Zweitklausur. b p b. q a. c 1. p a
|
|
- Kirsten Kramer
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Elementare Stochastik SoSe 27 Zweitklausur Lösungen. Berechnen Sie für die angegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten (mit p a,p b >, q a := p a, q b := p b ) die erwartete Anzahl von Schritten bis zum erstmaligen Treffen des Zustands c, wenn man in a startet. b p b q b q a c a p a Lösung: e(x) sei die erwartete Anzahl von Schritten bis zum Treffen von c, startend in x. Jedenfalls gilt: e(c) =, e(a) <, e(b) <. Zerlegung nach dem ersten Schritt ergibt: e(a) = + q a e(b) e(b) = + q b e(a) Die zweite Gleichung in die erste eingesetzt ergibt:. e(a) = + q a q a q b
2 2. Es sei π = (π(),...,π(n)) eine Permutation von,...,n. Für i < i 2 < i 3 n sagen wir: π hat ein aufsteigendes Tripel bei i,i 2,i 3, wenn π(i ) < π(i 2 ) < π(i 3 ). Es sei nun X eine rein zufällige Permutation von,...,8. a) Wie wahrscheinlich ist es, dass X bei 2, 5, 6 ein aufsteigendes Tripel hat? b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Anzahl aller aufsteigenden Tripel von X. Lösung: a) X(2),X(5),X(8) sind rein zufällig (ohne Zurücklegen) aus {,...,8} gezogen. Damit ist auch die Reihenfolge ihrer Größen rein zufällig. Es gibt 3! = 6 Möglichkeiten, 3 vesrchiedene Zahlen der Größe nach anzuordnen. Also ist P{X(2) < X(5) < X(8)} = /6. b) Es gibt ( 8 3) = 56 dreielementige Teilmengen von {,...,8}. Für jede solche Teilmenge {i,i 2,i 3 } mit i < i 2 < i 3 ist die Wahrscheinlichkeit, dass X dort ein aufsteigendes Tripel hat, gleich P{X(i ) < X(i 2 ) < X(i 3 )} = /6 (siehe a)). Mit der Linearität des Erwartungswerts ergibt sich die Antwort: E[ i <i 2 <i 3 n I {Xi <X i2 <X i3 } = 56 6 =
3 3. G und G 2 seien unabhängige, geometrisch verteilte Zufallsvariable zum Parameter p. Finden Sie für m = 2,3,... die bedingte Verteilung von G, gegeben {G + G 2 = m}. (Hinweis: Sie erreichen das Ziel entweder durch eine kleine Rechnung oder durch eine begriffliche Argumentation im Münzwurfmodell. Beides ist hübsch.) Lösung: Hier ist die begriffliche Argumentation: G und G 2 kann man auffassen als Zeitpunkte des ersten und zweiten Erfolgs beim p-münzwurf. Gegeben, der zweite Erfolg kommt beim Zeitpunkt m, ist der Zeitpunkt des ersten Erfolgs uniform auf {,...,m }. Und hier die Rechnung: Für k m ist P{G = k G + G 2 = m} = P{G = k,g + G 2 = m} P(G + G 2 = m) = P{G = k,g 2 = m k) P{G + G 2 = m} = qk pq (m k) p P{G + G 2 = m} = q m 2 p 2 P{G + G 2 = m} Dieses Gewicht hängt nicht von k ab. Also ist die bedingte Verteilung uniform auf {,...,m }. 3
4 4. Berta und Anton kommen am 5. Oktober 27 zu unabhängigen, zufälligen Zeitpunkten an die Bockenheimer Warte. Antons Ankunft ist uniform verteilt zwischen 2 und 3 Uhr, Bertas Ankunft ist uniform verteilt zwischen 2 und 4 Uhr. Im Fall, dass der Partner nicht da ist, wartet Anton Minuten, Berta jedoch wartet keinen Augenblick. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich verpassen? Lösung: Der zufällige Punkt mit den Koordinaten (B, A) der die Ankunftszeitpunkte von Berta und Anton beschreibt, ist uniform verteilt auf dem Rechteck [2,4] [2,3]; die Menge der Punkte, die zu einem Treffen führen, ist in der Skizze schattiert. Diese Menge hat Flächeninhalt /6. Das gesamte Rechteck hat Flächeninhalt 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden treffen, ist /2, die Wahrschenlichkeit, dass sie sich verpassen, ist /2. 6 4
