4.1 Einführung Wiederholung: Wichtige Schedulingverfahren. Scheduling II Leistungsanalyse von Schedulingalgorithmen. Modell.

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1 Betriebssysteme II - Analyse und Modellierung Sommersemester Einführung 4.1 Einführung Wiederholung: Wichtige Schedulingverfahren Betriebssysteme II - Analyse und Modellierung 4. Kapitel Scheduling II Leistungsanalyse von Schedulingalgorithmen Prof. Matthias Werner Professur Betriebssysteme bedienzeitunabhängig bedienzeitabhängig FCFS: First Come First Serve SJN: Shortest Job Next ohne Verdrängung mit Verdrängung ohne Prioritäten mit Prioritäten ohne Prioritäten mit Prioritäten FCFS (FIFO) PRIO-NP RR PRIO-P, (RMS, EDF) SJN SRTN PRIO-NP: Prioritized, Non Preemption RR: Round Robin SRTN: Shortest Remaining Time Next PRIO-P: Prioritized with Preemption RMS: Rate Monotonic Scheduling EDF: Earliest Deadline First SoSe 218 M. Werner 2 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de 4.1 Einführung 4.1 Einführung Fragestellung Modell Im Standardscheduling betrachtet man meist keine konkrete Taskmenge, sondern weiß nur ungefähr Bescheid zufällige Taskeigenschaften stochastisches Verhalten Es interessieren Performance-Eigenschaften Typische Fragestellung Wie lange dauert es (im Mittel), bis eine Task fertig bearbeitet ist? Mittlere Taskantwortzeit: Erwartungswert der Verweilzeit einer Task im System 1. Abstraktion: Bei einer Task interessiert nur das Zeitverhalten, keine Semantik 2. Abstraktion: Es interessiert nicht die einzelne Task, sondern nur (große) Mengen von Tasks Für Antwortzeit oder Durchsatz sind folgende Parameter nötig: 1. Ankunftsverhalten von Tasks (wann kommen wieviel und welche Tasks an) 2. Wie werden die Tasks in der Warteschlange behandelt (Strategie) 3. Abarbeitungsdauer (Bedienzeit) von Tasks (wie lange brauchen Tasks den Prozessor) Wir betrachten Ansätze der Warteschlangentheorie (Queuing Theory)/ Markowketten (Markov chains) SoSe 218 M. Werner 3 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 4 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de

