Differenzengleichung (Beispiel) DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 1. Differenzengleichung DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 2

Transkript

1 Diffrnznglichung (Bispil DSV, 5/, Rur, LTD-Systm, Diffrnznglichung DSV, 5/, Rur, LTD-Systm, Linar, zitinvariant, analog Systm => Diffrntialglichungn R τ = RC = b x[n ] a y[n ] x(t C y(t τ dy(t/dt + y(t = x(t x[n-]... x[n-] Linar, zitinvariant, disrt Systm => Diffrnznglichungn b -a dy(t/dt (/ [y(n -y((n- ] = b - a y[n-] b = /( +τ und a = b -. b b b -a -a - y[n-]... T... s b - -a y[n-] icht-rursiv Systm (FIR-/Transvrsalfiltr Rursiv Systm (IIR-Filtr Impulsantwort und Faltungssumm δ[n] n LTD- Systm DSV, 5/, Rur, LTD-Systm, 3 h[n] (Impulsantwort n Faltung (Bispil Dmo: dsvap4_digisys_faltungschritt.m DSV, 5/, Rur, LTD-Systm, 4 Approximation RC-Tifpass. Ordnung, RC=s, f s = Hz: b =.99 und a = Bstimmung dr Ausgangsfolg für blibig Eingangsfolgn xn [ ] = x [ ] δ[ n ] x [n] = x[] δ[n] => x [n] = x[] δ[n-] => y [n] = x[] h[n] y [n] = x[] h[n-] y[] yn [ ] = x [ ] hn [ ] = h [ ] xn [ ]

2 Faltung (Bispil Dmo: dsvap4_digisys_faltung.m DSV, 6/, Hrt, LTD-Systm, 5 RC-Tifpass-Approximation: b =. und a = disrt Zit n = disrt Zit n = disrt Zit n = Signal: Sägzahnimpuls disrt Zit n = Bvor in Signal x intrifft (n < ist dr Ausgang y = (ausals Systm. Ausgangssignal y = Faltung dr Impulsantwort h mit dn ingtroffnn Signaln x. Faltung = Signal spigln, mit Impulsantwort multiplizirn, Trm aufaddirn. H(z: Übrtragungsfuntion (UTF z-transformirt dr Impulsantwort h[n] H(f: Frqunzgang H(f = H(z= jπfts Fourir-Transformirt von h[n] Polaroordinatndarstllung => IH(fI: Amplitudngang mistns in db, d.h. *log (IH(fI grad Funtion, d.h. IH(fI = IH(-fI φ(f: Phasngang ungrad Funtion, d.h. φ(f = -φ(-f φ(f = arctan( Im[H(f] / R[H(f] DSV, 5/, Rur, Filtrntwurf, 6 IH(fI φ(f R[H(f] H(f = H(f H(f Im[H(f] H *(-f = H(-f j ϕ (f -j ϕ (-f wnn h[n] rll: H(f = H*(-f DSV, 5/, Rur, Filtrntwurf, 7 DSV, 5/, Rur, Filtrntwurf, 8 Bdutung ds Amplitudn- und Phasngangs cos(πf n H(f IH(f I cos[πf n +φ(f ] = IH(f I cos[πf (n -Δ ] wobi Zitvrzögrung Δ (f = ϕ π f Linarr Phasngang φ(f = -K f H(f vrzögrt all Frqunzomponntn um Δ=K/π

3 z-transformation DSV, 5/, Rur, LTD-Systm, 9 z-transformation & Impulsantwort DSV, 5/, Rur, LTD-Systm, Laplac-Transformation von : Substitution: nsts X( s = x[] n z s = n= Bispil: n = - 3 h[n] = b -a b a b -a 3 b H(z = z +b z -a b z - +a b z - -a 3 b z -3 Dfinition z-transformation: X ( z = x[ n] z n= n H(z = b ( - a z + a z = b +a z Eignschaft: Zitvrschibung z - X(z Impulsantwort h[n] = b. (-a n Eignschaftn dr z-transformation DSV, 5/, Rur, LTD-Systm, DSV, 5/, Rur, Filtrntwurf, Linarität (! Zitvrschibung (! Faltung (! a x [n] + b x [n] a X (z + b X (z z - X(z * h[n] X(z H(z H(z: Übrtragungsfuntion (UTF z-transformirt dr Impulsantwort h[n] = b x[n ] a y[n ] ultipliation mit Exponntialfolg a n X(z/a ultipliation mit dr Zit Anfangswrtthorm für insitig z-trafo Endwrtthorm für insitig z-trafo n -z dx(z/dz x[ ] = lim X ( z z lim x[ n] = lim ( z X ( z n z

4 z-transformation - Fourirtransformirt DSV, 5/, Rur, LTD-Systm, 3 z-transformation dr s-ebn DSV, 5/, Rur&Hrt, LTD-Systm, 4 Fourir-/Laplac-Transformation: X(f = X(s = jπf Substitution z = s Laplac-/z-Transformation: X(s = X(z = sts s-ebn Im(s z-ebn Im(z Fourir-/z-Transformation: X(f = X(z = jπfts Bispil: Approximation RC-Tifpass. Ordnung mit f g = Hz f s = Hz, b =.6, a = -.94 jπ f s jπ f s / R(s -jπ f s / -jπ f s R(z => b H(f = + a jπ f Imaginär s-achs wird mhrfach auf z-einhitsris abgbildt Lin s-halbbn wird mhrfach in dn z-einhitris abgbildt P-Darstllung dr UTF H(z = b Bispil: (z z z (z p ullstlln dr UTF K - - Pol dr UTF + H(f f = f s / H(z = K (z- (z+j (z-j / z 3 H(f=f s /8 = K s s s 3 / s 4 3 = K DSV, 5/, Rur, LTD-Systm, 5 3 Pol jπfts jπfts s s 4 s 3 z p Abstand Punt P= jπfts auf Einhitsris zu Pol p s ullstll P= jπfts für f=f s /8 f = Vrglich: Laplac-, z- und Fourir-Trafo Dmo: dsvap4_digisys_vrglich.m DSV, 6/, Hrt, LTD-Systm, 6 ontinuirlich in dr s-ebn (Laplac: s = σ+j*ω Im(s = ω R(s = σ zitdisrt in dr z-ebn (z-transformation: z = xp(s*ts Im(z R(z Amplitudngang ntlang dr imaginärn Achs (Fourir ω Amplitudngang ntlang dm Einhistris (Fourir ω/ts

5 Zusammnfassung LTD-Systm DSV, 5/, Rur, LTD-Systm, 7 Korrlation DSV, 6/, Hrt, LTD-Systm, 8 Impulsantwort h[n] Faltungssumm = * h[n] = Diffrnznglichung = x[n ] b x[n ] a y[n ] Anwndungn: X(f X(z Y(f = X(f H(f Y(z = X(z H(z H(f: Frqunzgang H(z: Übrtragungsfuntion H(f = T s n= H(f nf s H(z = Y(z b + b z b z = X(z a z... a z H(f = n=- h[n] -jπf n <= H(f = H(z= jπfts Korrlation DSV, 6/, Hrt, LTD-Systm, 9 Korrlation DSV, 6/, Hrt, LTD-Systm, *