5 5. a) X sei die Summe von zwei unabhängigen, Exp()-verteilten Zufallsvariablen. (i) Geben Sie die Dichte von X an. (ii) Berechnen Sie E[X k ] für k N. Hinweis: Die folgende Formel kann nützlich sein: Γ(n) := x n e x dx = (n )!, n =,2,3,.... b) Was ergibt sich für E[Z k ], wenn Z die Summe von zwei unabhängigen, Exp(λ)-verteilten Zufallsvariablen ist? Hinweis: Da muss man dann fast nichts mehr rechnen. Lösung: a) (i) Wir hatten in der Vorlesung berechnet: Die Dichte von X ist xe x dx, x. Hier ist die Rechnung nochmal: f X (x)dx = = = ( x ( x (e x x ) f Y (s) f Y2 (x s)ds dx ) e s e x+s ds dx ) ds dx = xe x dx ii) E[X k ] = x k xe x dx = x k+ e x dx = Γ(k + 2) = (n + )! b) E[Z k ] = E[(Y /λ + Y 2 /λ) k ] = λ k E[(Y + Y 2 ) k ] = λ k (n + )! 5
6 6. Die Zufallsvariable N sei Poisson(λ)-verteilt, und H,H 2,... seien normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2. Außerdem seien N,H,H 2,... unabhängig. Wir setzen Y := N i= H i. Berechnen Sie a) die bedingte Erwartung E N [Y ] b) die bedingte Varianz Var N [Y ] c) Var[E N [Y ]] d) E[Var N [Y ]] e) Var[Y ]. Lösung: a) E N [Y ] = E N [H + + H N ] = NE[H ] = Nµ. b) Var N [Y ] = Var N [H + + H N ] = NVar[H ] = Nσ 2. c) Wegen a) ist Var[E N [Y ]] = Var[Nµ] = µ 2 Var[N] = µ 2 λ. d) Wegen b) ist E[Var N [Y ]] = E[Nσ 2 ] = σ 2 E[N] = σ 2 λ. e) Nach dem Satz über die Zerlegung der Varianz ist Var[Y ] = E[Var N [Y ]] + Var[E N [Y ]] = µ 2 λ + σ 2 λ = (µ 2 + σ 2 )λ. 6
7 7. a) Für k =,2,... sei Z k eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert k und Standardabweichung k. Die Zufallsvariablen Z,Z 2,... seien unabhängig. Wir setzen S := 2Z +3Z 3 +Z 5. Bestimmen Sie c > so, dass P{6 c S 6 + c}.95. b) Finden Sie eine Zahl a so, dass der Korrelationskoeffizient von S und X := S + az 4 gleich.4 ist. Lösung: a) 2Z hat Verteilung N(2,2 2 ) = N(2,4), 3Z 3 hat Verteilung N(3 3,3 2 3) = N(9,27), Z 5 hat Verteilung N(5,5). Wir wissen aus der Vorlesung: Die Summe von unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt, wobei sich Erwartungswerte und Varianzen addieren. Die Zufallsvariable S ist also N(µ S,σS 2 )-verteilt mit µ S = = 6, σs 2 = = 36. Das gesuchte c ist 2σ S = 2. b) κ[s,x] = Cov[S,X] σ S σ X. Wegen der Bilinearität der Covarianz und der Unabhängigkeit von S und Z 4 ist Cov[S,X] = Cov[S,S+aZ 4 ] = Cov[S,S]+Cov[S,aZ 4 ] = Var[S]+ = 36. Weiter ist Var[X] = Var[S] + Var[aZ 4 ] = 36 + a 2 4, also σ X = a 2. Damit ergibt sich für a die Gleichung Cov[S, X] σ S σ X = mit der Lösung a = a 2 =.4, 7
8 8. a) n und r seien natürliche Zahlen. X,...,X n seien unabhängig und uniform verteilt auf {,...,r}. Für j =,...,r setzen wir Y j := #{i X i = j}. Geben Sie eine Formel für die Verteilungsgewichte P{Y = k,...,y r = k r } an. b) Man würfelt siebenmal. Wie wahrscheinlich ist es, dabei alle 6 Augenzahlen zu bekommen? Lösung: Die Antwort ist gegeben durch die Gewichte der Multinomialverteilung mit Parametern n und p = = p r = r, nämlich: ( n P{Y = k,,y r = k r } = k,...,k r )( ) n = r n! k!k 2! k r! ( ) n. r b) Das n-malige Würfeln passt in den Rahmen von a) mit r = 6. Mit n = 7 ergibt sich aus Symmetriegründen P{Y,,Y 6 } = 6P{Y = 2,Y 2 = = Y 6 = } = 6 7! ( ) 7. 2! 6 8
