Analysis einer Variablen Lösungen zur Klausur vom F. Merkl

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1 Analysis einer Variablen Lösungen zur Klausur vo 8..7 F. Merkl. Gegeben sei eine Folge (f n ) n N von Funktionen f n : R R und eine weitere Funktion f : R R. (a) Definieren Sie, wann f n für n punktweise konvergent gegen f genannt wird. Schreiben Sie die Antwort als eine prädikatenlogischen Forel in das folgende Feld: f n f punktweise : x R ε > N n : f n (x) f(x) < ε (b) Definieren Sie, wann f n für n gleichäßig konvergent gegen f genannt wird. Schreiben Sie die Antwort als eine prädikatenlogischen Forel in das folgende Feld: f n f gleichäßig : ε > N n x R : f n (x) f(x) < ε (c) Forulieren Sie die Negation der in der letzten Teilaufgabe angegebenen Forel it einer prädikatenlogischen Forel, in der alle Quantoren zu Beginn stehen. Schreiben Sie die Antwort in das folgende Feld: f n f gleichäßig] ε > N n x R : f n (x) f(x) ε (d) Nun sei speziell f(x) und f n (x) cos(x/n) für n N und x R. Beweisen Sie, dass f n nicht für n gleichäßig gegen f konvergiert. Achten Sie bei de Beweis besonders auf eine logisch korrekte Darstellung. Beweis: Wir wählen ε. Nun sei N gegeben. Wir wählen n und x nπ/. Dann folgt f n (x) f(x) cos(π/) ε, also die Behauptung.. (a) Forulieren Sie die Forel für die geoetrische Sue. Geeint ist die endliche geoetrische Sue, nicht die geoetrische Reihe. Quantifizieren Sie auch alle dabei vorkoenden Variablen. Schreiben Sie die Antwort in das folgende Feld: Geoetrische Sue: x C \ {} n N : n k xk xn x. (b) Es bezeichnet i die iaginäre Einheit in C. Beweisen Sie für alle n N und a C it a < : n n a exp(πi k k n ) a n () Beweis der Forel (): Für n und a wie angegeben folgt it der geoetrischen Reihe (konvergent, da a exp(πi k n ) < für k N ): n k n a exp(πi k n ) k n l k a l e πikl/n a l e πikl/n Sei l N. Nun ist n k al e πikl/n na l, falls l jn ein ganzzahliges Vielfaches von n ist. Andernfalls ist e πil/n und dait it der geoetrischen Sue k l n a l e πikl/n a l e πil e πil/n. Es folgt, nochals it der geoetrischen Reihe: n n a l e πikl/n n l k also eingesetzt die Behauptung. j na jn a n,

2 (c) Berechnen Sie für gegebenes a C it a < das untenstehende Integral I. Schreiben Sie das Ergebnis in öglichst vereinfachter For in das folgende Feld: I : π π () aeix Hinweis: Eine ögliche Lösung verwendet die vorhergehende Teilaufgabe. Begründung der Forel (): Wegen der gleichäßigen Stetigkeit der Abbildung f :, π] x ae ix konvergiert die Folge der Treppenfunktion f n :, π] C, f n (x) : n {xπ} a + für n gleichäßig gegen f. Es folgt: π li aeix π li n π, da li a n wegen a <. n k 3. 3(a) Definieren Sie für a, b, c R die Aussage k π {πk/n x<π(k+)/n} a exp(πi k n ) f n (x) a exp(πi k n ) li π a n e x e x ax / + bx / + cx 3/ + O(x 5/ ) für x. (3) Schreiben Sie die Antwort als eine prädikatenlogische Forel in das folgende Feld: Aussage (3) : ε > C R + x ], ε: e x e x (ax / + bx / + cx 3/ ) Cx5/ 3(b) Berechnen Sie Konstanten a, b, c R so, dass die Aussage (3) wahr wird. Bei der Rechnung dürfen Sie wahre Gleichungen für Grenzwerte und Landausybole ohne Begründung verwenden. Schreiben Sie die Antworten in öglichst vereinfachter For in die nachfolgenden Felder: Es gilt für x : a, b 3 4, c (4) e x + x + x x3 + O(x 4 ), e x + x + x + 6 x3 + O(x 4 ), also und daher e x e x x + 3 x x3 + O(x 4 ) ( e x e x x / + 3 x + 7 ) / 6 x + O(x 3 ) Nun gilt für y it der binoischen Reihe: ( ) ( ) / / ( + y) / + y + y + O(y 3 ) y y + O(y 3 )

3 Setzen wir hier y 3 x x + O(x 3 ) für x ein: ( + 3 x + 7 ) / 6 x + O(x 3 ) 3 x + 7 ] 6 x + O(x 3 ) + 3 ] 3 8 x + O(x ) + O(x 3 ) 3 4 x x + O(x 3 ) wobei wir e x e x x / 3 4 x/ x3/ + O(x 5/ ) verwendet haben. Oben eingesetzt: 4. 4(a) Geben Sie eine Abbildung f : R + ], an, so dass sich jedes Integral der Gestalt R (x, ) x (5) it eine in den Variablen x und y rationalen Ter R(x, y) durch die Substitution x f(t) (6) in ein Integral der Gestalt Q(t) dt it rationale Integranden Q(t) transforieren lässt. Geben Sie auch soweit wie öglich vereinfachte Foreln für y f(t) und für dt f (t) an. Schreiben Sie die Antworten in die folgenden Felder: Rechnungen oder Skizzen dazu: x f(t) t + t, y f(t) t + t, dt f 4t (t) ( + t ). (7) Das ist die Eulersubstitution, die die Halbgerade {(, t) t > } vo Punkt (, ) aus auf den Einheitshalbkreis oberhalb der x-achse projiziert. In der Tat gilt für t > : und Weiter: y + x t ( t ) + ( + t ) t x + y ( t ) + (t) ( + t ). f (t) d dt + ] + t 4t ( + t ). 4(b) Welchen Ter Q(t) erhalten Sie in der Situation der vorhergehenden Teilaufgabe i Spezialfall R(x, y) (x y + )? Schreiben Sie das Ergebnis als gekürzten Bruch Q(t) Z(t) N(t) zweier Polynoe Z und N in das folgende Feld: Q(t) t ( t) (8) Begründung der Forel (8): Mit der Transforationsforel und x, y, /dt von der vorigen Teilaufgabe: Q(t) dt (x y + ) 4t (+t ) t +t t +t + ] 4t ( t ) t + ( + t )] t ( t)