2 Für die Beschreibung von Scheduling holen wir ein wenig aus und betrachten zunächst Markow-Ketten Für die Teilnehmer an z.b. Verlässliche Systeme ist das Folgende z.t. Wiederholung Markow-Ketten sind stochastische Prozesse (siehe Abschnitt 3.3) Ein Poission-Prozess kann als Spezialfall einer Markow-Kette aufgefasst werden Idee: System besitzt eine Menge von diskreten Zuständen X i Hier relevant: Zustand beschreibt Last des Systems Übergänge zwischen Zuständen (bzw. Ereignisse, die diese Übergänge auslösen) geschehen zufällig Markow-Ketten (Forts.) Die Wahrscheinlichkeit des Übergangs in einen Folgezustand hängt nicht von schon durchlaufenen Zuständen ab MARKOW-Eigenschaft (Gedächnislosigkeit) Pr(X n+1 X 1, X 2,..., X n ) = Pr(X n+1 X n ) Unterscheidung von zeitdiskreten und zeitkontinuierlichen Markow-Ketten (ZDMK und ZKMK) Wahrscheinlichkeiten werden nach BAYES verknüpft (bedingte Wahrscheinlichkeit) (siehe Kapitel 3, Folie 11) Anmerkung Obwohl für das betrachtete Anwendungsgebiet zeitdiskrete Markow-Ketten kaum relevant sind, betrachten wir sie zuerst, weil dies das Verständnis von zeitkontinuierlichen Markow-Ketten erleichtert. SoSe 218 M. Werner 5 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Zeitdiskrete MARKOW-Ketten (ZDMK) Rundenmodell: Zustand kann sich nur zu bestimmten Zeiten ändern Graphische Darstellung einer ZDMK mit zwei Zuständen: Wahrscheinlichkeit des Verbleibens in Zustand 1 Wahrscheinlichkeit des Übergangs von Zustand 1 zu Zustand 2 Zustand 1 Zustand 2 Wahrscheinlichkeit des bergangs von Zustand 2 zu Zustand 1 Wahrscheinlichkeit des Verbleibens in Zustand 2 System ist immer in genau einem Zustand Von und zu jedem Zustand können beliebig viele (bis zu Anzahl der Zustände) Pfeile (Zustandsübergänge) abgehen bzw. hinführen Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller abgehender Zustandsübergänge muss für alle Zustände 1 sein Homogenität: Übergangswahrscheinlichkeit hängt nicht von der Zeit ab: n, m, Pr(X n+1 = x X n = y) = Pr(X m+1 = x X m = y) SoSe 218 M. Werner 7 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 6 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Zustandsvektor Zustandsvektor Der Zustandsvektor beschreibt die Wahrscheinlichkeiten, mit denen sich das System zu einem bestimmten Zeitpunkt in den jeweiligen Zuständen befindet. T Wahrscheinlichkeit für Zustand 1 Wahrscheinlichkeit für Zustand 2 Zustandsvektor nach i Schritten: p i =. Wahrscheinlichkeit für Zustand n SoSe 218 M. Werner 8 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de

3 Zustandsvektor (Forts.) Die Menge der Systemzustände bilden den Ereignisraum Ω p gibt damit alle Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für den Ereignisraum an es muss wieder p i,j = 1 gelten Achtung, Sprachverwirrung! j Der Zustandsvektor wird manchmal auch kurz mit Zustand bezeichnet Überladung des Begriffs. Manchen Sie sich stets klar, ob mit Zustand ein Element aus der Menge der Systemzustände oder die Aufenhaltswahrscheinlichkeiten des Systems für diese Systemzustände gemeint ist. Übergangsmatrix Übergangsmatrix Die Matrix gibt die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen einzelnen Zuständen an. Q = Pr(Z 1 Z 1 ) Pr(Z 1 Z 2 ) Pr(Z 1 Z n ) Pr(Z 2 Z 1 ) Pr(Z 2 Z 2 ) Pr(Z 2 Z n ).. Pr(Z n Z 1 ) Pr(Z n Z 2 ) Pr(Z n Z n ) Die Übergangsmatrix ist damit die Adjazenzmatrix des Graphen der Markow-Kette SoSe 218 M. Werner 9 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 1 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Beispiel Quelle: Wikipedia k = 1 Pr(X i+1 = k X i = 1) =.2 k = 2.8 k = 3.5 k = 1 Pr(X i+1 = k X i = 2) = k = 2.5 k = 3.1 k = 1 Pr(X i+1 = k X i = 3) =.9 k = 2 k = Q = Änderung des Zustandsvektors Häufig ist ein Ausgangszustand des betrachteten System (Initialzustand) bekannt Zustandsvektor besteht nur aus Nullen und einer Eins, z.b. p = ( 1 ) Da sich das System ab dem Systemstart zufällig entwickelt, verwischen die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten in bestimmten Systemzuständen Die Zustandswahrscheinlichkeiten nach einem Zustandsübergang p i+1 = p i Q Nach n Schritten: p n = p n 1 Q = p Q n SoSe 218 M. Werner 11 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 12 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de