9 9. Die Menge S = {z,a,...,a 6 } trage die in der Skizze angegebene Nachbarschaftsstruktur. Ein Wanderer gehe von jedem Punkt aus, unabhängig von seiner Vorgeschichte, im nächsten Schritt zu einem rein zufällig ausgewählten Nachbarpunkt. Berechnen Sie a) die erwartete Anzahl von Schritten bis zum Erreichen von z, wenn der Wanderer in a startet, b) die Wahrscheinlichkeit, bei Start in a den Punkt z vor dem Punkt a 4 zu erreichen, a c) die Gleichgewichtsverteilung. a 6 a 2 a 5 z a 3 a 4 Lösung: a) e(x) sei die erwartete Anzahl von Schritten bis zum Treffen von z, startend in x. Aufgrund der Symmetrie gilt e(a ) = = e(a 6 ). Zerlegung nach dem ersten Schrit ergibt e(a ) = e(a ), also e(a ) = 3. (Andere Begründung: Die zufällige Anzahl der Schritte ist geometrisch verteilt mit Parameter /3.) b) w(x) sei die Wahrscheinlichkeit z vor a 4 zu treffen, startend in x. Zerlegung nach dem ersten Schritt ergibt unter Beachtung der Symmetrie: w(a ) = w(a 2) + 3 w(a 6) = w(a 2) w(a 2 ) = w(a ) + 3 w(a 3) w(a 3 ) = w(a 2) Daraus folgt w(a 2 ) = w(a ) und w(a ) = 8 9. c) Der nächste Schritt ist immer zu einem uniform gewählten Nachbarn auf dem Graphen. Also ist (vgl. Übungsaufgabe 59) das Gewicht π(x) der Gleichgewichtsverteilung proprtional zu der Anzahl der Nachbarn von x. Mit π(z) = 6c, π(a i ) = 3c folgt c = 24, also π(z) = 4,π(a i) = 8. Man kann auch sofort nachprüfen, dass π eine reversible Gleichgewichtsverteilung ist: π(a i ) 3 = π(z) 6, π(a i) = π(a i+ ). So kann man π auch am leichtesten finden, wenn man die Botschaft der Übungsaufgabe nicht mehr im Kopf hat. 9
Vorlesung 8b. Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten
Vorlesung 8b Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 Wie gehabt, denken wir uns ein zufälliges Paar X = (X 1,X 2 ) auf zweistufige Weise zustande gekommen:
MehrVorlesung 9b. Bedingte Verteilungen und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Vorlesung 9b Bedingte Verteilungen und bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 Voriges Mal: Aufbau der gemeinsamen Verteilung von X 1 und X 2 aus der Verteilung ρ von X 1 und Übergangswahrscheinlichkeiten P(a
MehrVarianz und Kovarianz
KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]
MehrZufallsvariablen [random variable]
Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden
MehrLösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK
Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK vom 17. Juli 01 (Dauer: 90 Minuten) Übersicht über
MehrÜ b u n g s b l a t t 13
Einführung in die Stochastik Sommersemester 06 Dr. Walter Oevel 5. 6. 006 Ü b u n g s b l a t t 3 Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen von -Aufgaben
MehrDie Varianz (Streuung) Definition
Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ
MehrWahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. oec. W. Lao Klausur (Maschineningenieure) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 2.9.2007 Musterlösungen
MehrÜ b u n g s b l a t t 10
Einführung in die Stochastik Sommersemester 07 Dr. Walter Oevel. 6. 2007 Ü b u n g s b l a t t 0 Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen von -Aufgaben
Mehr7.2 Moment und Varianz
7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p
MehrStochastik. Peter Pfaffelhuber
Stochastik Peter Pfaffelhuber 1 Grundlegende Bemerkungen Vorlesung orientiert sich an G. Kersting und A. Wakolbinger. Elementare Stochastik. Birkhäuser, 2008 Übungen Volker Pohl Praktikum Ernst August
Mehr2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert
2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments
Mehr5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen
47 5 Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen Zur Charakterisierung von Verteilungen unterscheidet man Lageparameter, wie z. B. Erwartungswert ( mittlerer Wert ) Modus (Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion,
Mehr3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.
