Vorlesung 11b. Bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten
|
|
- Meta Gerber
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Vorlesung 11b Bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten 1
2 Bisher legten wir das Hauptaugenmerk auf den Aufbau der gemeinsamen Verteilung von X 1 und X 2 aus der Verteilung ρ von X 1 und Übergangswahrscheinlichkeiten P(a 1,.): P(X 1 = a 1,X 2 = a 2 ) := ρ(a 1 )P(a 1,a 2 ) 2
3 Jetzt: Zerlegung der gemeinsamen Verteilung von X 1 und X 2 in die Verteilung von X 1 und die bedingte Verteilung von X 2 gegeben X 1 3
4 Sei X 1 eine diskrete Zufallsvariable mit Zielbereich S 1 und X 2 eine Zufallsvariable mit Zielbereich S 2. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von {X 2 A 2 }, gegeben {X 1 = a 1 } definiert als P(X 2 A 2 X 1 = a 1 ) := P(X 1 = a 1,X 2 A 2 ) P(X 1 = a 1 ). 4
5 in der Matrix der gemeinsamen Verteilungsgewichte µ(a 1,a 2 ) = P(X 1 = a 1,X 2 = a 2 ) ist P(X 2 A 2 X 1 = a 1 ) das relative Gewicht von A 2 in der Zeile a 1 A 2 S 2 a 1 S 1 5
6 Die Verteilung P(X 2 X 1 = a 1 ) heißt die bedingte Verteilung von X 2, gegeben {X 1 = a 1 }. A 2 S 2 a 1 S 1 6
7 Definieren wir Übergangswahrscheinlichkeiten durch P a1 (X 2 A 2 ) := P(X 2 A 2 X 1 = a 1 ) dann bekommen wir die aus den vorigen Vorlesungen vertraute Formel P(X 1 = a 1,X 2 A 2 ) = P(X 1 = a 1 )P a1 (X 2 A 2 ). 7
8 Bei der Untersuchung von zwei Zufallsvariablen X 1,X 2 kann man immer zu einer 2-stufigen Betrachtungsweise übergehen. Man kann dabei wählen, ob man X 1 in die erste Stufe aufnimmt oder in die zweite. 8
9 Beispiel: Es seien Y und Z unabhängige Z-wertige Zufallsvariable und X 1 := Y, X 2 := Y +Z. Wir haben gesehen: Die bedingte Verteilung von Y +Z, gegeben {Y = a}, ist die Verteilung von a+z. Was ergibt sich für die bedingte Verteilung von Y, gegeben {Y +Z = b}? Wie war der erste Schritt? 9
10 Die bedingte Verteilung von Y, gegeben Y +Z = b, ist P(Y = a Y +Z = b) = P(Y = a)p(z = b a) P(Y +Z = b). 10
11 Ein instruktiver Spezialfall: Y und Z seien unabhängig und Geom(p)-verteilt. Dann ist P(Y = a)p(z = b a) = q a 1 pq (b a) 1 p = p 2 q b 2. Dieses hängt nicht von a ab. Also ist die bedingte Verteilung die uniforme auf {1,...,b 1} 11
12 Das ist auch ohne Rechnung plausibel: Gegeben, dass in einem p-münzwurf der zweite Erfolg beim b-ten Versuch kommt, ist der Zeitpunkt des ersten Erfolges uniform verteilt auf {1,...,b 1}. 12
13 Bedingte Dichten. Ist f(a 1,a 2 )da 1 da 2 gemeinsame Dichte von X 1 und X 2 und f 1 (a 1 )da 1 Dichte von X 1, dann setzen wir P(X 2 da 2 X 1 = a 1 ) := f(a 1,a 2 ) f 1 (a 1 ) da 2 und sprechen von der bedingten Dichte von X 2, gegeben {X 1 = a 1 }. 13
14 Beispiel: Exponentialverteilte Summanden Y und Z seien unabhängig und Exp(1)-verteilt. Was ist die bedingte Dichte von Y, gegeben {Y +Z = b}? Die gemeinsame Dichte von Y und Y +Z ist e y e (b y) dydb = e b dydb Die Dichte von Y +Z ist (man erinnere sich!) be b db Also: P(Y dy Y +Z = b) = 1 be be b dy = 1 b dy, 0 y b. 14
15 Bedingte Wahrscheinlichkeiten: Definition. Seien E 1, E 2 Ereignisse. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von E 2, gegeben E 1, definiert als P(E 2 E 1 ) := P(E 2 E 1 ) P(E 1 ) = P(I E2 = 1 I E1 = 1)... die Wahrscheinlichkeit von E 2, wenn man schon weiß, dass E 1 eingetreten ist. 15