4 Beispiel Sie spielen Roulette Sie starten mit 1 und setzen in jeder Runde 2 ein Sie setzen grundsätzlich nur auf Farbe (rouge/noir) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie nach 1 Runden noch immer mindestens 1 besitzen? Zeitkontinuierliche MARKOW-Ketten Grundregeln wie bei zeitdiskreten Ketten: Verschiedene diskrete Zustände Beliebige Übergänge zwischen diesen Zuständen Gedächtnislos - nur der aktuelle Zustand beeinflusst den Folgezustand Aber: Übergang findet zu beliebigem Zeitpunkt t statt Wahrscheinlichkeit nach Zeit und Verweilzeit Homogene MARKOW-Kette: Abhängigkeit nur von Verweilzeit Pr(X(t n + t) = j X(t n ) = i n,..., X(t 1 ) = i 1 ) = Pr(X(t n + t) = j X(t n ) = i n ) Wir betrachten nur homogene Markow-Ketten = Pr(X(t) = j X() = i n ) SoSe 218 M. Werner 13 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Generatormatrix (Verweil-)Zeitabhängige Übergangswahrscheinlichkeiten unbequem Generatormatrix or generator matrix: 1 Q(t) I G = lim (I = 1. t t., d.h. Einheitsmatrix)... 1 g i,j ist die Rate mit der Zustand Z i in Richtung Z j verlassen wird Es gilt: g i,i = j i g i,j SoSe 218 M. Werner 14 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Stationärer Zustand Hauptinteresse liegt in der Regel auf dem stationären Zustand System ist sehr lange gelaufen keine Einschwingvorgänge mehr Stationärer Zustand Vektor der Zustandswahrscheinlichkeiten konstant: Bitte beachten p s = lim t p(t) Obwohl die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten im stationärem Zustand sich nicht mehr ändern, ändert sich der Systemzustand trotzdem weiterhin. Als stationär wird also der Zustand des Zustandsvektors beschrieben, nicht der Zustand des Systems! Im stationärem Zustand gilt: p s G = SoSe 218 M. Werner 15 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 16 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de

5 Warteschlangen Warteschlangen können (z.t.) als Spezialfall von Markow-Ketten angesehen werden Die Warteschlangentheorie wurde parallel zu Markow-Ketten entwickelt, viele Aussagen können aber gut mit der Nutzung von Markow-Ketten behandelt werden Ankunft Warten Ursprünglich aus der Geschäftsmodellierung (Telefonvermittlung, Bedienung von Bankkunden) λ: Durchschnittliche Ankunftsrate µ: Durchschnittliche Servicerate s: Anzahl der Servicestellen S Service Kenngrößen λ s µ Ankunft t w, w w Warten t q, w Service t w t b t q w w Durchschnittliche Zeit einer Task in der Schlange (Wartezeit) Durchschnittliche Zeit einer Task am Server (Bedienzeit, Servicezeit)(= 1 µ ) Durchschnittliche Zeit einer Task im System (= t w + t b ), auch Antwortzeit Durchschnittliche Anzahl von Tasks in der Schlange w Durchschnittliche Anzahl von Tasks im System (= w w + s) ρ Anteil der Zeit, in der der Server beschäftigt ist SoSe 218 M. Werner 17 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Warteschlange als Geburts und Sterbe-Prozesse Wenn die Taskankunft und -verarbeitung gedächtnislos erfolgt (siehe Diskussion im Abschnitt 4.3) enspricht der einfachste Scheduling-Fall FCFS einer (unendlichen) Markow-Kette: SoSe 218 M. Werner 18 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Gesetz von LITTLE Unabhängig vom Ankunfts- und Serviceverhalten ist die Anzahl der Task im System immer die Differenz zwischen Taskankünften N A (t) und Taskbeendigungen N R (t) w(t) = N A (t) N R (t) Mittelwert: 1 w = lim t t t (N A (τ) N R (τ)) dτ (1) Tasks akkumuliert: #Tasks * Verweilzeit wobei alle λ i und µ i jeweils konstant sind N A w Man nennt allgemein solche (nicht unbedingt unendliche) Markow-Ketten, deren Zustände nur Übergänge zu ihren Nachbarzuständen haben, Geburts- und Sterbe-Prozesse (birth-death process) t q N R SoSe 218 M. Werner 19 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 2 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de

