Übungsbuch Signale und Systeme

Transkript

1 Übungsbuch Signale und Systeme

2

3 Ottmar Beucher Übungsbuch Signale und Systeme Lösungsband zum Lehrbuch Signale und Systeme Theorie, Simulation, Anwendung 123

4 Prof. Dr. Ottmar Beucher Hochschule Karlsruhe - Technik und Wirtschaft Fakultät Maschinenbau und Mechatronik Moltkestr Karlsruhe Deutschland ottmar.beucher@hs-karlsruhe.de Zusatzmaterialien finden Sie unter ISBN e-isbn DOI / Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (

5 Vorwort Der vorliegende Band enthält die Lösungen der im Buch Signale und Systeme Theorie, Simulation, Anwendung vorgeschlagenen Übungsaufgaben. Die Bearbeitung der Übungsaufgaben ist für das Verständnis der im Lehrbuch besprochenen Begriffe und Methoden essentiell. Viele Aufgaben, insbesondere die zur stochastischen Signaltheorie und ihrer Anwendungen, sind unter Einsatz von MATLAB zu lösen. Die Bearbeitung der Aufgaben mit MATLAB ist sehr zu empfehlen, da nur ein korrektes Verständnis der Zusammenhänge eine Umsetzung in korrekte lauffähige Programme erlaubt. Insofern ist MATLAB auch ein gutes Werkzeug der Selbstkontrolle beim Erlernen des Stoffes. Um dem Leser eine Kontrolle seiner bearbeiteten Aufgaben zu ermöglichen, wurden die Lösungen zu den Übungsaufgaben ausführlich dokumentiert. Jedoch war aufgrund der Vielzahl der Aufgaben eine Auslagerung der Lösungen aus dem Lehrbuch in einen eigenen Lösungsband nötig geworden, um den Umfang des Lehrbuchs in einem vertretbaren Maß zu halten. Aus Gründen der besseren Lesbarkeit des Lösungsbandes und der bequemeren Zuordnung der Lösungen zu den Übungen, werden die Aufgabenstellungen des Lehrbuchs im vorliegenden Werk wiederholt. Dies erhöht nebenbei die Eigenständigkeit des Lösungsbandes und macht das Buch auch ohne das zugehörige Lehrbuch prinzipiell nutzbar. Danksagungen: Mein besonderer Dank gilt Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Birgit Kollmar vom Springer-Verlag, die dieses Buch verlagsseitig betreut und dessen Veröffentlichung unterstützt haben. Landau in der Pfalz im Mai 2011 O. Beucher

6 VI Hinweise zum Gebrauch des Buches Hinweise zum Gebrauch des Buches Im Folgenden sind einige Hinweise zusammengestellt, die bestimmte Besonderheiten des Buches erläutern sollen. Vorkenntnisse: Für die Lösungen der Übungen Kenntnisse vorausgesetzt, die den Inhalten des zugehörigen Lehrbuchs Signale und Systeme Theorie, Simulation, Anwendung entsprechen. MATLAB-Vorkenntnisse: Der Leser sollte über Kenntnisse der grundlegenden MATLAB-Befehle verfügen und in der Lage sein, die Funktionsweise von MATLAB-Programmen zu verstehen. Idealerweise sollte er kleinere Programme selbst schreiben können, um die Übungsaufgaben selbstständig bearbeiten zu können. Die geforderten MATLAB-Kenntnisse entsprechen üblichen Einführungen in MATLAB, wie sie etwa im Einführungsbuch MATLAB und Simulink des Autors zu finden sind. Weder im vorliegenden Buch noch im zugehörigen Lehrbuch wird eine Einführung in MATLAB gegeben. Begleitsoftware Alle in dem vorliegenden Lösungsband und in dem zugehörigen Lehrbuch verwendeten und teilweise abgedruckten Programme sind über die elektronische Seite des Buches auf der Homepage des Springer-Verlags verfügbar. Die Namen dieser Programme sind im Text durch Fettdruck hervorgehoben und der abgedruckte MATLAB-Code ist, mit einem grauen Hintergrund unterlegt, vom Fließtext abgesetzt. Die Original-Programme sind natürlich weit ausführlicher kommentiert als in den abgedruckten Auszügen. Um dem Leser das Auffinden der Programme im Text zu erleichtern, ist am Ende des Buches ein Begleitsoftwareindex abgedruckt. Wichtiger Hinweis zu den Simulink-Systemen: Die Simulink-Systeme der Begleitsoftware werden im Allgemeinen durch einen im Blockschaltbild integrierten Initialisierungsbutton initialisiert. Durch Drücken des Buttons wird ein zugehöriges MATLAB-Skript aufgerufen, welches die von Simulink-System benötigten Variablen im MATLAB- Workspace definiert. Anschließend kann die Simulation gestartet werden. Es empfiehlt sich, Änderungen der Initialisierungsvariablen nur im Workspace vorzunehmen, nicht jedoch im Initialisierungsskript, um bei einer späteren erneuten Simulation die gleichen Voraussetzungen vorzufinden.

