Lösung der Aufgabe 1 :

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Alma Klein
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1 Lösung dr Aufgb : ) x x + y + y 3x + 4y + Fixpunktbdingung: x x, y y x x + y + y 3x + 4y + 0 4x+ y+ 0 3x+ 3y+ 0 6x b) x 6 0-6y - y 6 Fixpunkt ( 6 6 ) Fixgrdn: in dn bidn Gichungn für di Fixpunktbdingungn müsst di gich Grd drgstt wrdn; dis ist nicht dr F. x' x+ y+ 4 3 y' 3x+ 4y+ 4x -y 4x α - : x x' 3x -y -4y - y x' + y' 3 4 y ' 4 c) y m x + q x und y us dr mkhrbbidung instzn: 3 x' + y' m ( x' y') + q 4 4 m 3 m 4 ( + ) y' ( + ) x' + ( q+ ) m y m 4 x' + ( q+ ) + m + m 3+ 4m d) Koffizintnvrgich: m m m m m m m q + und: m q q + q + mq ( + m ) q q 9 m Lösungn m und drus q - 3 m und drus q 6 3 Mn rhät zwi Fixgrdn y x - und y x ) Einstzn von x und y us dr mkhrbbidung in 0 x 6 (y+ ) 0 : ( x' y') 6 ( x' + y' + ) 0 Mit Hif ds TI voyg 00 rhät mn di Lösung 6 x y 0 odr x' y'.hyprb mit, b 6, symmtrisch zu bidn 0 4 Achsn, mit dn Asymptotn y ± 6 x, Brnnpunkt F ( ) und F ( ).

Lösung dr Aufgb : ) ichtungsfd dr Diffrntigichung y y 6 sin(x) x y 0 3 - -6,9-8,6-8, 0 0 -,9-3,6-3, -,6,9-8,6,3-0 -,9-3,6 6,3-3 -6,9-8,6,3-4 0 -,9-3,6 6,3-3,,4,3 b) y + y 0 dy y dx Sprtion dr Vribn:

2 Lösung dr Aufgb : ) ichtungsfd dr Diffrntigichung y y 6 sin(x) x y ,9-8,6-8, 0 0 -,9-3,6-3, -,6,9-8,6,3-0 -,9-3,6 6,3-3 -6,9-8,6, ,9-3,6 6,3-3,,4,3 b) y + y 0 dy y dx Sprtion dr Vribn: n y x + C dy y dx Intgrtion dy dx y y x+c K x c) Vrition dr Konstntn: y K(x) x y K (x) x + K(x) (-) x ingstzt in di inhomogn Diffrntigichung K (x) x + K(x) (-) x + K(x) x - 6 sin(x) K (x) 6 x sin(x) x K(x) 6 sin( x) dx in( ) x ( Prti Intgrtion: x s x dx cos(x)) ( x cos( x) dx) f(x) x, f (x) g (x)sin(x), g(x) -cos(x) x co s(x) +( x sin(x) x sin( x) dx) x sin( x ) x x dx cos( x ) in( x ) x + s sin( x) dx x

3 ( ) 6 x x sin( x) dx cos( x) sin( x) +C As o K(x) x (cos(x) sin(x)) + C und schiss ich y K(x) x cos(x) - sin(x) + C x d) Für y(0) 0 rgibt sich 0 cos(0) - sin(0) + C 0 + C C - Mit dr Anfngsbdingung y(0) 0 rhät mn di Lösung y cos(x) - sin(x) x Lösung dr Aufgb 3 : ( i z) ( + i z) ) f(z) w und f( z) w zi z+ i i z Fixpunktbdingung: z ( zi) zi z - i z iz z + i z 0 Fixpunkt z z i [ Porform (cos i sin ) ] i [ Porform (cos i sin 00...) ] b) w(z-i) - iz (w + i) z + i z + wi w i mit z w+ i w i + zi zi w und z vrtuschn: w f ( z) mkhrbbi dung mit w z+ i z i D \ { i }, W \ { i } c) Achs dr w-ebn: w λ; w λ, so ht di r Achs di Gichung w - w 0 odr w w. Stzt mn di mkhrfunktion in dis Gichung in, so rhät mn ( iz) ( + iz) z i z+ i ( iz) ( z + i) ( + iz) ( z i) z+ i izz i z z i+ izz i z 0 izz i z z Einhitskris in dr z-ebn Di Punkt ds Einhitskriss in dr z-ebn wrdn durch di ggbn Abbidung uf di r Achs dr w-ebn bgbidt.