6 Gesetz von LITTLE (Forts.) Andererseits ist die mittlere Verweilzeit einer der Task im System: 1 t q = lim t N A (t) Teilt man (1) durch (2), erhält man: w t q = lim t t ( 1 t 1 N A (t) (N A (τ) N R (τ)) dτ (2) ) N A (t) = lim = λ t t Umgestellt ist dieser Zusammenhang als Gesetz von LITTLE bekannt: Theorem 4.1 (Gesetz von LITTLE (LITTLE s law)) Für alle Queueing-Systeme im Gleichgewicht, bei denen nicht innerhalb des Systems Tasks generiert oder vernichtet werden, ist die durchschnittliche Anzahl von Tasks im System gleich dem Produkt von Ankunftsrate und durchschnittlicher Antwortzeit: Modellannahmen Häufig wird Ankunft und Bedienung bei Queuing-Systemen als POISSON-Prozess angesehen starke (unrealistische) Vereinfachung Markow-Eigenschaft leichter zu analysieren Zwischenankunftszeit ist exponentialverteilt (F (t) = 1 e λ t ) Wenn eine FCFS-Strategie angenommen wird, führt dies zur bekannten M/M/1-Queue (siehe Folie 31) Die mittlere Wartezeit in der Queue ist t w = 1 µ (mit ρ = λ µ ) ρ 1 ρ w = λ t q SoSe 218 M. Werner 21 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Modellannahmen (Forts.) In der Realität ist die Taskankunft tatsächlich häufig ein Possion-Prozess Bedienung komplizierter: Kein stochastischer Prozess über der Zeit Aber: Mit Index = Ankunftsinstanzen kann ein Prozess über den Ankünften definiert werden unpraktisch SoSe 218 M. Werner 22 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Hyperexponentialverteilung Einfachster Fall war Exponentialverteilung relativ unrealistisch Besser: Verschiedene Klassen von Tasks, die jeweils der Exponentialverteilung entsprechen Hyperexponentialverteilung q 1 µ 1 Annahme: Bedienzeit entspricht Verteilungsfunktion Betrachten verschiedene praktische Verteilungsfunktionen für die Bedienung q 2 µ 2 k F Hyp,k (t) = q i (1 e µ t ) i=1 q k µ k SoSe 218 M. Werner 23 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 24 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de

7 Eigenschaften der Hyperexponentialverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte: f Hyp,k (t) = k q i µ i e µ i t Erwartungswert: E[X Hyp ] = k i=1 q i µ i = 1 µ i=1 Streuung: D 2 [X Hyp ] = E[X 2 Hyp ] = ( 2 k Spezialfall: k = 1 Exponentialverteilung i=1 q i µ 2 i ) 1 µ 2 Erlang-Verteilung Häufig schwanken Bedienzeiten um einen Mittelwert herum Normalverteilung Normalverteilung ist schwer zu handhaben, kann aber angenährt werden Annäherung: Anzahl hintereinander geschalteter Exponentialverteilungen Ergebnis ist Überlagerung der Verteilungen (wie bei Signalfiltern) Erlang-Verteilung kµ kµ kµ k 1 F Erl,k (t) = 1 e k µ t i= (k µ t) i i! SoSe 218 M. Werner 25 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Erlang-Verteilung (Forts.) F(t) 1 SoSe 218 M. Werner 26 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Erlang-Verteilung (Forts.) Wahrscheinlichkeitsdichte,2 f(t),175,75,15,125,5,1,75,25,5, t t k 1 F Erl,k (t) = 1 e k µ t (k µ t) i i= SoSe 218 M. Werner 27 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de i! -,25 f Erl,k (t) = k µ (k µ t)k 1 e k µ t (r 1)! SoSe 218 M. Werner 28 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de

