Aufgabe 1: Transformationen 25 Pkt. 1, k 0, a = α ejω 1

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Charlotte Neumann
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1 Aufgab 1: Transformationn Aufgab 1: Transformationn Ggbn si das kausal, diskrt Signal { vk) = a k 0, k < 0 cos Ω 0 k)ɛk), ɛk) = 1, k 0, a = α jω 1, α, Ω 0, Ω 1 R. 1.1 Bstimmn Si di z-transformirt V z) = Z {vk)} in folgndn Schrittn: a) Erstzn Si dn Kosinus-Trm durch äquivalnt Exponntial-Trm. b) Ist in in- odr zwisitig z-transformation durchzuführn? c) Wndn Si in gignt z-transformation an. Wlch Eignschaft dr z-transformation nutzn Si, wnn Si di Transformation in Tilschrittn durchführn? d) Wlchn ROC Konvrgnzgbit) hat V z)? 1.2 Bstimmn Si di DTFT V jω) = DTFT {vk)} in folgndn Schrittn: a) Schränkn Si dn Wrtbrich von α, Ω 0 und Ω 1 ggf. so in, dass di DTFT von vk) xistirt. Bgründn Si Ihr Wahl! b) Litn Si di DTFT von dr z-transformirtn V z) ab. 1.3 Wist di DTFT V jω) in Linin- odr in kontinuirlichs Spktrum auf? Wi rklärn Si Ihr Bobachtung? 1.4 An wlchn Ω lign di Maxima ds Btragsspktrums V jω ) von vk)? Wlch Bdingung ist an Ω 1 zu stlln, damit V jω ) symmtrisch zu Ω = mπ, m Z wird? 1.5 Existirt di DFT V n) dr Läng N = 8 von vk) für α = 1,2 Bgründung)? 1.6 Angnommn, Si möchtn di Brchnung dr DFT V n) Läng N = 8) auf inm Rchnr durchführn. Zunächst soll di DFT dirkt brchnt wrdn. a) Di Drhfaktorn WN kn dr DFT solln in inr Tabll auf dm Rchnr abglgt wrdn. Wlchn Wrt habn Si? b) Wi vil komplx Multiplikationn sind zur Brchnung dr DFT V n) nötig di Drhfaktorn WN kn lign brits vor)? Nun soll V n) mittls inr Radix-2-FFT brchnt wrdn.

2 Aufgab 1: Transformationn c) Aus wi viln Stufn ist di Radix-2-FFT aufgbaut? d) Wi vil komplx Multiplikationn sind zur Brchnung dr Radix-2- FFT V n) nötig di Drhfaktorn WN kn lign brits vor)? Hilfstllung Unndlich gomtrisch Rih: ν=0 q ν = 1 1 q, q < 1

3 Aufgab 2: Abtastthorm Aufgab 2: Abtastthorm Ein kontinuirlichs Signal vt) wist das folgnd Btragsspktrum V j2πf) auf: Vj2 f) f/khz Das Signal soll im Folgndn digitalisirt wrdn. 2.1 Zu wlchr Signalklass rll, komplx,...) ghört vt)? Bgründn Si Ihr Antwort anhand ds Btragsspktrums V j2πf)! 2.2 Wähln Si für dn A/D-Wandlr di nidrigst möglich Abtastrat f A, di in Rkonstruktion von vt) rmöglicht und in Vilfachs von 2kHz ist. Wlchs Abtastthorm ligt Ihrr Wahl zu Grund? 2.3 Skizzirn Si das Btragsspktrum ) V jω ds diskrtn Signals vk) im Brich 2π < Ω < 2π. Wähln Si als Skalntilung für di Frqunzachs Ω = m π, m = 8,...,8. 4 Ggbn ist in idals rlls Filtr mit dm Btragsfrqunzgang ) { H jω 0, Ω < 3π = DTFT {hk)} = 4 1, Ω 3π 4 im Brich 0 Ω < π. 2.4 Zichnn Si dn Btragsfrqunzgang H jω) im Brich 2π < Ω < 2π. Knnzichnn Si vorlignd Symmtrin. Das Signal vk) soll mit hk) gfaltt wrdn Filtrung): yk) = hk) vk). 2.5 Zichnn Si in Blockschaltbild dr Filtrung, indm Si dis aus rlln Faltungsoprationn zusammnstzn. Bachtn Si dabi, wlchr Signalklass jwils hk) und vk) anghörn. Ist das Ausgangssignal yk) rll odr komplx Bgründung)?

