AUTOGRAPHIE. Komplexe Analysis, Fourier- und Laplace- Transformation für Elektroingenieure

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1 AUTOGRAPHIE Komplexe Analysis, Fourier- und Laplace- Transformation für Elektroingenieure CHRISTIAN BLATTER Nachgeführt Ende Januar 2006 / cbl.

2 i Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Funktionen Komplexe Zahlen, erneut Die Riemannsche Zahlenkugel Komplexwertige Funktionen Einige elementare Funktionen Analytische Funktionen Ableitung nach einer komplexen Variablen Begriff der analytischen Funktion Die CR-Differentialgleichungen Winkeltreue Konforme Abbildungen von Gebieten Der Satz von Cauchy I Komplexe Linienintegrale Der Satz von Cauchy für konvexe Gebiete Anwendungen der Integralformel Der Satz von Cauchy, II Die allgemeine Integralformel Der allgemeine Satz von Cauchy Laurent-Entwicklung Isolierte Singularitäten Der Residuensatz Fourier-Reihen Definitionen Beispiele Theoretische Ergänzungen

3 ii Inhaltsverzeichnis 6 Fourier-Transformation Faltung FT: Definition und Grundeigenschaften Die Umkehrformel Bandbegrenzte Signale Diskrete und schnelle FT Algebra Diskretisierung Schnelle Fourier-Transformation Laplace-Transformation Basics Rechenregeln und Beispiele Differentialgleichungen Die Übertragungsfunktion Inversion Symbole und Bezeichnungen Sachverzeichnis

4 219 Symbole und Bezeichnungen C 1, C 2 z, z 3 Re, Im 3 arg 4, Arg 5 C 5 R, C 6 S 2 7 σ : C S 2 7 T c, S a 9 D, D 15 C.z 17 wrz n 23 pv n 24 exp 24 log 26, Log 27 pv a z 28 f, ν( z) 34 O(Ω) 36 D ρ 38 b α (z) 39 J f 44 P 54, H 55 γ 62 γ 64 a(γ), e(γ) 65 sp 65 σ(a, b) 66 Z(Ω) 67, Z 0 (Ω) 92 n(γ, a) 68 Ω 91 G 94 sinc 106 M(Ω) 108 res ( f ) a 111 T h 125 e ω 125 f, g 128 f 129 f 130 s N 132 ζ(s) 137 J(t) 137 D N 144 s N, DN 145 a. b., f g A 151 [N] 170 y 170 χ n, X 170 w, w N 171 W, W N z 179 B, B N 180 x 183 E 186 α f 186 Lf H 189 q ε 206

5 221 Sachverzeichnis Abbildung 10, 11 abgeschlossene komplexe Ebene 6 abgeschlossene reelle Achse 6 absoluter Betrag 3 Abtast-Theorem 166 Aliasing 168 allgemeine Integralformel 92 allgemeiner Satz von Cauchy 95 analytisch 17 Anfangspunkt 14, 65 Argument 3 Aussengebiet 78 B-Spline 152 bandbegrenzt 166, 175 Besselsche Funktion 214 Bildbereich 188 Bildfunktion 188 Bildpunkt 10 bit reversal 181 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 18, 41 charakteristische Funktion 151 darstellen (Reihe) 127 Deltastoss 206 DFT 169 Dirichletscher Kern 144 Doetsch-Symbol 188 dreifach transitiv 31 Einschwingvorgang 186 Eindeutigkeitssatz (Laurent- Entwicklung) 100 einfach geschlossen 78 einfach zusammenhängend 95 einfacher Pol 104 eingeschnittene Ebene 5 Einheitsball 15 Einheitskreis 15 Einschaltvorgang 186 Endpunkt 14, 65 erzeugender Zyklus 97 Evau 186 Exponentialfunktion 24 Faltungsprodukt 150 Faltungssatz 160, 203 FFT 178 Formel von Parseval- Plancherel 163 Fourier-Bereich 156 -Koeffizienten 173 -Reihe 130 -Transformierte 130, 156 Frequenzbereich 156 Frequenzvariable 156 Funktion 10, 11 Funktionaldeterminante 44 Funktionalmatrix 44 Funktionenkörper 108 Funktionswert 10 ganz-analytisch 36 ganze Funktion 36 Gebiet 17 geschlossen (Kurve) 65 Gibbssches Phänomen 141 Gitterweite 164 glatter Bogen 65 Grad 126

6 222 Sachverzeichnis Hauptteil 105 Hauptwert des Arguments 6 des Logarithmus 27 der n-ten Wurzel 24 von a z 28 Heavisidesche Sprungfunktion 189 hebbare Singularität 104 Hebbarkeitssatz 83 holomorph 17, 36 imaginäre Achse 1 Innengebiet 78 integrabel 150 Integral 60, 66 Integralformel von Cauchy 77, 92 isolierte Singularität 103 Jacobische Determinante 44 Jordanbereich 78 Jordankurve 78 Joukowski-Funktion 56 Kette 65 Knackpunkt 154 Komplement 91 komplexe Ableitung 33 komplex analytisch 36 komplex differenzierbar 33 komplexe Funktion 17 komplexes Skalarfeld 17 komplexe Umkehrformel 210 komplexe Zahl 1 Komponente 91 konfokal 56 konform 50 konforme Abbildung 52 konform äquivalent 52 konjugiert komplex 3 konvergent gegen 7 konvex 71 Korrespondenz 188 kreistreu 31 Kurve 65 Laplace-Transformierte 187 Laurent-Entwicklung 99 Linienintegral 62 Logarithmus 26 LT 185 Möbiustransformation 29 Maximumprinzip 80 meromorph 108 Mittelwerts-Eigenschaft 80 modulo 91 Norm 128 nullhomolog 91 Ordnung 104 Originalfunktion 188 orthogonal 129 Orthogonalitätsrelationen 129 Parameterdarstellung 14 Parsevalsche Formel 143, 163 periodisches Evau 195 Plancherel-Formel 163 Pol 104 Polardarstellung 4 Polarwinkel 3 punktierte Ebene 26, 37 Randzyklus 15, 78, 94 reelle Achse 1 Regularisierung 154 rein imaginäre Zahl 1 Repräsentant 3 Residuenkalkül 113 Residuensatz 112

7 Sachverzeichnis 223 Residuum 111 Richtungssinn 14 Riemannscher Abbildungssatz 53 Riemannsche Zahlenkugel 6 Satz von Casorati-Weierstrass 105 Cauchy 72, 95 Lerch 190 Liouville 84 Picard 106 Weierstrass 37 Schmetterlingsmatrix 180 schnelle Fourier- Transformation 178 Shannon-Interpolierende 165 -Theorem 166 Sinc-Funktion 106 Skalarprodukt 128 Spektralfunktion 156 Spiegelungsprinzip 89 B-Spline 152 Spur 65 stückweise glatte Kurve 65 stabil 210 stereographische Projektion 6 Stossantwort 207 Streckenweg 66 Tiefpassfilter 168 trigonometrisches Polynom 126 trigonometrische Reihe 127 Übertragungsfunktion 202 Umlaufszahl 68 Urbild 11 Verzweigungspunkt 103 Wachstumskonstante 186 Wertzuwachs 34 wesentliche Singularität 105 winkeltreu 50 n-te Wurzel 22 x-linie 25 Zeitbereich 188 Zeitsignal 12, 149 zweifach zusammenhängend 97 Zyklus 65