8 Eigenschaften der Erlang-Verteilung Allgemeine Verteilung Mit Hilfe einer Kombination der Hyperexponential- und der Erlang-Verteilung lassen sich beliebige Verteilungen annähern Momente der Erlang-Verteilung Erwartungswert: E[X Erl ] = 1 µ Streuung: D 2 [X Erl ] = E[X 2 Erl ] = 1 k µ 2 q 1 µ 1 µ 1 µ 1 Beziehung zu anderen Verteilungen: k = 1 Exponentialverteilung k 1 Normalverteilung mit µ N = 1 µ und σ2 N = 1 k µ 2 k Dirac-Impuls (Deterministische Verteilung) q k q 2 µ 2 µ k µ 2 µ k µ 2 µ k 1 2 j SoSe 218 M. Werner 29 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Klassifizierung: KENDALL-Notation Man generalisiert die Beschreibung von Warteschlangen mit der KENDALL-Notation 1 A Beschreibung des Ankunftsprozesses: A B C Z M: Markowprozess = Exponentialverteilte Abstände Hyp k : Hyperexponentialverteilte Abstände (k-stufig) Erl k : Erlang (k-stufig) D: deterministisch Abstände (stets gleich) G: beliebig (G wie general) B Beschreibung des Serviceprozesses (wie A) C Anzahl der Server Z Warteschlangendisziplin Mitunter werden noch andere Parameter angegeben: Population, maximale Schlangenlänge, Abweisung SoSe 218 M. Werner 3 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de FCFS Betrachten nun einzelne Schedulingstrategien Beginnen mit FCFS = FIFO FCFS ist die am einfachsten zu modellierende Strategie Entspricht der einfachen Warteschlange Ankunft: Poisson-Prozess Bedienung: beliebig M G 1-Queue Es sei: F b (t): Wahrscheinlichkeit, dass Bedienzeit t b t ist, also Pr{t b t} f b (t): Wahrscheinlichkeitsdichte von F b (t), also f b (t) = d dt F b(t) 1 Die originale Kendall-Notation weicht für den Z-Parameter ab. SoSe 218 M. Werner 31 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 32 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de

9 FCFS (Forts.) Sei w(t) die Anzahl von Tasks im System zum Zeitpunkt t N A (t) seien die bis zum Zeitpunkt t eingegangenen Tasks N R (t) seien die bis zum Zeitpunkt t fertiggestellten Tasks w(t) = N A (t) N R (t) w(t) ist stochastischer Prozess ohne Markov-Eigenschaft Warum keine Markow-Eigenschaft? Markow-Eigenschaft bedeutet Gedächtnislosigkeit, d.h. für einen Prozess X(t) muss gelten für t k+1 > t k > t 1 : Pr [X(t k+1 )] = Pr [x k+1 X(t k = x k ),..., X(t 1 = x 1 )] = Pr [X(t k+1 ) = x k+1 X(t k = x k )] Mit anderen Worten: Die Zukunft darf nur von der Gegenwart abhängen, nicht von der Vergangenheit. Für allgemeine Bedienungen ist aber die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Restbedienzeit nicht immer gleich (außer für Possion-Prozesse), hängt also von der Vergangenheit ab. FCFS (Forts.) Gehen auf diskrete Zeitpunkte der Fertigstellung einer Task über Immer noch stochastischer Prozess, aber mit anderem Index diskrete, nicht gleichmäßig verteilte Zeitpunkte Zu diesen diskreten Zeitpunkten gilt Gedächtnislosigkeit Man spricht von einer eingebetteten Markov-Kette Sei A k : Anzahl der Ankünfte bis zur Fertigstellung der k. Task W k : Tasks in der Schlange nach Fertigstellung der k. Task SoSe 218 M. Werner 33 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 34 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de FCFS (Forts.) Unterscheiden Fälle: 1. W k = W k+1 = A k+1 2. W k > W k+1 = W k 1 + A k+1 Definieren: Φ(x) = W k+1 = W k Φ(W k ) + A k+1 { wenn x 1 sonst FCFS (Forts.) E[A] = = k Pr[A = k] k=1 k=1 k = λ E[f b (t)] (λt) k e λt f b (t)dt k! Gleichgewicht E[W ] =E[W ] E[Φ(W )] + E[A] E[Φ(W )] =E[A] (3) = λ 1 µ = ρ = E[Φ(W )] Die eigentlich interessante Größe E(W ) (Warteschlangenlänge) ist jetzt aber verloren gegangen Zusätzlicher Ansatz nötig Berücksichtigung des zweiten Moments (Varianz) Führt zur P-K-Gleichung Für Interessierte ist auf den folgenden Seiten die Ableitung angegeben SoSe 218 M. Werner 35 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 36 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de

