Warteschlangentheorie

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1 Warteschlangentheorie Ankunftsrate, z. B. 5 Personen pro Stunde Bedienrate, z.b. 20 Personen pro Stunde sei so groß gewählt, dass pro Takt höchstens eine Person ankot, bzw. abgefertigt wird. Mit der Wahrscheinlichkeit erhöht sich die Anzahl der Personen u Eins, it bleibt die Anzahl gleich Hier beginnt die Warteschlange Wir haben es hier it einer Irrfahrt eines Teilchens auf eine Graphen zu tun (Markow-Kette). Es startet in eine beliebigen Zustand. Uns interessiert die durchschnittliche Länge der Warteschlange, die Verweil- und die Wartezeit. Eritteln wir zunächst die stationäre Verteilung p 0, p, p 2, p 3, p 4, it den Gleichgewichtsbeziehungen:. p 0 = p oder. p 0 = p fällt stets heraus, wir lassen es zukünftig gleich weg. 2. p + p = p 0 + p 2 und it. 2. p = p 2 entsprechend 3. p 2 = p 3 Dait erhalten wir: p = p 0 p 2 = p = ( )2 p 0 p 3 = p = ( )3 p 0 Die Sue der geoetrischen Reihe beträgt, daraus folgt it der Suenforel p 0 =. Das Ergebnis kann einfacher direkt ( p 0 ) = entnoen werden, siehe., 2.,.

2 Warteschlangentheorie Foreln L Anzahl der Personen i Syste = np n = ( ρ) nρ n = ρ ρ =, ρ = n 0 n 0 L Anzahl der Personen in der Warteschlange = (n )p n = = ρ2 ρ = 2 ( ) n 2 Die ittlere Bedienungsdauer eines Kunden ist, wenn er das Syste i Zustand n vorfindet, beträgt seine Zeit i Syste n+. W Zeit, die ein Kunde i Syste verbringt = n 0 n+ p n = = ρ ρ + = ρ = Das Ergebnis liegt nahe. Ein Kunde findet ein Syste vor, dessen Abarbeitung L Anzahl der Personen i Syste dauert. Seine eigene Bedienungsdauer ist zu addieren. Offensichtlich gilt: W Wartezeit, die ein Kunde in der Schlange verbringt = = ( ) Für die Herleitungen wird die Forel herangezogen. nq n = n 0 q ( q) 2, q < Little bewies 96: L Anzahl der Personen in der Warteschlange = W Wartezeit, die ein Kunde in der Schlange verbringt Die Aussage L Anzahl der Personen in der Warteschlange = W Wartezeit, die ein Kunde in der Schlange verbringt erscheint plausibel. ist die Zeit, die zwischen zwei Ankünften verstreicht. Dies uss auch die Wartezeit einer Person für das Aufrücken u einen Platz sein, wenn die Schlangenlänge als gleichbleibend angesehen wird. 2

3 Der Fall = Die Foreln setzen < voraus. Wird die Differenz kleiner, so vergrößert sich die Warteschlangenlänge und die Wartezeit, obwohl = eine ausgeglichene Situation nahezulegen scheint. Die Graphen für die stationären Verteilungen sind aufschlussreich. Für kleiner werdende Differenz gleichen sich die Wahrscheinlichkeiten ier ehr an. y 0,4 = 35 0,3 0,2 = 27 = 25 = 20 f(x) = ( ) ( )x 0, = 23 = 2 x Für = kann keine stationäre Verteilung existieren, jedoch für ein Syste it begrenzter Länge M, hier gezeichnet für M = M 3

4 Die Übergangsatrix lautet (a = ): A = a a a 2a a a 2a a a 2a a a a Aus A p = p ist nach kurzer Rechnung zu erkennen, dass alle Zustände auf lange Sicht gleich oft angenoen werden. Dies kann unittelbar bestätigt werden, da auch die Zeilensuen von A sind (A ist doppeltstochastisch). Dann gilt: L Anzahl der Personen i Syste = M + (+2++M) = M + M(M +) 2 = M 2 4

5 N Schalter Nehen wir jetzt an, dass N Schalter vorhanden sind und die(einzige) Warteschlange axial M Kunden fasst. I Zustand n it n N werden n Kunden gleichzeitig bedient, der Erwartungswert ist dann n N N+ N +2 N+M 2 3 N N N N Etwas vereinfacht und verallgeeinert: K 2 3 K Für die stationäre Verteilung p 0, p, p 2,, p K erhalten wir it den Gleichgewichtsbeziehungen: p = p 0 p 2 = p 3 = 2 2 p p 0 d.h. p n = p n 3, n n p 0 folgt aus der Norierungsbedingung p 0 +p +p 2 ++p K =. Nun sind wir in der Lage, die stationäre Verteilung für das N-Schalter-Proble anzugeben, sowie die ittlere Schlangenlänge S = p N+ +2 p N+2 ++M p N+M zu eritteln. Für begrenzte Systee ist öglich. I Zustand N +M kann das Syste keine weiteren Kunden aufnehen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt: p N+M = ( )N+M p 0 N!N M Pro Zeiteinheit gehen also durchschnittlich p N+M Kunden verloren. 5

6 Warteschlangen N-Schalter-Beispiel N = 5 M = 20 = 80 (pro Zeiteinheit) = 20 stationäre Verteilung p n 0,4 0,2 0,0 0,08 0,06 0,04 0, n ittlere Warteschlangenlänge 2, ittlere Wartezeit in der Warteschlange 0,02 Variation = 5 stationäre Verteilung 0,4 0,2 0,0 p n 0,08 0,06 0,04 0, n ittlere Warteschlangenlänge,7 ittlere Wartezeit in der Warteschlange 0,56 6,4 Kunden gehen pro Zeiteinheit verloren. 6

7 N Schalter, Warteschlange nicht begrenzt N N+ N N N N N Die stationäre Verteilung p 0, p, p 2, lautet: p 0 p = p 0 p 2 = p 0 ( )2 2 p 3 = p 0 ( )3 3! p N = p 0 ( )N N! p N+ p N+2 = p 0 ( )N+ = p 0 ( )N+2 N!N N!N 2 p 0 folgt aus der Norierungsbedingung p 0 +p +p 2 + =. N p 0 [+ ( )n n! +( )N N! ( )n N ] n = n= n= }{{} ( N )n Die unendliche geoetrische Reihe konvergiert für < N gegen N. Die ittlere Schlangenlänge beträgt dann: L = n p N+n = p N n ( )n N N n = p N n= n= }{{} ( (siehe Forel Seite 2) N )2 ( N )n Die ittlere Verweilzeit in der Schlange soll noch erittelt werden. Ein Kunde findet ein Syste i Zustand k vor. Beachte, dass die Schlange auch leer sein kann und alle Schalter besetzt. W = N p N + 2 N p N+ + 3 N p N+2 + 7

8 N Schalter, Verweilzeit in der Warteschlange W = N p N + 2 N p N+ + 3 N p N+2 + = p N N [ +2 ( N )+3 ( N )2 +4 ( N )3 + }{{} ( N )2 ] Es wird die Forel verwendet. n 0 nq n = ( q) 2, 0 < q < Offensichtlich gilt auch hier L = W (Satz von Little). 8