tranformaion i nr für di -Wr gülig. Dahr kann dr Grnzübrgang für nich rchgführ wrdn, d.h. hir gil nich: lim f lim, da nr für > dfinir i. Z c Wir führn dhalb znäch in Rückranformaion von in dn Zibrich rch übr PBZ nd bildn anchlißnd dn Grnzwr von f. Rückranformaion übr PBZ: - E gil:. - Wir wähln folgndn Anaz für di PB: A B - Di Glichng lifr nach Mliplikaion mi dm Hapnnnr: A B Szn wir - bzw. in di Glichng in, o rhaln wir A. nd B,. Dami i... Di Originalfnkion f ha folglich di Gal: f,, i nr für > nd >-, alo nr für > dfinir. Grnzwr: lim f lim,,. Z Afgab 9 Brchnn Si di öng yx folgndr Diffrnialglichng mil aplac-tranformaion!

11 y ' x y x x, Anfangbdingng: y. Schri: Wir ranformirn di Diffrnialglichng rch T in dn Bildbrich:. Schri: Wir lön di Glichng * nach Y af. Wgn y rgib ich:. Schri: Wir ranformirn Y zrück in dn Urbildbrich. Daz vrwndn wir hir di PBZ. Prob: Man brchn y x nd übrprüf, ob di Diffrnialglichng für nr yx nd y x rfüll i.

12 Z Afgab Brchnn Si di öng yx folgndr Diffrnialglichng mil aplac-tranformaion! x y' ' x y' x y x Anfangbdingng: y y. Schri: Wir ranformirn di Diffrnialglichng rch T in dn Bildbrich:. Schri: Wir lön di Glichng * nach Y af. Wgn y y rgib ich:. Schri: Wir ranformirn Y zrück in dn Urbildbrich. Daz vrwndn wir hir di PBZ. Nlllln d Nnnr: - infach nd - doppl

13 Brchnng von A,B,C: Einzn dr Wr -, -, rgib da Glichngym: Di öng i A, BC -. Dara folg: Rückranformaion: Prob: Man brchn y x nd y x nd übrprüf, ob di Diffrnialglichng für nr yx, y x nd y x rfüll i. Z Afgab In inm R-Sromkri mi inm Ohmchn Widrand R nd inr Inkiviä gnüg di Sromärk ii inr linarn Diffrnialglichng. Ordnng: di Ri Dabi i di von aßn anglg Spannng. Bimmn Si nr dr Anfangbdingng i dn zilichn Vrlaf dr Sromärk ii a bi konanr Spannng con. o

14 b bi inr anglgn Wchlpannng o ina a> Skizzirn Si di öng i in Afgab a in inm Koordinanym! Z a di aplac-tranformaion dr Dgl. Ri i in dn Bildbrich: I-i RI. Wgn i rgib ich di Glichng: I RI Aflön dir Glichng nach I: o o I R R / Rückranformaion übr PBZ odr alng rgib di öng dr Dgl.: o i R Skizz: R Z b di aplac-tranformaion dr Dgl. Ri in a i in dn Bildbrich: a I-i RI. Wgn i rgib ich di Glichng: a a I RI a Aflön dir Glichng nach I: oa o a I a R a R / Rückranformaion übr PBZ odr alng rgib di öng dr Dgl.: oa R i in a co a a R a Hinwi: alng i wa infachr! R

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