4 Aufgab 2: Abtastthorm 2.6 Zichnn Si dn Btragsfrqunzgang Y jω ) im Brich 2π < Ω < 2π. Wlch Symmtrin wist disr auf? Aus dm Signal yk) soll das Signal y k) gbildt wrdn: y k) = yk) j π 2 k. 2.7 Bstimmn Si inn Ausdruck für dn Frqunzgang Y ) jω als Funktion von Y jω). 2.8 Zichnn Si dn Btragsfrqunzgang Y ) jω im Brich 2π < Ω < 2π. Wlch Symmtrin wist disr auf? Aus dm Signal y k) soll das das Signal y k) gbildt wrdn: y k) = R { y k) }. 2.9 Bstimmn Si inn Ausdruck für dn Frqunzgang Y jω ) als Funktion von Y jω ) Zichnn Si dn Btragsfrqunzgang Y jω ) im Brich 2π < Ω < 2π. Wlch Symmtrin wist disr auf? 2.11 Angnommn, das Signal y k) wär di digitalisirt Vrsion ins kontinuirlichn Signals. Ist für disn Fall das Abtastthorm rfüllt Bgründung)? Hilfstllungn Modulationssatz dr z-transformation: Z { jω0k vk) } = V jω 0 z ) Ra-Til inr z-transformirtn: V R) z) = Ra {V z)} := 1 2 [V z) + V z )] = Z {R {vk)}}

5 Aufgab 3: Zustandsraumdarstllung Aufgab 3: Zustandsraumdarstllung Ggbn ist in nichtkanonisch Struktur SFG1 ins kausaln Systms 2. Ordnung mit dri Zustandsspichrn a R): 3.1 Formn Si mit Hilf dr Rchnrgln für SFG di Struktur SFG1 in in äquivalnt kanonisch Struktur SFG2 um, di nur zwi Vrzögrungsglidrn bnötigt! Zichnn Si dn Signalflussgraphn dr Struktur SFG2! 3.2 Bstimmn Si di Zustandsraumdarstllung ZRD) ds kanonischn Systms SFG2! Falls Si SFG2 nicht rmittln konntn, könnn Si auch di ZRD ds nichtkanonischn Systms SFG1 bstimmn!) 3.3 Bstimmn Si aus dr rmittltn ZRD di Übrtragungsfunktion ÜF) ds Systms! 3.4 Bstimmn Si di Pol und Nullstlln ds Systms! Zichnn Si das Pol/Nullstlln-Diagramm für 0 < a < 1! 3.5 Bstimmn Si dn Btrag ds Frqunzgangs ds Systms für di zwi Frqunzn f { } 0, f A fa : Abtastfrqunz) in Abhängigkit von dm Paramtr 2 0 < a < 1. Ist das Systm in Tifpass, Hochpass, Bandpass odr in Bandsprr? Bgründn Si Ihr Antwort! 3.6 Barbitn Si folgnd Fragn bzw. Aufgabn zu dn Systmignschaftn. Bgründn Si jwils Ihr Antwortn: a) Gbn Si dn Brich für dn Systmparamtr a an, für dn das Systm stabil grnzstabil) ist! b) Ist di Systmstruktur rkursiv odr nichtrkursiv a blibig)? c) Wähln Si dn Wrt ds Paramtrs a so, dass das Systm damit di FIR-Eignschaft aufwist! Gbn Si di hirmit rsultirnd Impulsantwort ds Systms an zichnrisch odr formlmäßig)! Ist das so rzugt spzill Systm rkursiv odr nichtrkursiv? Ist s linarphasig, minimalphasig, invrtirbar?

