Lösungen zu Übungs-Blatt 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Achim Hauer
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1 Löungn zu Übung-Bla Wahrchinlichkirchnung Mar M Höhr und Angwand Mahmaik rof. Dr. B. Grabowki Zu Aufgab Zu a Wlch dr folgndn unkionn i kin Dichfunkion? Kruzn Si di richign Anworn an und bgründn Si Ihr Anwor! Löung: Ein Dich mu folgnd Bdingungn rfülln: f d f R. und. rfülln di bidn Bdingungn, ind dami Dichn. i kin Dich, wil di läch unr dr Dich unglich i! 4. i kin Dich, wil f für manch ngaiv i! Zu b Wlch dr folgndn unkionn i kin Vrilungfunkion? Kruzn Si di richign Anworn an und bgründn Si Ihr Anwor! Löung: Ein Vrilungfunkion mu folgnd Bdingungn rfülln: i monoon wachnd R lim, lim

2 Löungn zu Übung-Bla Wahrchinlichkirchnung Mar M Höhr und Angwand Mahmaik rof. Dr. B. Grabowki. rfüll all Bdingungn..,. und 5. ind kin Vrilungfunkionn, wil nich monoon wachnd. 4. i kin Vrilungfunkion, wil auch ngaiv. Zu Aufgab Si in ig Zufallgröß mi dr Vrilungfunkion und dr Dichfunkion f. Slln Si folgnd Wahrchinlichkin grafich al läch unr dr Dichfunkion f dar: b, - a, -a, a b, a < b. Löung:

3 Löungn zu Übung-Bla Wahrchinlichkirchnung Mar M Höhr und Angwand Mahmaik rof. Dr. B. Grabowki Zu Aufgab Si f folgnd unkion: µ f für für < µ, Zign Si, da wnn f in Dichfunkion i gln mu: µ. Löung: ür in Dichfunkion mu gln: f d! µ E gil µ f d d µ Zu Aufgab 4 Di zufällig Zi, di in S-Bahn vrpä an inr Saion inriff, lig zwichn und Minun. Di Dichfunkion i in folgndr Skizz ggbn. Brchnn Si a di Vrilungfunkion von! b dn Anil allr äll, in dnn di Vrpäung in Minu übrchri! Slln Si din Anil grafich dar! c di Wahrchinlichki dafür, da di Vrpäung Minun übrchri, wnn man bri in Minu Vrpäung auf di S-Bahn gwar ha! Slln Si di Wahrchinlichki grafich dar! d Wlch Vrpäungzi wird in % allr äll übrchrin? Wi groß i di Vrpäung im Mil? Löung: Zu a Di Vrilungfunkion i dfinir al: f u du. fal E i ih Bild f und folglich gil für : on

4 Löungn zu Übung-Bla Wahrchinlichkirchnung Mar M Höhr und Angwand Mahmaik rof. Dr. B. Grabowki 4 < < fall fall fall fall fall du u fall du u f Zu b olgnd Bild zig dn Zuammnhang zwichn Vrilungdich, Vrilungfunkion und Wahrchinlichki: olglich i: Anil allr äll, in dnn di Vrpäung in Minu übrchri - - % 44,44 4 Dr Anil i glich dr blau markirn läch unr dr Dichfunkion f:

5 Löungn zu Übung-Bla Wahrchinlichkirchnung Mar M Höhr und Angwand Mahmaik rof. Dr. B. Grabowki Zu c Di Wahrchinlichki dafür, da di Vrpäung Minun übrchri, wnn man bri in Minu Vrpäung auf di S-Bahn gwar ha i folgnd bding Wahrchinlichki: / Nach Dfiniion dr bdingn Wahrchinlichki und rhaln wir: / / 5% 4 / 4 Di Wahrchinlichki i glich dm Anil dr blau grichln läch an dr gamn graun läch, ih folgnd Bild: Zu d Wlch Vrpäungzi wird in % allr äll übrchrin? Wir brchnn da für wlch gil:, ih Skizz. Offnichlich i:,,, 6, / ± komm nich in rag Wil., ±,846 Dmzufolg i di Löung: -,846,54 Minun In % allr äll mu man längr al,54 Minun warn., 5

6 Löungn zu Übung-Bla Wahrchinlichkirchnung Mar M Höhr und Angwand Mahmaik rof. Dr. B. Grabowki Zu Wi groß i di Vrpäung im Mil? Wir brchnn dn Erwarungwr E von. E i: E f d d 7 D.h., man mu im Schni Minu auf di S-Bahn warn. Zu Aufgab 5 Di Vrilungfunkion dr zufällign Enladzi in Sundn in Akku vom Typ EC ha folgnd Gal: Si für < für < di Vrilungfunkion inr Zufallgröß. für Löung: Zu a Skizzirn Si di Vrilungfunkion! Zu b Brchnn und kizzirn Si di Dichfunkion f! E i f. Dmzufolg rhaln wir: Skizz: fall < f - on 6

7 Löungn zu Übung-Bla Wahrchinlichkirchnung Mar M Höhr und Angwand Mahmaik rof. Dr. B. Grabowki Zu c Wivil % allr Akku d Typ EC nladn ich nach mindn,5h?,5,5. D.h., 5% allr Akku ind pän nach,5 h nladn. Zu d Brchnn Si di Enladzi, di 5% allr Akku übrchrin! Guch i da mi:,5. Offnichlich i,5 h. Zu Brchnn Si di milr Enladzi E und dn Mdian von! E f d d,5 h. Dr Mdian i dr Wr für dn gil:,5.,5 -,5,5h. Zu f Brchnn Si di Varianz Var! Var E f d,5 d 4 und lln Si di Wahrchinlichkin grafich anhand dr Dichfunkion dar! Zu g Brchnn Si, < <,7,, und <,7,, < <,7,,7,,7-,,6 6 % -, -,, % <,7,, < <,7,6 <,7,,,, Skizz: 7

8 Löungn zu Übung-Bla Wahrchinlichkirchnung Mar M Höhr und Angwand Mahmaik rof. Dr. B. Grabowki Zu Aufgab 6 Bi dr Hrllung von Wlln ind all Wlln Auchuß, di mm odr mhr vom Sollmaß von mm Läng abwichn. Di zufällig chwanknd Läng ha dn Erwarungwr mm und di Sandardabwichung Var höchn? Löung: Dr Auchuanil i: mm,. Wi groß i dr Auchußanil Auchuanil. Da ig i, gil:. Var Wil E i, könnn wir di Tchbychff-Unglichung E ε, ε mi ε anwndn. E gil: Var,, D.h., dr Auchuanil bräg höchn %. Zu Aufgab 7 Si in Zufallgröß mi dr Dichfunkion für f für < Ein olch Zufallgröß bzichn man al ponnialvril mi dm Inniäparamr. Durch Eponnialvrilungn wrdn häufig zufällig Lbndaurn bchribn. a Brchnn Si und kizzirn Si f und di Vrilungfunkion! b Zign Si di ognann Vrgn- bzw. Nichalrungignchaf dr Eponnialvrilung: / di bag, da di Wahrchinlichki, in Ziinrvall dr Läng zu übrlbn unabhängig davon i, ob di Zufallgröß bri di Zi übrlb ha odr ob di Lbndaur obn bginn. Löung: Zu a 8

9 Löungn zu Übung-Bla Wahrchinlichkirchnung Mar M Höhr und Angwand Mahmaik rof. Dr. B. Grabowki u du du u f für für < Skizzn: Zu b /

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