Hörsaalübung 4, Analysis II

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. H. P. Kiani Hörsaalübung 4, Analysis II SoSe 6, 3/4. Mai Uneigentliche und parameterabhängige Integrale, Rotationskörper Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 (x c) a dx = (x c)a+ a+ + C a, c R, a (x c) dx = ln x c + C sin(β x)dx = cos(β x)dx = cos dx x e (β x) dx sinhxdx coshxdx +x β β cos(β x) + C β R, β sin(β x) + C = tanx + C = β e(β x) + C = coshx + C = sinhx + C dx = arctanx + C x dx = Artanh x + C x < x +x x dx = arcsinx + C x < dx = Arsinh x + C dx = Arcosh x + C x >

3 Uneigentliche Integrale Bisher betrachtet: unbestimmtes Integral: f(x)dx z.b. x dx = x +C. bestimmtes Integral: b a f(x)dx z.b. beschränkter Integrand, beschränktes Intervall! Frage: Machen die folgende Ausdrücke Sinn? x dx = +. x dx x dx Naheliegend : Grenzwertbildung z dx := lim x z dx = lim x z x z = lim z z + =. 3

4 analog dx := lim x a + a dx = lim x a + x a = lim a + a =. Man sagt im ersten Fall das uneigentliche Integral dx existiert oder a x konvergiert und im zweiten Fall das uneigentliche Integral dx existiert x nicht oder divergiert.. Fall: Stammfunktion berechnen und Grenzwert bilden Wichtiges Beispiel ) vgl. Vorlesung Sei f(x) := x s,s R,I = (a, ),a >. Dann ist f stetig in I und damit auf I lokal integrierbar. Es gilt 4

5 f(x)dx = x s dx = { x s+ s+ s ln x s = Das heißt für a > a x s dx existiert s <. Völlig analog schließt man a x s dx existiert s >. Zur Erinnerung: k= k r { divergiert für r ( entspricht s ) konvergiert für r > ( entspricht s < ) 5

6 Beispiel ) cos(x)dx : = lim z z cos(x)dx = lim z sin(x) z = lim z sin(z) existiert nicht! Beispiel 3:) (Wiederholung einiger Techniken für die Hausaufgaben) I := ln(x +) x 4 dx. f(x) = ln(x +) g (x) = x 4 f (x) = x x + ln(x +) x 4 dx = 3x 3 ln(x +) = ln(x +) 3x x (x +) dx 3x 3 g(x) = x 3 3 x x + dx 6

7 x (x +) = a x + b + cx+d x x + = ax(x +)+b(x +)+(cx+d)x x (x +) = ax(x +)+b(x +)+x (cx+d) = (a+c)x 3 +(b+d)x +ax+b = a = c =,b = d = I = ln(x +) 3x = ln(x +) 3x x x + dx ( ) x arctan(x) +C 7

8 ln(x +) x 4 dx = lim b = lim b b ln(x +) x 4 dx [ = lim ln(x +) b 3x ( ) = lim ln(b +) b 3b π ( (ln(b +)) ) = lim b ( b b + 9b (3b 3 ) ) + ln()+ 3 ( ) b = lim b 9b (b +) ( )] b x arctan(x) π 3 + ln()+ 3 π 6 + ln()+4 π 6 ( ln() 3 + π π 4 ) = ln()+4 π 6 8

9 .Fall: Stammfunktion nicht bekannt, nur Existenz/Konvergenz prüfen Satz (Majoranten- /Minorantenkriterium): Seien f,g : [a, ) R lokal integrierbar. Dann gelten: Majorantenkriterium Ist f(x) g(x) x [a, ) und so konvergiert auch a f(x)dx a g(x) dx konvergent, Minorantenkriterium Ist g(x) f(x) x [a, ) und a g(x) dx divergent, so divergiert auch a f(x)dx 9

10 . Der Satz gilt wieder analog für I = (,b], und im Falle einer isolierten Definitionslücke. Liegen mehrere Problemstellen vor, so wird das Integral zerlegt, so dass man es jeweils nur mit einem Problem zu tun hat. BEISPIELE) x x 3 + dx. Beachte: a x s dx { divergiert für s ) konvergiert für s < )

11 x x6 +x + dx

12 Beispiele Parameterabhängiger Integrale Die Gammafunktion wird für x > definiert als Γ(x) := + e t t x dt. Gammawahrscheinlichkeitsverteilung / Versicherungsmathematik Der Integralsinus wird definiert als Si(x) := x sin(t) t dt. Signalverarbeitung Die Frenelschen Integrale (Optik / Quantenmechanik) S(x) := π x sin(t )dt C(x) := π x cos(t )dt

13 Sei f : R R, f : t f(t) eine hinreichend glatte, für t höchstens exponentiell wachsende (d.h. σ,m R + : f(t) Me σt t > ) Funktion. Die Laplacetransformierte von f wird definiert als L(f)(s) := F(s) := Man schreibt auch f F. e st f(t)dt, s > σ. Mit Hilfe der Laplacetransformation läßt sich die Lösung von Differentialgleichungen auf die Lösung algebraischer Gleichungen zurück führen. Beispiel: s. unten. Alle oben aufgeführten Integrale hängen außer von der Integrationsvariablen noch von einer weiteren Unbekannten (einem Parameter) ab. Solche Integrale nennt man parameterabhängige Integrale. FRAGE: Wie verändern sich die Werte solcher Integrale, wenn man an dem Parameter wackelt? Wie sieht also die Ableitung nach dem Parameter aus? 3