16 Eine vertraute Regel (für zweistufige Experimente) im neuen Gewand: Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: P(X 2 A 2 ) = P(X 1 = a 1 )P ( ) X 2 A 2 X 1 = a 1 a 1 S 1 16
17 Zweistufigkeit - Spieß umgedreht: P(X 1 = a 1 X 2 = a 2 ) = P(X 2=a 2 X 1 =a 1 )P(X 1 =a 1 ) P(X 2 =a 2 ) Formel von Bayes: P(X 1 = a 1 X 2 = a 2 ) = P(X 2=a 2 X 1 =a 1 )P(X 1 =a 1 ) b S P(X 1 2 =a 2 X 1 =b)p(x 1 =b) P(E 1 E 2 ) = P(E 2 E 1 )P(E 1 ) P(E 2 E 1 )P(E 1 )+P(E 2 E c 1 )P(Ec 1 ) 17
18 Beispiel: Bei einer bestimmten Reihenuntersuchung wird eine kranke Person wird in 100% der Fälle positiv getestet, eine gesunde Person in 1%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person wirklich krank ist? Der Prozentsatz der kranken Personen sei 0.1%. P(E 1 ) = 0.001, P(E 2 E 1 ) = 1, P(E 2 E c 1 ) = Bayes: P(E 1 E 2 ) = Die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Testbefund wirklich krank zu sein, liegt also bei nur 9%! 18
19 0.999 g k 1 p P(X 1 = k,x 2 = p) P(X 2 = p) =
20 Bedingter Erwartungswert von h(x 1,X 2 ), gegeben {X 1 = a 1 }: E [ ] h(x 1,X 2 ) X 1 = a 1 := a 2 S 2 h(a 1,a 2 )P ( X 2 = a 2 X 1 = a 1 Bedingte Erwartung von h(x 1,X 2 ), gegeben X 1 : E [ ] h(x 1,X 2 ) X 1 := e(x1 ), mit e(a 1 ) := E [ ] h(x 1,X 2 ) X 1 = a )
21 Zum Merken: Der bedingte Erwartungswert von Y, gegeben X = x (Symbol : E[Y X = x] oder E x [Y]) ist der Erwartungswert unter der bedingten Verteilung. y Im diskreten Fall y P(Y = y X = x), und im Fall von Dichten y f(x,y) f 1 (x) dy. 21
22 Beispiel: Z 1,...,Z 10 sei ein p-münzwurf der Länge 10, K := 10 Die Runs in (z 1,...,z n ) sind die (in keinem größeren Block enthaltenen) Blöcke aus nur Nullen oder nur Einsen. Z. B. hat (0,1,1,0,0,1,1,0,0,0) fünf Runs: 0,11,00,11,000. i=1 Z i. Sei R die Anzahl der Runs in (Z 1,...,Z 10 ). Gefragt ist nach E[R K = 4]. 22
23 R = n i=1 I {beimi tenwurf beginnteinrun} = 1+ 9 i=1 I {Zi Z i+1 }. Und die bedingte Verteilung von (Z 1,...,Z 10 ) gegeben K = 4 entsteht so, dass man aus den Plätzen 1,...,10 rein zufällig 4 auswählt, auf die man die 4 Einsen setzt. P(Z i Z i+1 K = 4) = (warum?), also ist der gesuchte Wert gleich =
24 Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung: T sei Geom(p)-verteilt. Dann gilt P(T > k +l T > k) = q k+l /q k = q l. Die bedingte Verteilung von T k, gegeben {T > k}, ist somit gleich Geom(p). Die Kenntnis, dass T einen Wert größer als k annimmt, ändert also die Verteilung für die restliche Wartezeit nicht. 24
25 Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung Für exponentialverteiltes T zum Parameter λ gilt für r, s > 0 P(T > r +s T > r) = e λs. Die bedingte Verteilung von T s, gegeben {T > s}, ist somit gleich Exp(λ). 25
Vorlesung 9b. Bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten
Vorlesung 9b Bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 1. Zerlegung der gemeinsamen Verteilung (Buch S. 111) 2 Bisher legten wir das Hauptaugenmerk auf den Aufbau der gemeinsamen Verteilung
MehrVorlesung 9b. Bedingte Verteilungen und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Vorlesung 9b Bedingte Verteilungen und bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 Voriges Mal: Aufbau der gemeinsamen Verteilung von X 1 und X 2 aus der Verteilung ρ von X 1 und Übergangswahrscheinlichkeiten P(a
MehrVorlesung 9b. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und bedingte Erwartungswerte