10 Exkurs: Weitere Ableitung der P-K-Gleichung Betrachten 2. Moment: W 2 k+1 = W 2 k + Φ(W k ) 2 + A 2 k+1 2W k Φ(W k ) + 2W k A k+1 2A k+1 Φ(W k ) Betrachten wieder das Gleichgewicht: E[W 2 ] = E[W 2 ] + E[Φ(W )] + E[A 2 ] 2E[W ] + 2E[W A] 2E[A Φ(W )] 2E[W ] = E[Φ(W )] + E[A 2 ] + 2E[W A] 2E[A Φ(W )] wegen E[Φ(W )] = ρ sowie Unabhängigkeit: 2E[W ] = ρ + E[A 2 ] + 2E[W ]ρ 2ρ 2 E[W ] = ρ + E[A2 ] 2ρ 2 2(1 ρ) Es fehlt noch E[A 2 ] SoSe 218 M. Werner 37 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de P-K-Gleichung Exkurs: Weitere Ableitung der P-K-Gleichung (Forts.) E[A 2 ] = = = = k 2 Pr[A = k] k=1 k A k + k(k 1) A k k=1 k=1. k=2 λ t (λ t)k e f b (t)dt k! λ tf b dt + (λ t) 2 f b dt k 2 = k 2 k + k = (k 1)k + k = λe[t b ] + λ 2 E[t 2 b] wegen E[t b ] = 1 µ also: E[A 2 ] = ρ + λ 2 E[t 2 b] SoSe 218 M. Werner 38 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Interpretation Theorem 4.2 (Gleichung von POLLACZEK-KHINCHIN) E[w] = ρ + λ2 E[t 2 b ] 2(1 ρ) Mit Hilfe des Satzes von Little lässt sich die mittlere Antwortzeit (=Zeit im System) und die mittlere Wartezeit errechnen: E[t q ] = 1 µ + λ E[t2 b ] 2(1 ρ) E[t w ] = λ E[t2 b ] 2(1 ρ) Die Summanden der P-K-Gleichung lassen sind unabhängig interpretieren: E[w] = ρ + λ2 E[t 2 b ] 2(1 ρ) ρ: mittlere Zahl von Task auf dem Prozessor λ2 E[t 2 b ] 2(1 ρ) : mittlere Anzahl von Task in der Warteschlange SoSe 218 M. Werner 39 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 4 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de