6 Aufgab 3: Zustandsraumdarstllung d) Wähln Si dn Paramtr a in dm untr a) rmittltn Stabilitätsbrich so, dass das Systm damit di Allpass-Eignschaft aufwist! Wo lign jtzt di Pol und Nullstlln ds Systms? Hilfstllungn Falls Si Tilaufgab 1. und 2. nicht wi gfordrt lösn könnn, könnn Si di ÜF auch mit Hilf dr Rchnrgln für SFG unmittlbar aus dm obn anggbnn SFG ds Systms hrlitn.

7 Aufgab 4: Strukturn Aufgab 4: Strukturn Ggbn ist folgnd Struktur mit jwils zwi Ein- und Ausgängn α R): v 1 k v k 2 ) z -1 y1 k) y k 2 ) 4.1 Ist di Struktur rkursiv odr nichtrkursiv? 4.2 Bstimmn Si zwi Diffrnznglichungn, a) in mit dm Ausgangssignal y 1 k) und bidn Eingangssignaln, b) in mit dm Ausgangssignal y 2 k) und bidn Eingangssignaln. 4.3 Bstimmn Si vir Übrtragungsfunktionn, a) vom 1. Eingang zum 1. Ausgang: H 11 z) = Y 1z) b) vom 2. Eingang zum 1. Ausgang: H 12 z) = Y 1z) c) vom 1. Eingang zum 2. Ausgang: H 21 z) = Y 2z) d) vom 2. Eingang zum 2. Ausgang: H 22 z) = Y 2z) V 1 z) V2 z) 0, V 2 z) V1 z) 0, V 1 z) V2 z) 0, V 2 z) V1 z) 0. Blgn Si im Folgndn bid Eingäng mit dmslbn Eingangssignal: vk) = v 1 k) = v 2 k)! 4.4 Bstimmn Si zwi Übrtragungsfunktionn und drn Systmordnung, a) vom Eingang zum 1. Ausgang: H 1 z) = Y 1z) V z), b) vom Eingang zum 2. Ausgang: H 2 z) = Y 2z) V z). c) Sind H 1 z) und H 2 z) durch di Struktur kanonisch ralisirt? 4.5 Skizzirn Si von bidn Systmn jwils in Ralisirung in Form ins Signalflussgraphs: a) für das Systm H 1 z),

8 Aufgab 4: Strukturn b) für das Systm H 2 z)! 4.6 Bstimmn Si di Impulsantwortn a) h 1 k) und b) h 2 k) dr Tilsystm H 1 z) und H 2 z)! c) Sind si bgrnzt, kausal, rll Bgründung)? 4.7 Untrsuchn Si schrittwis di Eignschaftn von H 1 z) und H 2 z): a) Bstimmn Si Pol- und Nullstlln dr Tilsystm H 1 z) und H 2 z)! b) Für wlch α 0 ist H 1 z) bzw. H 2 z) stabil? c) Für wlch α 0 ist H 1 z) bzw. H 2 z) strng minimal- odr maximalphasig, linarphasig? d) Für wlch α 0 ist H 1 z) bzw. H 2 z) invrtirbar? ) Für wlch α 0 ist di Gruppnlaufzit von H 1 z) bzw. H 2 z) konstant? f) Bstimmn Si dn Btragsfrqunzgang H2 jω ) ds Systms H2 z)! g) Für wlch α R ist H 2 z) in Allpass? h) Bstimmn Si für disn Fall di Phas ϕ 2 Ω) und Gruppnlaufzit τ g,2 Ω) ds Systms!

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