Vorlesung 9b Bedingte Wahrscheinlichkeiten und bedingte Erwartungswerte 1 Definition. Seien E 1, E 2 Ereignisse. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von E 2, gegeben E 1, definiert als P(E 2 E 1 )
MehrVorlesung 8b. Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten
Vorlesung 8b Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 Wie gehabt, denken wir uns ein zufälliges Paar X = (X 1,X 2 ) auf zweistufige Weise zustande gekommen:
MehrVorlesung 8b. Zweistufige Zufallsexperimente. Teil 2
Vorlesung 8b Zweistufige Zufallsexperimente Teil 2 1 Wie gehabt, denken wir uns ein zufälliges Paar X = (X 1,X 2 ) auf zweistufige Weise zustande gekommen: P(X 1 = a 1,X 2 = a 2 ) = P(X 1 = a 1 )P a1 (X
MehrVorlesung 5a. Zufallsvariable mit Dichten
Vorlesung 5a 1 Vorlesung 5a Zufallsvariable mit Dichten Vorlesung 5a Zufallsvariable mit Dichten Teil 1 Uniforme Verteilung, Exponentialverteilung. Kontinuierlich uniform verteilte Zufallsvariable: 2 Kontinuierlich
MehrVorlesung 2b. Diskrete Zufallsvariable. und ihre Verteilungen
Vorlesung 2b Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen 1 1. Die Grundbegriffe 2 Bisher hatten wir uns (vor allem) mit Zufallsvariablen beschäftigt, deren Wertebereich S endlich war. Die (schon in
MehrVorlesung 3a. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
Vorlesung 3a Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen 0. Diskrete reellwertige Zufallsvariable X sei eine Zufallsvariable, deren Zielbereich R (die Menge der reellen Zahlen) oder
MehrVorlesung 3. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
Vorlesung 3 Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen 0. Diskrete reellwertige Zufallsvariable X sei eine Zufallsvariable, deren Zielbereich R (die Menge der reellen Zahlen) oder
MehrVorlesung 7a. Unabhängigkeit
Vorlesung 7a Unabhängigkeit 1 Wir erinnern an die Definition der Unabhängigkeit von zwei Zufallsvariablen (Buch S. 61): Zufallsvariable X 1,X 2 heißen (stochastisch) unabhängig, falls für alle Ereignisse
MehrVorlesung 8b. Bedingte Erwartung und bedingte Varianz
Vorlesung 8b Bedingte Erwartung und bedingte Varianz 1 1. Zerlegung eines Erwartungswertes nach der ersten Stufe (Buch S. 91) 2 Wie in der vorigen Vorlesung betrachten wir die gemeinsame Verteilung von
MehrVorlesung 4b. Versuche, Erfolge, Wartezeiten: von Bernoulli zu Poisson
Vorlesung 4b Versuche, Erfolge, Wartezeiten: Die Welt des p-münzwurfs - von Bernoulli zu Poisson 1 0. Fortgesetzter p-münzwurf 2 Definition: Sei p (0,1), q := 1 p. Eine Bernoulli-Folge zum Parameter p
MehrVorlesung 8b. Zweistufige Zufallsexperimente. Teil 1
Vorlesung 8b Zweistufige Zufallsexperimente Teil 1 1 Stellen wir uns ein zufälliges Paar X = (X 1, X 2 ) vor, das auf zweistufige Weise zustande kommt: es gibt eine Regel, die besagt, wie X 2 verteilt
MehrVorlesung 3a. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
Vorlesung 3a Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen X sei eine diskrete reellwertige Zufallsvariable, d.h. eine ZV e mit Wertebereich R (oder einer Teilmenge davon), sodass eine
MehrVorlesung 3a. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
Vorlesung 3a Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen X sei eine Zufallsvariable, deren Zielbereich R (die Menge der reellen Zahlen) (oder eine Teilmenge davon) ist. Es existiere