7 Lösungsband zu Signale und Systeme VII Referenztabellen Der Lösungsband enthält zwei Referenztabellen, die als Hilfestellung bei der Bearbeitung der Übungen gedacht sind. Zu Beginn des Buches ist eine Tabelle integriert, in der die wichtigsten Zusammenhänge aus dem Lehrbuch Signale und Systeme Theorie, Simulation, Anwendung zusammengefasst und komprimiert dargestellt werden. Am Ende des Buches findet man ferner eine Tabelle, in der die Übungen den darin behandelten Sachthemen zugeordnet sind. Übungen zu einem interessierenden Themengebiet können so leichter ausgewählt werden. Mathematische Formeln und Gleichungen Mathematische Formeln und Gleichungen sind entsprechend ihrer Seite nummeriert. So bedeutet die Referenz auf Gleichung (80.2), dass die entsprechende Gleichung auf der Seite 80 zu finden ist und dort die zweite (nummerierte) Gleichung ist. Marginalien Besonders schwierige Übungsaufgaben sind am Rand wie nebenstehend mit einem besonderen Symbol gekennzeichnet. Das Symbol weist auf besondere Herausforderungen bei der Lösung der Aufgabe hin.

8

9 Signale und Systeme - Kurzreferenz In den nachfolgenden Tabellen werden einige wichtige Zusammenhänge aus dem Lehrbuch Signale und Systeme Theorie, Simulation, Anwendung zusammengefasst und komprimiert dargestellt. Darstellungsformen für zeitkontinuierliche Systeme LTI-Systeme S im Zeitbereich LTI-Systeme S im Bildbereich LTI-Systeme S im Frequenzbereich Differentialgleichungen N d k M a k k=0 dt k y(t) = d j b j j=0 dt j x(t) Übertragungsfunktion im Bildbereich Mj=0 b j s j H(s) = Nk=0 a k s k Übertragungsfunktion im Bildbereich falls System stabil H(jω) = H(s) s=jω Zustandsraumdarstellungen d x(t) = A x(t) + B u(t), dt y(t) = C x(t) + D u(t) s X(s) = A X(s) + B U(s), Y (s) = C X(s) + D U(s) Eindeutige Charakterisierung durch die Impulsantwort h(t) y(t) = x(t) h(t) := x(τ)h(t τ) dτ Eindeutige Charakterisierung durch die Übertragungsfunktion (x h)(t) = (h x)(t) H(s) X(s) Y (s) = H(s) X(s) Eindeutige Charakterisierung durch Frequenzgang und Signalspektren Y (jω) = H(jω) X(jω) Darstellungsformen für zeitdiskrete Systeme LTI-Systeme S im Zeitbereich LTI-Systeme S im Bildbereich LTI-Systeme S im Frequenzbereich Differenzengleichungen N M a k y nk = b j x nj, k=0 j=0 mit a k, b j C Übertragungsfunktion im Bildbereich Mj=0 b j z j H(z) = Nk=0 a k z k = Y (z) X(z) Übertragungsfunktion im Bildbereich, falls System stabil H(Ω) = H(z) z=e jω Ω [π, π]. Zustandsraumdarstellungen x n+1 = A xn + B un yn = C xn + D un z X(z) = A X(z) + B U(z) Y (z) = C X(z) + D U(z) Eindeutige Charakterisierung durch die Impulsantwort hn yn = hn xn = x k h nk k= Eindeutige Charakterisierung durch die Übertragungsfunktion (hn xn) n Z Z H(z) X(z) Y (z) = H(z) X(z) Eindeutige Charakterisierung durch Frequenzgang und Signalspektren, normierte Frequenz Ω = 2π f Y (Ω) = H(Ω) X(Ω) fa = ω, fa = 1 fa T