14 Leibniz Regel : d dx b(x) a(x) f(x,t)dt = b(x) a(x) Beispiel : Laplace-Transformierte von f(t) = L(f)(s) := F(s) := x f(x,t)dt + b (x)f(x,b(x)) a (x)f(x,a(x)) e st f(t)dt, s > σ. { t < e at t a R,a Für welche s existiert L(f)(s)? Welche Formel erhält man für F (s)? F(s) := F(s) = lim b e st e at dt = e (s a)t (s a) b = s a e st+at dt = e (s a)t dt ( ) lim b e (s a)b e 4

15 F (s) = d ds F(s) = d ds e (a s)t dt = d ds (e st e at )dt F (s) = te st e at dt = ( te at )e st dt Partielle Integration: F te (s a)t ] b (s) = lim b (s a) e (s a)t ] b = lim b ( (s a)) b lim ( e (s a)t b (s a) )dt = (s α) 5

16 Bemerkungen: i) Das Ergebnis hätten wir einfacher haben können, da F(s) bereits integriert vorlag. Hausaufgabe: f nicht konkret bekannt! ii) Unser Ergebnis lautet: e αt s α = ( t)eαt ( ) = s α (s α) Zur Hausaufgabe b) Einfach Ableitungsregel verwenden. Ergebnisse sind Integrale! Man zeigt praktisch: f(t) F(s) = t f(t) F (s). 6

17 Beispiel : noch ein Mal Leibniz-Regel d dx b(x) a(x) f(x,t)dt = b(x) a(x) x f(x,t)dt + b (x)f(x,b(x)) a (x)f(x,a(x)) Also erhält man zum Beispiel für F(x) = +x lnx xe t dt F (x) = d dx +x lnx xe t dt = +x lnx d dx (xet )dt + (+x ) xe +x (ln(x)) xe ln(x) = +x lnx e t dt + x xe +x x x x = e +x x + x e +x x Bemerkung: Hier hätte man auch erst integrieren und dann ableiten können. 7

18 3 z=sin(x pi/) Mantelflächen von Rotationskörpern Betrachte Körper K dessen Mantelfläche durch Rotation des Graphens einer Funktion f : [a,b] R + {}, f(x) = y um die x-achse entsteht. Schneide den Körper mit Ebenen parallel zur y z Ebene und approximiere Mantelfläche Mantelflächen von Kegelstümpfen. 8

19 Exkurs: Mantelflächen von Kegelstümpfen l h l r 5 l =l l h r Für die Mantelfläche M K eines Kegels gilt: M K πl = πr πl = r l = M k = πr l. Für den Kegelstumpf gilt M = πr l πr l. Strahlensätze: r r = l l oder r l = r l und damit für die Mantelfläche des Kegelstumpfes: M = πr l πr l = πr l +πr l πr l πr l = πl (r +r ) πr l πr l = π(l l )(r + r ) = πl(r + r ). 9

20 Für unseren Rotationskörper gilt (Beweisskizze) x i- x i

21 li = (x i x i ) +(f(x i ) f(x i )) ( = (x i x i ) [+ )] (f(x i ) f(x i ) x i x i = (x i x i )) ( +(f (ξ i )) ) M n i= π(f(x i )+f(x i )) +(f (ξ i )) (x i x i ) Für Feinheit der Zerlegung im Falle der Konvergenz: M = b a πf(x) +(f (x)) dx

22 BEISPIEL: Kugel x +y +z = r. Entsteht bei Rotation der oberen Hälfte des Kreises x +y = r f(x) = r x, r x r ( ( ) f (x) = (r x ) ) = (r x ) (r x ) = x r x +(f (x)) = + x r x = r r x M = b a πf(x) +(f (x)) dx M = r r π r x r r x dx

23 Tipp zur Hausaufgabe : Volumen eines Rotationskörpers: Betrachte wieder Körper K der durch Rotation des Graphens einer Funktion f : [a,b] R + {}, f(x) = y um die x-achse entsteht. 3 z=sin(x pi/)+.5 3 z=sin(x pi/) Abbildung : Rotation von f(x) = sin(x π/)+.5 um die x-achse Schneide den Körper mit Ebenen parallel zur y z Ebene. Es 3

24 entstehen Kreisscheiben mit den Flächeninhalten Q(x) = π (f(x)) Zur Volumenberechnung : Betrachte Zerlegung von [a, b] in Teilintervalle Z : a = x < x < x < x n = b. Approximiere den Körper, der zwischen der Mantelfläche und der x- Achse entsteht, durch Zylinderscheiben parallel zur y z Ebene, mit dem Radius f(x i ) und der Höhe x i x i. Sie können auch Kegelstümpfe verwenden. Das wird ein wenig aufwendiger als mit Zylinderscheiben. 4