MehrVorlesung 3b. Versuche, Erfolge, Wartezeiten: von Bernoulli zu Poisson
Vorlesung 3b Versuche, Erfolge, Wartezeiten: Die Welt des p-münzwurfs - von Bernoulli zu Poisson 1 Unser heutiger Rahmen: p- Münzurf alias Bernoulli-Folge 2 Jacob Bernoulli (1654-1705) 3 Sei p (0,1), q
MehrVorlesung 5b. Zufallsvariable mit Dichten
Vorlesung 5b 1 Vorlesung 5b Zufallsvariable mit Dichten Vorlesung 5b Zufallsvariable mit Dichten Wiederholung aus Vorlesung 2b+: Kontinuierlich uniform verteilte Zufallsvariable: Sei S eine Teilmenge des
MehrZweitklausur. b p b. q a. c 1. p a
Elementare Stochastik SoSe 27 Zweitklausur Lösungen. Berechnen Sie für die angegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten (mit p a,p b >, q a := p a, q b := p b ) die erwartete Anzahl von Schritten bis zum
MehrVorlesung 3b. Der Erwartungswert
Vorlesung 3b Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen Teil 2 0. Wiederholung X sei eine diskrete reellwertige Zufallsvariable X S R E[X] := a S a P(X = a). heißt Erwartungswert von
MehrVorlesung 6b. Zufallsvariable mit Dichten. Teil 1 Uniforme Verteilung & Co.
Vorlesung 6b Zufallsvariable mit Dichten Teil 1 Uniforme Verteilung & Co. 1 1. Uniforme Verteilung auf dem Einheitsintervall 2 Eine Zufallsvariable X mit Zielbereich S = [0, 1] heißt uniform verteilt auf
Mehr108 IV Abhängige Zufallsvariable und bedingte Verteilungen
108 IV Abhängige Zufallsvariable und bedingte Verteilungen Zufällige Permutationen Sei Y die Anzahl der Zyklen in einer rein zufälligen Permutation der Zahlen 1,2,,n Um ihren Erwartungswert e n zu berechnen,
MehrBiostatistik, Winter 2011/12
Biostatistik, Winter 2011/12 Wahrscheinlichkeitstheorie:, Kenngrößen Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 7. Vorlesung: 09.12.2011 1/58 Inhalt 1 2 Kenngrößen von Lagemaße 2/58 mit Dichte Normalverteilung
MehrVorlesung 4b. Die Varianz
Vorlesung 4b Die Varianz 1 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Die Varianz von X ist definiert als Var X := E[(X µ) 2 ], die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen
MehrStochastik Wiederholung von Teil 1
Stochastik Wiederholung von Teil 1 Andrej Depperschmidt Sommersemester 2016 Wahrscheinlichkeitsraum Definition Das Tripple (Ω, A, P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum, falls gilt: (i) A ist eine σ-algebra,
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 3
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 15. April 2019 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 1. April
MehrZentralübung Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie (zur Vorlesung Prof. Mayr)
SS 2011 Zentralübung Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie (zur Vorlesung Prof. Mayr) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2011ss/dwt/uebung/ 30. Juni 2011 ZÜ
MehrVorlesung 5a. Varianz und Kovarianz
Vorlesung 5a Varianz und Kovarianz 1 1. Varianz und Standardabweichung: Elementare Eigenschaften (Buch S. 24) 2 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Die Varianz von X ist
MehrVorlesung 4b. Die Varianz
Vorlesung 4b Die Varianz 1 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ Die Varianz von X ist definiert als Var[X] := E[(X µ) 2 ], die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen
MehrBiostatistik, Sommer 2017