10 X Signale und Systeme - Kurzreferenz Spezielle zeitkontinuierliche Signale Der Dirac-Impuls δ 0 (t) Signale im Zeitbereich Signale im Bildbereich Signale im Frequenzbereich Ausblendeigenschaft, Faltungseigenschaft, Translationseigenschaft: δ 0 (x(t)) = δ 0 (t)x(t) dt 1(ω) = 1 ω R = x(0) δ 0 (t) x(t) = x(t τ) τ=0 = x(t) δ 0 (t t 0 ) x(t) = x(t t 0 ) e st 0 X(s) e jωt 0 X(jω) Sprung- und Impulsantwort h(t) H(s) H(jω) t δ 0 (τ) dτ = σ(t), Σ(s) = 1 s Σ(jω) = π δ 0 (ω) j ω d σ(t) = δ 0 (t) dt yσ (t) := S(σ(t)) = d dt yσ (t) = h(t) Yσ(s) = 1 s H(s) Gleichwert und Schwingungen falls Signale kausal (d.h. 0 für t < 0) 1(t) 2πδ 0 (ω) sin(ωt) ω/(s 2 + ω 2 ) jπδ 0 (ω ω 0 ) + jπδ 0 (ω + ω 0 ) cos(ωt) s/(s 2 + ω 2 ) πδ 0 (ω ω 0 ) + πδ 0 (ω + ω 0 ) e jωt = cos(ωt) + j sin(ωt) 1/(s jω) 2πδ 0 (ω ω 0 ) Rechtecksignale und Fensterung 1 t [0, T ], rect T (t) := 0 sonst. 1 e T s s Signalspektren T e jω T 2 sin(ω T 2 ) ω T 2 1 rect T (t + T ) T 2 1 t [ := T T 2, T 2 ], 0 sonst. Zeitfensterung Gibbs Phänomen ( ) ωt sinc 2π Spektrale Verschmierung, Spektralverbreiterung, spektrale Begrenzung, Bandbegrenzung

11 Lösungsband zu Signale und Systeme XI Spezielle zeitdiskrete Signale Signale im Zeitbereich Signale im Bildbereich Signale im Frequenzbereich Der diskrete Impuls δ 0 (n): Faltungseigenschaft, Translationseigenschaft 1 n = 0, δ 0 (n) = 0 n 0, n Z. 1(z) = 1 z C 1(Ω) = 1 Ω [π, π] δn xn = xn δn = xn x nn0 = xn δ nn0 z n 0 X(z) e jωn 0 X(Ω) Sprung- und Impulsantwort hn H(z) H(Ω) n δ 0 (k) = σn k= Σ(z) = z z 1 y (σ) n = S(σn), Yσ (z) = z H(z) z 1 y n (σ) y(σ) n1 = hn Potenzfolgen und diskrete Schwingungen xn = a n e jωn falls Signale kausal (d.h. 0 für n < 0) az az 1 z, z > 1 a z z e jω e jω z, z > 1 = 1 ae jω ae jω z, z > 1, 1 a a > 1 S(e jωn ) = A(ω) e j(ωn+φ) Endliche Folgen DFT/FFT-Spektren (x k ) N1, N die Zahl der Abtastwerte k=0 N1 X DF T (m) = x k e jkωm k=0 Ωm = 2πm, m N 1 N Ω = 2π N rad, endlicher Signalausschnitt ω = 2π NTa = ωa rad/s, N f = 1 = fa Hz NTa N Leakage