Mehr3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:
MehrWeihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012
Weihnachtszettel zur Vorlesung Stochastik I Wintersemester 0/0 Aufgabe. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält
MehrLösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK)
Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) für Studierende des Maschinenbaus vom 7. Juli (Dauer: 8 Minuten) Übersicht über die
MehrÜbungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x
Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable
MehrVorlesung 8a. Kovarianz und Korrelation
Vorlesung 8a Kovarianz und Korrelation 1 Wir erinnern an die Definition der Kovarianz Für reellwertige Zufallsvariable X, Y mit E[X 2 ] < und E[Y 2 ] < ist Cov[X, Y ] := E [ (X EX)(Y EY ) ] Insbesondere
MehrDiskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - robeklausur Sommersemester 2007 - Lösung Name: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Hinweise Sie sollten insgesamt Blätter erhalten haben. Tragen Sie bitte Ihre Antworten
MehrZufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten
Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests
MehrGrundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.
Mehr9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe
Übungsmaterial 9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe 9. Erwartungswert Fragt man nach dem mittleren Wert einer Zufallsgröÿe X pro Versuch, so berechnet man den Erwartungswert
MehrP (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...
2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel
MehrA: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
5 Diskrete Verteilungen 1 Kapitel 5: Diskrete Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 0.6 x 0.4 5 x (i) P x (x)
MehrStochastik für Studierende der Informatik
Stochastik für Studierende der Informatik von Peter Pfaffelhuber Version: 28. September 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegendes 3 1.1 Häufige Modelle: Münzwurf, Würfeln, Urnen.................. 3 1.2 Kombinatorik....................................
MehrSpezielle stetige Verteilungen
Spezielle stetige Verteilungen schon bekannt: Die Exponentialverteilung mit Parameter k R, k > 0 hat die Dichte f (x) = ke kx für x 0 und die Verteilungsfunktion F (x) = 1 e kx für x 0. Eigenschaften Für
Mehr11.4 Korrelation. Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient
11.4 Korrelation Def. 44 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen, für die gilt: 0 < σ X1,σ X2 < +. Dann heißt der Quotient (X 1,X 2 ) = cov (X 1,X 2 ) σ X1 σ X2 Korrelationskoeffizient der Zufallsgrößen
Mehr4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung
4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung Häufig werden mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig betrachtet, z.b. Beispiel 4.1. Ein Computersystem bestehe aus n Teilsystemen. X i sei der Ausfallzeitpunkt
Mehr9 Die Normalverteilung
9 Die Normalverteilung Dichte: f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, µ R,σ > 0 9.1 Standard-Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 1 ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 Dichte Φ(x) = 1 x 2π e t2 /2 dt Verteilungsfunktion 331 W.Kössler,
MehrETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels
Mehr3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit
28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit
MehrÜ b u n g s b l a t t 11
Einführung in die Stochastik Sommersemester 07 Dr Walter Oevel 8 007 Ü b u n g s b l a t t Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden Lösungen von -Aufgaben sind
MehrLernzusammenfassung für die Klausur. Inhaltsverzeichnis. Stochastik im SS 2001 bei Professor Sturm
Stochastik im SS 2001 bei Professor Sturm Lernzusammenfassung für die Klausur Hallo! In diesem Text habe ich die wichtigsten Dinge der Stochastikvorlesung zusammengefaÿt, jedenfalls soweit, wie ich bis
MehrDas Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern.
10. Stetige Zufallsvariable, Normalverteilung 55 Die in den folgenden Beispielen dargestellten Verteilungen haben ungefähr Glockenform. Sie können durch die sogenannte Normalverteilung oder Gaussverteilung
Mehr8. Stetige Zufallsvariablen
8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse
MehrKapitel 5. Stochastik
76 Kapitel 5 Stochastik In diesem Kapitel wollen wir die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln. Wir beschränken uns dabei auf diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω. Definition 5.1. Ein diskreter
Mehr0, t 0,5
XIII. Die Normalverteilung ==================================================================. Der lokale Grenzwertsatz --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mehr1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere
MehrWebinar Induktive Statistik. - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie
Webinar Induktive Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgabe : Zwei Lieferanten decken den Bedarf eines PKW-Herstellers von 00.000 Einheiten pro Monat.
MehrZusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen
Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind
MehrÜbungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik SS 2012 (Vorlesung von Prof. Reinhard Bürger) 1) Man gebe für die folgenden Experimente Wahrscheinlichkeitsmodelle an: (a) Wurf mit einer homogenen Münze,
MehrKlausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK. für Studierende der INFORMATIK
Institut für Stochastik Prof. Dr. Daniel Hug Name: Vorname: Matr.-Nr.: Klausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK Datum: 08. Februar 0 Dauer:
MehrSTETIGE VERTEILUNGEN
STETIGE VERTEILUNGEN. Die Näherungsformel von Moivre Laplace Betrachtet man die Binomialverteilungen Bnp für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen
MehrDieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.
Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.
MehrKonfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert
Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Beispiel für Konfidenzintervall Im Prinzip haben wir
MehrWahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)
Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung
MehrScheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Stochastik Dr. Bernhard Klar Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark Name Vorname Matr.-Nr.: Scheinklausur Stochastik für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik
MehrÜbung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie
Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable
MehrBinomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec
Binomialverteilung Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi Klassisches Verteilungsmodell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen in bestimmten noch
MehrKlausur: Diskrete Strukturen I
Universität Kassel Fachbereich 10/1 13.03.2013 Klausur: Diskrete Strukturen I Name: Vorname: Matrikelnummer: Versuch: Unterschrift: Bitte fangen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt an. Beschreiben Sie
MehrKlausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester 2013 Aufgabe 1 In einer Urne
MehrBeispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen
4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.
MehrAufgaben zu Kapitel 38
Aufgaben zu Kapitel 38 Aufgaben zu Kapitel 38 Verständnisfragen Aufgabe 38. Welche der folgenden vier Aussagen sind richtig:. Kennt man die Verteilung von X und die Verteilung von Y, dann kann man daraus
Mehr2.1 Gemeinsame-, Rand- und bedingte Verteilungen
Kapitel Multivariate Verteilungen 1 Gemeinsame-, Rand- und bedingte Verteilungen Wir hatten in unserer Datenmatrix m Spalten, dh m Variablen Demnach brauchen wir jetzt die wichtigsten Begriffe für die
MehrÜbung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009
Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene Steen Elstner, Klaus Wohlrabe, Steen Henzel SS 9 1 Wichtige Verteilungen Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
MehrBasiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)
MehrÜbungen zur Stochastik, Blatt Nr. 1
Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. ) Zwei Würfel werden gleichzeitig oder nacheinander geworfen. a) Schreiben Sie alle Elemente des Grundraums in Form einer Matrix auf. b) Wie
MehrStochastik für die Naturwissenschaften
Stochastik für die Naturwissenschaften Dr. C.J. Luchsinger 6. Ausgewählte Verteilungen (Distributions) * diskret: Bernoulli, Binomial, Geometrisch, Poisson * stetig: Uniform, Exponential, Normal, χ 2,
MehrDiskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier
Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 11. Januar 2013 1 Diskrete Strukturen Gesamtübersicht Organisatorisches und Einführung Mengenlehre Relationen
MehrErwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße. Was ist eine Zufallsgröße und was genau deren Verteilung?
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße Von Florian Modler In diesem Artikel möchte ich einen kleinen weiteren Exkurs zu meiner Serie Vier Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben
MehrSatz 16 (Multiplikationssatz)
Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.
