Molekulare Maschinen als Brownsche Motoren

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1 Molekulare Maschinen als Brownsche Motoren Gernot Faulseit 10. Juli 2003

2 Power Stroke vs. Brownsche Ratsche 10. Juli 2003 Power Stroke vs. Brownsche Ratsche gängige Vorstellung bei der Muskelkontraktion: ADP/ATP-Zyklus des Myosinkopfes verursacht Konformationsänderung = power stroke 1

3 Power Stroke vs. Brownsche Ratsche 10. Juli 2003 Power Stroke vs. Brownsche Ratsche Problem: keine gerichtete Bewegung auf der Ebene von Molekülen stattdessen stochastische Bewegung angetrieben durch Brownsche Molekularbewegung, der thermischen Zufallsbewegung von Teilchen 2

4 Power Stroke vs. Brownsche Ratsche 10. Juli 2003 Prinzip der Brownschen Ratsche 3

5 Power Stroke vs. Brownsche Ratsche 10. Juli

6 Power Stroke vs. Brownsche Ratsche 10. Juli 2003 Brownsche Motoren und der 2. Hauptsatz Es gibt keine zyklisch-arbeitende Maschine, die nichts anderes bewirkt als Wärme aus einem Wärmebad zu entnehmen und Arbeit zu verrichten. rhythmisches Bremsen führt zur Netto-Bergaufbewegung Energie dafür kommt nicht aus dem Wärmebad (Hagelkörner), sondern aus Bewegung des Bremspedals! Molekulare Analogien: Bremspedal-Bewegung = Konformationsänderung Fahrzeughalter = chemische Reaktion Auto = Molekularer Motor (z.b. Myosin) 5

7 Simulation Brownscher Motoren 10. Juli 2003 Simulation Brownscher Motoren Modellierung von Molekülbewegungen: mit der Langevin-Gleichung (SDE) mit einer Diffusionsgleichung (PDE) Einbeziehung chemischer Reaktionen im PDE-Modell Simulation von Brownschen Motoren mit PDEs 6

8 Moleküldynamik mit Langevin 10. Juli 2003 Die Langevin-Gleichung (1D) m dv dt = αv + F B (t) + F ext (t) (1) ist SDE und beschreibt Brownsche Molekularbewegung (thermische Zufallsbewegung) Brownsche Molekularbewegung ist Antrieb der Diffusion: x 2 = 2Dt D = kt α 7

9 Moleküldynamik mit Langevin 10. Juli 2003 Numerische Lösung der Langevin-Gleichung (1D) Die Langevin-Gleichung mit F ext = Φ(x,t) : m dv dt = αv + F B (t) Φ(x, t) Da die Reibungskraft viel größer ist als die resultierende Kraft, darf man m dv dt =0setzen: α dx dt Φ(x, t) = + F B (t) 8

10 Moleküldynamik mit Langevin 10. Juli 2003 Integration über das Intervall [t 1 ; t 1 + t]: α x = t1 + t x(t 1 + t) x(t 1 ) 1 α Φ(x, t) t 1 Φ(x, t) dt + t1 + t t 1 t + 1 α t1 + t t 1 F B (t) dt F B (t) dt aus F ext (t) =0muss folgen, dass x =0sowie x 2 = 2Dt ohne Herleitung: 1 α t1 + t t 1 F B (t) dt = 2 D tz 9

11 Moleküldynamik mit Langevin 10. Juli 2003 Also: x(t 1 + t) x(t 1 ) 1 α Φ(x, t) t + 1 α 2 D tz (2) Z: Zufallsvariable mit Z =0und Z 2 =1 Zufallsgeneratoren der meisten Programmiersprachen verwenden keine Standardnormalverteilung (Gaußverteilung), daher: Z = 2lnR 1 cos (2πR 2 ) Markov-Prozess, d.h. zukünftiger Zustand nur über den gegenwärtigen von Vergangenheit abhängig 10

12 Diffusionsgleichung mit externer Kraft 10. Juli 2003 Das Smoluchowski-Modell Betrachtung der Bewegung eines Ensembles von Teilchen (i.ggs. zu Langevin) Diffusion durch Teilchenfluss beschrieben (1. Ficksches Gesetz): J x = D c [ ] # s Es wirkt äußere Kraft F ext = Φ(x,t), die konstante Geschwindigkeit v bedingt (bei Abwesenheit von Diffusion): J x = D c + vc 11