12 XII Signale und Systeme - Kurzreferenz Abtastung und Abtasttheorem Abtastung xn = x(n Ta), TaAbtastintervall DTFT-Spektrum X DT F T (Ω) := x k e jωk, Ω [π, π] k= Äquivalente Impulsabtastung x(t) := xn δ(t nta) n= = x(t) δ(t nta) n= Abtastspektrum X(jω) = 1 X(jω) δ 0 (ω kωa) Ta k= Abtastspektrum Spektrale Überlappung X(jω) = 1 X(j(ω kωa)) Ta k= Abtasttheorem fn = f(nta), Ta = 1, fa Abtastrate fa fa > 2fmax Abtastspektrum im Nyquist-Band X(jω) = X(jω) [ ω = 2πf, f fa, + fa ] 2 2 Stochastische Signale Stochastische Prozesse X t, t R Xn, n Z (Zufallsvariablen) Stationäre stochastische Prozesse - Autokorrelationsfunktionen r XX (τ) := E(X t X t+τ ) r XX (n) := E(X k X k+n ) Leistungsdichtespektrum S XX (jω) = r XX (τ)e jωτ dτ Φ XX (Ω) = DT F T (r XX (n)) Ergodischer Fall: S XX (jω) = Ta Φ XX (Ω), Ω = ω Ta, 1 T r XX (τ) = rxx(τ) := lim x(t)x(t + τ) dt T 2T T 1 N r XX (k) = rxx(k) := lim xnx N n+k 2N + 1 n=n Leistung Leistung V(X t ) + E 2 (X t ) r XX (0) 1 S XX (ω) dω 2π bzw. S XX (f) df Periodische Signale - Autokorrelationsfunktion Leistungsdichtespektrum rxx(τ) = c c 2 k cos(kω0 τ) k=1 Sxx(jω) = 2π c 2 k δ0 (ω kω 0 ) k=

13 Lösungsband zu Signale und Systeme XIII Leistung rxx(0) = c ck 2 k=1 Spezialfall harmonische Schwingung mit Amplitude a: rxx(0) = a2 2 Stochastische Signale Leistung 1 S XX (ω) dω 2π S XX (f) df Weißes Rauschen rxx(τ) = γ 2 δ 0 (τ) Leistungsdichtespektrum Sxx(jω) = γ 2 ω R Wiener-Khintchine-Theorem X T (jω) Fourierspektrum der Musterfunktionen im Zeitintervall [T, T ] 1 S XX (jω) = lim E( X T (jω) 2 ) T 2T Übertragungsverhalten Wiener-Lee-Theorem Y t = h(t) X t S XY (jω) = H(jω) S XX (jω) S Y Y (jω) = H(jω) 2 S XX (jω) Φ XY (Ω) = H(Ω) Φ XX (Ω) Φ Y Y (Ω) = H(Ω) 2 Φ XX (Ω)

14

15 Inhaltsverzeichnis Vorwort Hinweise zum Gebrauch des Buches Signale und Systeme - Kurzreferenz V VI IX 1 Lösungen der Übungen zum Kapitel Einführungsbeispiele und grundlegende Begriffe Lösungen der Übungen zum Kapitel Analoge Signale und Systeme mit den Abschnitten: 2.1 Einführungsbeispiele Grundlegende Systemeigenschaften Signale und LTI-Systeme im Zeitbereich Signale und LTI-Systeme im Bildbereich Signale und LTI-Systeme im Frequenzbereich Übertragungseigenschaften analoger LTI-Systeme und Filterentwurf Lösungen der Übungen zum Kapitel Abtastung und Digitalisierung mit den Abschnitten: 3.1 Der Abtastvorgang Das Abtasttheorem Lösungen der Übungen zum Kapitel Digitale Signale und Systeme mit den Abschnitten: 4.1 Einführungsbeispiele Grundlegende Systemeigenschaften Signale und LTI-Systeme im Zeitbereich Signale und LTI-Systeme im Bildbereich Signale und LTI-Systeme im Frequenzbereich Übertragungseigenschaften analoger LTI-Systeme und Filterentwurf

16 XVI Inhaltsverzeichnis 5 Lösungen der Übungen zum Kapitel LTI-Systeme und Stochastische Signale mit den Abschnitten: 5.1 Stochastische Signale Das Leistungsdichtespektrum LTI-Systeme bei stochastischer Erregung Berechnung des Leistungsdichtespektrums Experimente, Beispiele, exemplarische praktische Anwendungen A Symbole und Formelzeichen B Tabellen B.1 Tabelle der Laplace-und Z-Transformationen B.2 Tabelle der wichtigsten Fouriertransformationen B.3 Filterentwurfs(kurz)tabellen analoger und digitaler Filter C Zuordnung der Übungen zu Sachthemen (alphabetisch) Begleitsoftware des Lösungsbandes Verzeichnis der verwendeten MATLAB-Funktionen