4 d) Grd g: z λi und z λi, so z + z z und z ingstzt : + wi + wi ( w+ i) ( w i) w+ i w i ( + wi)( w i) + ( wi)( w+ i) ( w+ i)( w i ) w 4i+ wwi+ w+ w+ 4i wwi+ w ww+ 4iw 4iw 8 4w + 4w ww + 4iw 4iw 8 ½ ww+ ( i) w+ ( + i) w+ 4 0 Mit w u + iv fogt u + v + (-i)(u+iv) + (+i)(u-iv) u + v + u + iv - iu + v + u - iv + iu + v u + v + 4u + 4v (u+) + (v+) 4 Kris mit Mittpunkt M(- -) und dius. z-ebn w-ebn Atrntiv zur Lösung dr Aufgb 3d) mit dr Prmtrgichung dr Grdn: Grd: z - + λi z instzn in di Abbidungsgichung w ( i ( + λi) (( λ + ) + i) ( i ( λ )) ( λ i λ ++ i i λ ) i λ ( + λ i) i ( + i ( λ)) ( i ( λ)) + ( λ) λ λ+ 4 λ Mit w u + i v fogt: u und v λ λ+ λ λ+ Löst mn bid Gichungn nch λ uf, so rgibt sich: λ, u u ± 4u bzw. λ, v v ± 4v u v + Gichstzn dr bidn Ergbniss und Aufösn nch v ifrt v ± u 4u +, Qudrirn (v + ) u 4u +u + 4u + 4 (u + ) + (v + ) 4

5 Lösung dr Aufgb 4: ) Kontinuitätsgichung: v A π ( D / ) D v v. ( D / ) D s A v A v v v A π Brnoui-Gichung für h konst.: p + ρ v p + ρ v ( v ) 0kP 8P 9.kP p p + ρ v b) Dr Druck sinkt um knpp 0%. Dis knn zu inr Abösung dr Abgrung führn (Thrombosgfhr). c) Aktivität zu Bginn: 0 A g g Aktivität nch. Stundn: λ t n A( t) A0 mit λ T/ n (.h /h ) A (.h) A Dmit rgibt sich in Butvoumn V d) N Mg + +ν m Litr.39Litr Lösung dr Aufgb : ) Impdnz Z dr Wchsstromschtung: Z mit ω π f ω C + Z C + Î Û mit 30Ω und Z 3Ω rgibt sich Z 60. 9Ω C Z C b) tn Δϕ Δϕ 60. Di Spnnung hinkt dm Strom um 60. nch. Û L Û c) Für inn Hochpss grift mn di Spnnung m ohmschn Widrstnd b. Für di Ausgngsspnnung git dnn in Abhängigkit von dr Eingngsspnnung : I Z + + ω C ω C Für shr gross Frqunzn wird, für shr kin Frqunzn wird 0

6 (Hochpss). d) ( t) + C Q Q ˆ sin(ω t) + I + Q& C C Q& Q ˆ + sin( ω t) C Q ) homogn Gichung: Q & + 0 C gmin Lösung (Bwis durch Einstzn odr Hritung wi in b): Q t C ( t) Q * (Intgrtionskonstnt: Q*) Q inh t sin( t) + B cos( ω t) f) Anstz: () A ω (ntspricht Lösung in c) Lösung dr Aufgb 6: ) Drhmomntngichgwicht: M inks M rchts m g sin(90 ) FSi sin( α) mit dm Wink α zwischn Brück und Si Für α git: α + (90 ) 80 α 4 +. m g cos FSi sin(4 + ) m g cos F Si 9.06kN sin(4 + ) m b) Drhmomnt dr Wz: M F 3 r. 0 Nm D Wz Si r c) Aussr dm Drhmomntngichgwicht muss uch in Kräftgichgwicht hrrschn, r r r und dmit FD ( FG + FS ). M d) W inkbschunigung: α Träghitsmomnt bi Achs durch Schwrpunkt: Stb, S m Träghitsmomnt bi Achs durch Drhpunkt D (Stz von Stinr): 3 Stb, D m + m.6 0 kg m Dmit rgibt sich di Winkgschwindigkit:

7 m g cos M α Stb 6.0 inks, D Stb, D s

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