11 Bedeutung der Varianz Vergleichen verschiedene M G 1 mit gleichem µ M M 1 M D 1 = lim k M Erl k 1 M Hyp ,2 E[W] 5,6 M M 1 M D 1 4,8 M Hyp k 1 PRIO-NP Betrachten nicht unterbrechbare Tasks mit Prioritäten Annahmen: l {1,..., L} seien Prioritätslevels, wobei L die höchste Priorität ist Prioritäten sind unabhängig von der Bedienzeit Jede Task-Klasse kommt entsprechend einem Poisson-Prozess mit der Rate λ l an 2,4 1,6,8,8,16,24,32,4,48,56,64,72,8,88,96 ρ SoSe 218 M. Werner 41 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Wartezeit pro Priorität SoSe 218 M. Werner 42 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Mittlere Wartezeiten pro Priorität E[t w,l ] = 15 E[t R ] (1 R l )(1 R l+1 ) mit E[t R] = L l=1 λ l E[t 2 b,l ] 2 Auch wenn die mittlere Wartezeit über alle Task wie bei FCFS ist, unterscheidet sie sich für jede Prioritätsklasse 12,5 Sei T l eine Task mit Priorität l, die im System ankommt T l muss warten auf 1 l =2 l =3 alle Tasks T k mit k l der gleicher oder höherer Priorität, die vor T l ankommen sind alle Task T j mit j > l einer höheren Priorität, die nach T l aber vor Beginn der Bedienung von T l ankommen 7,5 5 l =1 2,5 FCFS,5 1 1,5 2 2,5 3 SoSe 218 M. Werner 43 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 44 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de

12 SJF SJF Extremfälle SJF ist ein PRIO-P mit Prioritäten 1 t b Übergang von diskreten Prioritätsklassen zu kontinuierlichen Zeitwerten Es gelten die Betrachtungen zur einzelnen Prioritätsklasse in PRIO-P mit R l R l+1 : E[t w (x)] = E[t r ] (1 R(x)) 2 Sei λ(x) Anteil am Ankunftsprozess, der Bedienzeit x hat λ(x) = λ f b (x) E[t w (x)] = Lange Bedienzeit: x : lim E[t s(x)] = E[t R] x (1 ρ) 2 Kurze Bedienzeiten: x : lim x E[t s(x)] = E[t R ] λe[t 2 b x ] 2(1 λ z f b (z)dz) 2 SoSe 218 M. Werner 45 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Präemptives Scheduling: PRIO-P und SRTN Betrachten präemptive Schedulingmethoden PRIO-P und SRTN Unterschied zu PRIO-NP und SJF: Task wird während Ausführung unterbrochen Fertigstellung verzögert sich Modellannahme: Unterbrechung kostet nichts Betrachtung Wartezeit bis zum Prozessor nicht hinreichend Erst nach Beendigung kann nicht mehr verzögert werden SoSe 218 M. Werner 47 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 46 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Präemptives Scheduling: PRIO-P und SRTN (Forts.) Task T l beendet nach: 1. eigener Bedienung 1 µ l 2. Bedienung aller gleich oder höherprioren Tasks, die vor T l da waren entspricht FCFS für die gleich- und höherprioren Tasks l max i=l λ i E[t 2 b ] 2(1 l max ρ i ) 3. Bedienung aller höherprioren Tasks, die bis zur Beendigung von T l ankommen l max λ i E[W l ] µ i i=l+1 Niederpriore Task spielen keine Rolle mehr! SoSe 218 M. Werner 48 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de i=l

13 Präemptives Scheduling: PRIO-P und SRTN (Forts.) Round Robin Insgesamt ergibt sich: E[t w,l ] = 1 µ l (1 ρ l ) + l max i=l λ i E[t 2 b ] 2 (1 ρ l )(1 ρ l+1 ) Dabei ist ρ l die akkumulierte Auslastung: ρ l = l maxρ i i=l Bei Round Robin hängt die Wartezeit von der Bedienzeit ab t w = t w (t b ) E[t w (t b )] = t b (1 ρ) Dies kann aber auch über Grenzwertbetrachtungen direkt abgeleitet werden SoSe 218 M. Werner 49 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de SoSe 218 M. Werner 5 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de Literatur Literatur [ZB99] Dieter Zöbel und Elisabeth Balcerak. Modellbildung und Analyse von Rechensystemen. vdf, 1999, Chapter 5 & 6 [LK13] Fernando Puente León und Uwe Kiencke. Ereignisdiskrete Systeme. 3. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 213, Chapter 4 & 5 SoSe 218 M. Werner 51 / 51 osg.informatik.tu-chemnitz.de