Mehr1 1. Übung. Einleitung. 1.1 Urnenmodelle. 1.2 Beispiele. 1.3 Aufgaben
Einleitung Dieses sind die kompletten Präsenzaufgaben, die bei der Übung zur Vorlesung Einführung in die Stochastik im Sommersemester 2007 gerechnet wurden. Bei Rückfragen und Anmerkungen bitte an brune(at)upb.de
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 3. Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 3. Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Martin Hutzenthaler & Dirk Metzler 11. Mai 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Deterministische und zufällige
MehrAufgabenblock 3. Durch zählen erhält man P(A) = 10 / 36 P(B) = 3 / 36 P(C) = 18 / 36 und P(A B) = 3 /
Aufgabenblock 3 Aufgabe ) A sei das Ereignis: schwerer Verkehrsunfall B sei das Ereignis: Alkohol ist im Spiel Herr Walker betrachtet die Wahrscheinlichkeit P(B A) = 0.3 und errechnet daraus P(-B A) =
MehrKapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Kennzahlen mehrdimensionaler Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analytische Geometrie / Stochastik Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
MehrWürfel-Aufgabe Bayern LK 2006
Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006 Die Firma VEGAS hat ein neues Gesellschaftsspiel entwickelt, bei dem neben Laplace-Würfeln auch spezielle Vegas-Würfel verwendet werden, die sich äußerlich von den Laplace-Würfeln
MehrAbiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.
Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment
Mehr4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)
4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte
Mehr1 Dichte- und Verteilungsfunktion
Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen Yannick.Schroer@rub.de 9.2.26 ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die
MehrChi-Quadrat-Verteilung
Chi-Quadrat-Verteilung Die Verteilung einer Summe X +X +...+X n, wobei X,..., X n unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind, heißt χ -Verteilung mit n Freiheitsgraden. Eine N(, )-verteilte
MehrKapitel VII. Punkt- und Intervallschätzung bei Bernoulli-Versuchen
Kapitel VII Punkt- und Intervallschätzung bei Bernoulli-Versuchen Einführungsbeispiel: Jemand wirft einen korrekten Würfel 60 mal. Wie oft etwa wird er die 6 würfeln? Klar: etwa 10 mal, es kann aber auch
MehrZufallsgröße: X : Ω R mit X : ω Anzahl der geworfenen K`s
4. Zufallsgrößen =============================================================== 4.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrK8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis
K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis 8.1 Theoretischer Hintergrund Wir haben (nicht abzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume Meßbare Funktionen Zufallsvariablen Verteilungsfunktionen Dichten in R
MehrKapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion
Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 8. Dezember 2010 Teil V Schließende Statistik 1 Parameterschätzung Erwartungstreue und Konsistenz Maximum-Likelihood
MehrKapitel VI - Lage- und Streuungsparameter
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie
MehrStochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl
MehrMafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur) Gruben)
Musterlösung zum. Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur Gruben. Wahrscheinlichkeiten I ( Punkte Die Seiten von zwei Würfeln sind mit den folgenden Zahlen
MehrAufgabe 3 Was ist der Erwartungswert der größten gezogenen Zahl M beim Zahlenlotto 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl)?
Erwartungswert Aufgaben Aufgabe Bei der Flugplatz Party haben Sie die Wahl ob Sie 3 Euro Eintritt bezahlen, oder Sie würfeln den Eintrittspreis mit einem normalen Würfel. Die Frage die sich dabei stellt
MehrEingangsprüfung Stochastik,
Eigagsprüfug Stochastik, 5.5. Wir gehe stets vo eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P aus. Die Borel σ-algebra auf wird mit B bezeichet, das Lebesgue Maß auf wird mit λ bezeichet. Aufgabe ( Pukte Sei x
MehrKorrektur, Änderungen sowie Ergänzungen zu den Vorlesungsskripten: Statistik-I SS-2015
Korrektur, Änderungen sowie Ergänzungen zu den Vorlesungsskripten: Statistik-I SS-05!"!## x 8 0 8 0 8 0 0, 0, 3 0 0, 05 $ $ % 3, 75 $ Geben Sie für das vorige Beispiel. (Bsp. ) die Anteile der jeweiligen