1/51 Biostatistik, Sommer 2017 Wahrscheinlichkeitstheorie: Verteilungen, Kenngrößen Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 8. Vorlesung: 09.06.2017 2/51 Inhalt 1 Verteilungen Normalverteilung Normalapproximation
MehrVorlesung 13b. Relative Entropie
Vorlesung 13b Relative Entropie 1 S sei eine abzählbare Menge (ein Alphabet ). 2 S sei eine abzählbare Menge (ein Alphabet ). Die Elemente von S nennen wir Buchstaben. S sei eine abzählbare Menge (ein
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 10. November 2010 1 Bedingte Wahrscheinlichkeit Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Bayessche Formel 2 Grundprinzipien
MehrVorlesung 5a. Die Varianz
Vorlesung 5a Die Varianz 1 1. Varianz und Standardabweichung: Elementare Eigenschaften (Buch S. 24) 2 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Die Varianz von X ist definiert
MehrVorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2
Mehr4 MEHRDIMENSIONALE VERTEILUNGEN
4 MEHRDIMENSIONALE VERTEILUNGEN 4.14 Stochastische Vektoren 1. Der Merkmalraum des stochastischen Vektors (X, Y ) sei M = R 2. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten: A 1
Mehri Pr(X = i). Bsp: Sei X die Summe zweier Würfe eines Würfels. Dann gilt E[X] =
Erwartungswert Definition Erwartungswert Der Erwartungswert einer diskreten ZV ist definiert als E[X] = i i Pr(X = i). E[X] ist endlich, falls i i Pr(X = i) konvergiert, sonst unendlich. Bsp: Sei X die
MehrVorlesung 2a. Diskret uniform verteilte Zufallsvariable
Vorlesung 2a Diskret uniform verteilte Zufallsvariable 1 Eine Zufallsvariable X heißt diskret uniform verteilt, wenn ihr Zielbereich S endlich ist und P(X = a) = 1 #S für alle a S. Damit beschreibt X eine
Mehr7.4 Charakteristische Funktionen
7.4 Charakteristische Funktionen Def. 25 Sei X Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F X und Dichte f X (falls X stetig) oder Wkt.funktion p i (falls X diskret). Die Funktion φ X (t) := Ee itx = eitx
MehrSTOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück
STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 24. November 2010 1 Stetige Verteilungen Normalapproximation Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalapproximation
MehrKAPITEL 5. Erwartungswert
KAPITEL 5 Erwartungswert Wir betrachten einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Die Grundmenge Ω hat also nur endlich oder abzählbar
MehrBiostatistik, Sommer 2017
1/52 Biostatistik, Sommer 2017 Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 7. Vorlesung: 02.06.2017 2/52 Inhalt 1 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel 2 Diskrete Stetige 3/52 Wahrscheinlichkeit Bayes
MehrStochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten
Kapitel 2 Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten 2.1 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Gegeben sei ein W-Raum (Ω, C, P. Der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von
Mehr(8 + 2 Punkte) = = 0.75
Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 23. Dezember 2011 1 Stetige Zufallsvariable, Normalverteilungen Der zentrale Grenzwertsatz und die 3-Sigma Regel
MehrI Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...
Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................
MehrBem. 6 Die charakterische Funktion existiert.