13 Diffusionsgleichung mit externer Kraft 10. Juli 2003 Da v = const muss Betrag von F ext gerade gleich Betrag der Reibungskraft durch Lösungsmittel sein: F ext = αv v = F ext α Nach Einstein gilt α = kt D, folglich: = 1 α Φ(x, t) v = D kt Φ(x, t) Es folgt für den Teilchenfluss: J x = D c ( ) D Φ(x, t) kt c = D ( c + c kt ) Φ(x, t) 12

14 Diffusionsgleichung mit externer Kraft 10. Juli 2003 Erhaltungssatz der Teilchen: c t = J x c t = D [ 2 c 2 + ( c kt )] Φ(x, t) Ersetzen der Konzentration durch die Wahrscheinlichkeit p(x, t) ein Teilchen am Ort x zur Zeit t zu finden: p t = D [ 2 p 2 + ( p kt )] Φ(x, t) (3) Gleichung (3) heißt Smoluchowski-Gleichung und beschreibt das Diffusionsverhalten eines Teilchenensembles in einem Kraftfeld 13

15 Diffusionsgleichung mit externer Kraft 10. Juli

16 Diffusionsgleichung mit externer Kraft 10. Juli

17 Einbeziehung chemischer Reaktionen 10. Juli 2003 Modellierung chemischer Reaktionen ATP-Hydrolyse am Myosinkopf: AT P + H 2 O ADP + P i G 30.5 kj/mol Myosinkopf hat also 2 Zustände: AT P gebunden (nicht-hydrolysiert) oder ADP + P i (hydrolysiert) zwischen den Zuständen besteht ein thermodynamisches Gleichgewicht bestimmt durch G 16

18 Einbeziehung chemischer Reaktionen 10. Juli

19 Einbeziehung chemischer Reaktionen 10. Juli 2003 Wechsel zwischen Zuständen erfolgt mit Rate k = k + [H 2 O] bzw. k Der Fluss der Teilchen entlang der Reaktionskoordinate ξ ist dann: J ξ = k [AT P ] k [ADP ][P i ] Und für die Rückreaktion: J ξ = k [ADP ][P i ] k [AT P ] zum Teilchenfluss im Raum x kommt also Teilchenfluss entlang Reaktionskoordinate ξ hinzu ersetzen wieder Konzentrationen durch Wahrscheinlichkeiten 18

20 Einbeziehung chemischer Reaktionen 10. Juli 2003 für beide chemischen Zustände gibt es 2 unterschiedliche Verteilungen p 1 (x, t) und p 2 (x, t) t ( p1 p 2 ) = ( Jx1 J x2 ) + ( Jξ J ξ ) Teilchenfluss von p 2 (ATP) nach p 1 (ADP) = J ξ und umgekehrt t ( p1 p 2 ) = D ( p1 / + p 1 kt Φ ) 1/ p 2 / + p 2 kt Φ 2/ + ( ) k p 2 k p 1 k p 1 k p 2 Energie aus ATP-Spaltung wird in Φ 1 gespeichert Φ 1 Φ 2! 19

21 Modellierung Molekularer Motoren 10. Juli 2003 Chemische Reaktionen als Treibstoff Die erweiterte Smoluchowski-Gleichung enthält verschiedene Potenziale Φ 1 und Φ 2 abhängig vom chemischen Zustand Potenziale setzen sich zusammen aus konstantem äußerem Potenzial, das eine load force verursacht, das der Proteinbewegung entgegenwirkt innerem Potenzial = gewonnene chemische Energie, z.b. aus der Hydrolyse von ATP inneres Potenzial =0, wenn Myosin im nicht-hydrolysiertem Zustand inneres Potenzial 0, wenn Myosin im hydrolysiertem Zustand = Ratschenpotenzial 20

22 Modellierung Molekularer Motoren 10. Juli

23 Modellierung Molekularer Motoren 10. Juli 2003 Simulation einer Motor-Getriebenen Molekülbewegung numerische Lösung der erweiterten Smoluchwoski-Gleichung: t ( p1 p 2 ) = D ( p1 / + p 1 kt Φ ) 1/ p 2 / + p 2 kt Φ 2/ + ( ) k ( p2 p 1 ) k (p 1 p 2 ) Φ 1 (x) = kt[cos (x/l) sin(4x/l)], Φ 2 (x) = 0 k = 2, D = 1, L = 5 [0; L] ist die Ausdehnung des Gitterraums, auf dem die Gleichung gelöst wird. Die Gitterkonstante betrug Gelöst wurde die Gleichung mit der Method Of Lines 22

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