MehrAllgemeine Wahrscheinlichkeitsräume
Kapitel 3 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 3. Einleitung Wir hatten schon bemerkt, dass der Begriff des diskreten Wahrscheinlichkeitsraums nicht ausreicht, um das unendliche Wiederholen eines Zufallsexperiments
MehrStetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch
6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6
MehrBachelor BEE Statistik Übung: Blatt 1 Ostfalia - Hochschule für angewandte Wissenschaften Fakultät Versorgungstechnik Aufgabe (1.1): Gegeben sei die folgende Messreihe: Nr. ph-werte 1-10 6.4 6.3 6.7 6.5
MehrTabelle 11.2 zeigt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Randverteilungen
Kapitel 11 Stichprobenfunktionen Um eine Aussage über den Wert eines unbekannten Parameters θ zu machen, zieht man eine Zufallsstichprobe vom Umfang n aus der Grundgesamtheit. Das Merkmal wird in diesem
MehrExponentialverteilung
Exponentialverteilung Dauer von kontinuierlichen Vorgängen (Wartezeiten; Funktionszeiten technischer Geräte) Grenzübergang von der geometrischen Verteilung Pro Zeiteinheit sei die Eintrittswahrscheinlichkeit
MehrMusterlösung zur ersten Klausur Stochastik für Lehramtskandidaten SS2012
Musterlösung zur ersten Klausur Stochasti für Lehramtsandidaten SS2012 Aufgabe 1 In einer Urne befinden sich 2n Kugeln, n N, die von 1 bis 2n durchnummeriert sind. Die Kugeln mit den Nummern 1 bis n sind
MehrAnzahl der Möglichkeiten in der Werkstatthalle, 3 ohne eingebaute Alarmanlage: N N 2
Abiturprüfung Berufliche Oberschule 003 Mathematik 13 Technik - B I - Lösung Teilaufgabe 1.0 Eine Kfz-Werkstatt für Autoelektronik baut in Fahrzeuge Alarmanlagen ein. Die Werkstatt verfügt über 11 Stellplätze,
MehrStochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume
Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.
MehrEs wird aus einer Urne mit N Kugeln gezogen, die mit den Zahlen 1,..., N durchnummiert sind. (N n)! n! = N! (N n)!n! =
Übungsblatt Höhere Mathematik - Weihenstephan SoSe 00 Michael Höhle, Hannes Petermeier, Cornelia Eder Übung: 5.6.00 Die Aufgaben -3 werden in der Übung am Donnerstag (5.6. besprochen. Die Aufgaben -6 sollen
Mehr15.5 Stetige Zufallsvariablen
5.5 Stetige Zufallsvariablen Es gibt auch Zufallsvariable, bei denen jedes Elementarereignis die Wahrscheinlich keit hat. Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms Die Lebensdauer eines radioaktiven
MehrÜbung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 6
Übung zur Vorlesung Statistik I WS 2012-2013 Übungsblatt 6 26. November 2012 Aufgabe 17 (4 Punkte): Sei X B(n, p) eine binomial verteilte Zufallsvariable, die ein Zufallseperiment mit n unabhängigen Wiederholungen
MehrStatistik-Klausur vom
Statistik-Klausur vom 27.09.2010 Bearbeitungszeit: 60 Minuten Aufgabe 1 Ein international tätiges Unternehmen mit mehreren Niederlassungen in Deutschland und dem übrigen Europa hat seine überfälligen Forderungen
MehrAbschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik 2002, Stochastik S I Nichttechnische Ausbildungsrichtung
Alexandra Steiner 7.5.005 A_NT_S_AS_Loes.mcd Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik 00, Stochastik S I Nichttechnische Ausbildungsrichtung AUFGABENSTELLUNG:.0 Die Post eines kleineren
MehrÜbungsaufgaben: Wahrscheinlichkeitsrechnung Seite: 1
Übungsaufgaben: Wahrscheinlichkeitsrechnung Seite: 1 Aufgabe 1 Aus einem Skatspiel mit 32 Karten wird zufällig eine Karte gezogen. Dabei sei D das Ereignis Es wird eine Dame gezogen und H das Ereignis
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 19. Januar 2011 1 Nichtparametrische Tests Ordinalskalierte Daten 2 Test für ein Merkmal mit nur zwei Ausprägungen
MehrSchleswig-Holstein Kernfach Mathematik
Aufgabe 5: Stochastik Der Schokoladenhersteller Nikolaus Hase produziert für namhafte Discounter Ostereier. Auf Grund langjähriger Erfahrungen ist davon auszugehen, dass 95 % der Produktion der Norm entsprechen
Mehr2. Zufallsvariable, Verteilungsfunktion, Erwartungswert,
2. Zufallsvariable, Verteilungsfunktion, Erwartungswert, momentenerzeugende Funktion Ziel des Kapitels: Mathematische Präzisierung der Konzepte Zufallsvariable Verteilungsfunktion Dichtefunktion Erwartungswerte
Mehr