4.4 Charakteristische Funktionen Def. 2.14 Sei X Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F X und Dichte f X (falls X stetig) oder Wkt.funktion p i (falls X diskret). Die Funktion φ X (t) := Ee itx = eitx
MehrStochastik Aufgaben zum Üben: Teil 2
Prof. Dr. Z. Kabluchko Wintersemester 205/206 Hendrik Flasche Januar 206 Aufgabe Stochastik Aufgaben zum Üben: Teil 2 Es sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f X (y) = cy 5 I y>. Bestimmen Sie c, P[2
MehrVorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft
Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenho Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare
MehrVorlesung 2a. Diskret uniform verteilte Zufallsvariable. (Buch S. 6-11)
Vorlesung 2a Diskret uniform verteilte Zufallsvariable (Buch S. 6-11) 1 0. Erinnerung und Auftakt 2 Sei S eine endliche Menge. Eine Zufallsvariable X heißt diskret uniform verteilt auf S, wenn P(X = a)
MehrWahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester 2018 2.5.2018 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Diskreter
MehrStatistik für Ingenieure Vorlesung 3
Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 14. November 2017 3. Zufallsgrößen 3.1 Zufallsgrößen und ihre Verteilung Häufig sind
MehrBiostatistik, Winter 2011/12
Biostatistik, Winter 2011/12 stheorie: Grundbegriffe Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 5. Vorlesung: 25.11.2011 1/33 Inhalt 1 Zufallsvariablen 2 Ereignisse 3 2/33 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable
MehrStatistik für Ingenieure Vorlesung 5
Statistik für Ingenieure Vorlesung 5 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 28. November 2017 3.4 Wichtige stetige Verteilungen 3.4.1 Exponentialverteilung Parameter:
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun http://blog.ruediger-braun.net Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 07. Januar 2015 Klausuranmeldung Prüflinge müssen sich bis spätestens 14 Tage vor
MehrVorlesung 13a. Übergangswahrscheinlichkeiten und Gleichgewichtsverteilungen. Teil 2
Vorlesung 13a Übergangswahrscheinlichkeiten und Gleichgewichtsverteilungen Teil 2 1 Die Erneuerungskette: 2 Die Erneuerungskette: Auf S = N betrachten wir folgende stochastische Dynamik: Die Erneuerungskette:
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 1. Dezember 21 1 Integralrechnung Flächeninhalt Stammfunktion Rechenregeln 2 Dichten von Erwartungswert und Varianz
MehrWichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Version: 22. September 2015 Evelina Erlacher 1 Mengen Es sei Ω eine Menge (die Universalmenge ) und A, B seien Teilmengen von Ω. Dann schreiben
Mehr3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.
Mehr7.1.1 Zusammenhang zwischen der w.e. Funktion und den Momenten Da G X (s) := Pr[X = k] s k = E[s X ], k Pr[X = k] = E[X].
7.1.1 Zusammenhang zwischen der w.e. Funktion und den Momenten Da G X (s) := gilt G X(1) = Pr[X = k] s k = E[s X ], k=0 k Pr[X = k] = E[X]. k=1 DWT 7.1 Einführung 182/476 Beispiel 73 Sei X binomialverteilt
MehrLösungsskizzen zur Präsenzübung 09
Lösungsskizzen zur Präsenzübung 09 Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 2015/2016 Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Veröffentlicht am 07. Februar 2016 von:
MehrVertiefung NWI: 8. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Fakultät für Mathematik Prof. Dr. Barbara Gentz SS 2013 Vertiefung NWI: 8. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie Mittwoch, 5.6.2013 8. Unabhängigkeit von Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz 8.1
MehrBiostatistik, Winter 2011/12
Biostatistik, Winter 2011/12 Wahrscheinlichkeitstheorie:, Unabhängigkeit Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 6. Vorlesung: 02.12.2011 1/30 Inhalt 1 Wahrscheinlichkeit 2 2/30 Wahrscheinlichkeit
MehrVorlesung 7b. Unabhängigkeit bei Dichten. und die mehrdimensionale Standardnormalverteilung
Vorlesung 7b Unabhängigkeit bei Dichten und die mehrdimensionale Standardnormalverteilung 0. Wiederholung: Die Normalverteilung Dichtefunktion ϕ der Standardnormalverteilung ϕ(x) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 4
MehrZusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen. Woche 4: Gemeinsame Verteilungen. Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen
Zusammenfassung: e und e Verteilungen Woche 4: Gemeinsame Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilung p() Wahrscheinlichkeitsdichte f () WBL 15/17, 11.05.2015 Alain Hauser P(X = k
MehrStetige Verteilungen, Unabhängigkeit & ZGS
Mathematik II für Biologen Stetige Verteilungen, & ZGS 26. Juni 2009 Stetige Verteilungen, & ZGS Wiederholung Stetige Zufallsvariable Definition Eigenschaften, Standardisierung Zusammenhang von Poisson-
MehrVorlesung 14. Gemeinsame Entropie und bedingte Entropie
Vorlesung 14 Gemeinsame Entropie und bedingte Entropie 1 Wir betrachten ein zufälliges Paar (X,Y) mit Verteilungsgewichten ρ(a,b) Die Entropie von (X,Y) (auch gemeinsame Entropie von X und Y genannt) ist
MehrStochastik. Peter Pfaffelhuber
Stochastik Peter Pfaffelhuber 1 Grundlegende Bemerkungen Vorlesung orientiert sich an G. Kersting und A. Wakolbinger. Elementare Stochastik. Birkhäuser, 2008 Übungen Volker Pohl Praktikum Ernst August
MehrDWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr
1.4.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen als Grenzwerte diskreter Zufallsvariablen Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable. Wir können aus X leicht eine diskrete Zufallsvariable konstruieren, indem wir
MehrI Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...
Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................
Mehr0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5
4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit
MehrStetige Verteilungen, Unabhängigkeit & ZGS
Mathematik II für Biologen Stetige Verteilungen, & ZGS 19. Juni 2015 Stetige Verteilungen, & ZGS Stetige Zufallsvariable Dichte & Verteilungsfunktion Eigenschaften & Kennzahlen Definition Eigenschaften,
MehrWahrscheinlichkeitstheorie Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Georg Bol bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de
MehrWahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. oec. W. Lao Klausur (Maschineningenieure) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 2.9.2007 Musterlösungen
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 4
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 25. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung
MehrStatistik für Informatiker, SS Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
Bedingte W keit, Unabhängigkeit, gemeinsame Verteilung 1/44 Statistik für Informatiker, SS 2018 1 Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit, gemeinsame
MehrTeil VI. Gemeinsame Verteilungen. Lernziele. Beispiel: Zwei Würfel. Gemeinsame Verteilung
Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen Woche 4: Verteilungen Patric Müller diskret Wahrscheinlichkeitsverteilung p() stetig Wahrscheinlichkeitsdichte f ()
Mehr8 Die Exponentialverteilung
8 Die Exponentialverteilung 8.1 Einführung Modelle Zuverlässigkeitsmodelle Lebensdauermodelle Bedienungsmodelle. 277 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin Def. 26 (Exponentialverteilung) Sei X eine
MehrZufallsvariable: Verteilungen & Kennzahlen
Mathematik II für Biologen 12. Juni 2015 Zufallsvariable Kennzahlen: Erwartungswert Kennzahlen: Varianz Kennzahlen: Erwartungstreue Verteilungsfunktion Beispiel: Exponentialverteilung Kennzahlen: Erwartungswert
MehrStochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 1 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastische Prozesse Musterlösungen Aufgabe 1: (Verzweigungsprozess) Die
MehrSatz 104 (Skalierung exponentialverteilter Variablen)
2.3.1 Eigenschaften der Exponentialverteilung Satz 104 (Skalierung exponentialverteilter Variablen) Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter λ. Für a > 0 ist die Zufallsvariable
MehrExponentialverteilung
Exponentialverteilung Dauer von kontinuierlichen Vorgängen (Wartezeiten; Funktionszeiten technischer Geräte) Grenzübergang von der geometrischen Verteilung Pro Zeiteinheit sei die Eintrittswahrscheinlichkeit
MehrWahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung
HSR Hochschule für Technik Rapperswil Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung beinhaltet Teile des Skripts von Herrn Hardy von Lukas Wilhelm lwilhelm.net 12. Januar 2007 Inhaltsverzeichnis 1
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 8. Dezember 2010 Teil V Schließende Statistik 1 Parameterschätzung Erwartungstreue und Konsistenz Maximum-Likelihood
MehrDr. L. Meier Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Sommer Musterlösung
Dr. L. Meier Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Sommer 014 Musterlösung 1. 8 Punkte) a) 1 Pt)Für das Komplement gilt PR A) = 1 PR c A) = 0.968. b) 1 Pt)Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
Mehrp k (1 p) n k s k = (1 p + ps) n. k p(1 p) k 1 s k ((1 p)s) k 1 =
Binomialverteilung Für X Bin(n, p) gilt nach der binomischen Formel G X (s) = E[s X ] = n ( ) n p k (1 p) n k s k = (1 p + ps) n. k Geometrische Verteilung Sei X eine geometrisch verteilte Zufallsvariable
MehrAusgewählte spezielle Verteilungen
Ausgewählte spezielle Verteilungen In Anwendungen werden oft Zufallsvariablen betrachtet, deren Verteilung einem Standardmodell entspricht. Zu den wichtigsten dieser Modelle gehören: diskrete Verteilungen:
MehrFinanzmathematische Modelle und Simulation
Finanzmathematische Modelle und Simulation WS 9/1 Rebecca Henkelmann In meiner Ausarbeitung Grundbegriffe der Stochastik I, geht es darum die folgenden Begriffe für die nächsten Kapitel einzuführen. Auf
MehrVorlesung 13a. Schätzen von Parametern. Teil 2
Vorlesung 13a Schätzen von Parametern Teil 2 Unser Logo der ersten Stunde: X P ϑ (X da) = ρ ϑ (da), ϑ Θ S Ein Logo der Statistik: X Θ S P ϑ (X da) = ρ ϑ (da), ϑ Θ Ein Logo der Statistik: X Θ t S P ϑ (X
MehrÜbungen Abgabetermin: Freitag, , 10 Uhr
Universität Münster Institut für Mathematische Statistik Stochastik für Lehramtskandidaten SoSe 015, Blatt 1 Löwe/Heusel Übungen Abgabetermin: Freitag, 10.7.015, 10 Uhr Hinweis: Dies ist nur eine Beispiellösung.
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 11. November 2010 1 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert Varianz und Streuung Rechenregeln Binomialverteilung
MehrUnabhängigkeit KAPITEL 4
KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht
MehrKapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel X - Randverteilung, bedingte Verteilung und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
MehrSatz von der totalen Wahrscheinlichkeit
htw saar 1 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Sei (Ω, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und B 1,, B n seien paarweise disjunkte Ereignisse mit B i = Ω. Für jedes Ereignis A gilt dann: P(A) = P(A B 1
Mehr4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung
4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung Häufig werden mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig betrachtet, z.b. Beispiel 4.1. Ein Computersystem bestehe aus n Teilsystemen. X i sei der Ausfallzeitpunkt
MehrKapitel 2.9 Der zentrale Grenzwertsatz. Stochastik SS
Kapitel.9 Der zentrale Grenzwertsatz Stochastik SS 07 Vom SGGZ zum ZGWS Satz.4 (Schwaches Gesetz großer Zahlen) Sei (X i ) i eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit E[X ]
MehrBinomialverteilung. Häufigkeit, mit der Ereignis A bei n unabhängigen Versuchen eintritt. Träger von X : X = {0, 1, 2,..., n}.
Binomialverteilung Konstruktionsprinzip: Ein Zufallsexperiment wird n mal unabhängig durchgeführt. Wir interessieren uns jeweils nur, ob ein bestimmtes Ereignis A eintritt oder nicht. X = Häufigkeit, mit
MehrPrüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Stochastik Marco Boßle Jörg Hörner Marcel Thoms Mathematik Online Herbst 211 PV-Kurs HM 3 Stochastik 1-1 Zusammenfassung Wahrscheinlichkeitsraum (WR): Menge
Mehr