4 4(c) Berechnen Sie das unten angegebene Integral. Schreiben Sie das Ergebnis soweit wie öglich vereinfacht in das nachfolgende Feld: (x log (9) x + ) Begründung der Forel (9): Wir arbeiten it der Transforation aus den vorhergehenden Teilaufgaben. Transforation der Grenzen: li t f(t), f(). Die Grenzen x und x entsprechen daher den transforierten Grenzen t und t. Es folgt: (x x + ) (t ) + (t ) dt t + log( t) + t log ] (t ) dt ] t t ( t) dt 5. Sie dürfen i Folgenden vorhergehende Teilaufgaben auch dann benutzen, wenn Sie diese nicht gelöst haben. Die Forelnuern a Rand sollen Ihnen das Zitieren erleichtern. 5(a) Es sei f :, ] R eine zweial stetig differenzierbare Funktion, wobei die Differenzierbarkeit a Rand einseitig geeint ist. Beweisen Sie: f() + f()] Beweis der Forel (): Mit zweialiger partieller Integration folgt: (x x )f (x) ] (x x )f (x) ( ) ] x f(x) f(x) x x f() + f()] f(x), (x x )f (x) () ( ) x f (x) f(x) wobei die Randtere bei der ersten partiellen Integration gleich sind. 5(b) Nun sei zusätzlich f. Beweisen Sie: Beweis der Forel (): Es git für x : x( x) (x x ) 8 (x x )f (x) 8 f () f ()] () ( x ) (x x ) 8 Multiplizieren wir diese Ungleichung it f (x) und integrieren wir dann von bis, folgt die Behauptung: (x x )f (x) 8 wobei i letzten Schritt der Hauptsatz angewandt wurde. f (x) 8 f () f ()],

5 5(c) Für n N sei gegeben: a n : ( n + ) log n n log(n!) () Beweisen Sie für alle n N: a n+ a n 8 ( n ) n + (3) Hinweis: Verwenden Sie die vorhergehenden Teilaufgaben i Spezialfall f(x) log(x + n). Beweis der Forel (3): Mit f(x) log(x + n), f (x) (x + n) und f (x) (x + n) für x sind die beiden vorhergehenden Teilaufgaben anwendbar und liefern: log n log(n + )] + log(x + n) 8 n + + ] n Nun gilt log n log(n + )] + log(x + n) log(n + ) + log(x + n)] x + (x + n) log(x + n) (x + n)] x ( log((n + )!) + log(n!) + x + n + ) ] log(x + n) (x + n) Setzen wir das oben ein, folgt die Behauptung. 5(d) Beweisen Sie induktiv für alle, n N it n : a a n 8 ( n ) x a n+ a n. (4) it der in Forel () definierten Folge (a n ) n N. Achten Sie bei Beweis besonders sorgfältig auf eine korrekte logische Darstellung, insbesondere bei der Wahl der Variable, über die die Induktion geführt wird, der Induktionsvoraussetzung, der Einführung freier Variablen und de Ugang it Quantoren. Induktionsbeweis: Wir schreiben die Behauptung in der folgenden For: k N, n N : n k a a n 8 ( n )] Wir zeigen dies durch vollständige Induktion über k N. Induktionsanfang, k : Gegeben, n N it n folgt n, also a a n ( 8 n ). Induktionsvoraussetzung: Es sei k N gegeben, und es gelte, n N : n k a a n ( 8 n )] Induktionsschluss: Zu zeigen ist:, n N : n k + a a n 8 Hierzu seien, n N it n k + gegeben. Nun gilt a n+ a n ( 8 n ) n + ( n )]

6 wegen Forel (3) und a a n+ 8 ( n + ) nach der Induktionsvoraussetzung wegen (n + ) k. Durch Addition dieser beiden Ungleichungen folgt die Behauptung so: (a a n+ ) + (a n+ a n ) a a n ( 8 n + ) + ( 8 n ) n + ( 8 n ) 5(e) Geben Sie für reellwertige Folgen (a n ) n N an, wie die Aussage (a n ) n N ist eine Cauchyfolge definiert ist. Schreiben Sie die Antwort als eine prädikatenlogische Forel in das folgende Feld: (a n ) n N ist eine Cauchyfolge : ε > l N l n l : a a n < ε. 5(f) Beweisen Sie, dass die durch die Forel () in Teilaufgabe 5(c) definierte Folge (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Achten Sie auch hier besonders sorgfältig auf eine korrekte logische Darstellung, insbesondere bei der Einführung freier Variablen und de Ugang it Quantoren. Beweis: Es sei ε > gegeben. Mit de archiedischen Axio wählen wir l N so groß, dass 8l < ε gilt. Nun seien, n N it l und n l gegeben. Wir dürfen zusätzlich n annehen; andernfalls vertauschen wir und n. Dann folgt a a n ( 8 n ) 8n 8l < ε, wegen Teilaufgabe 5(d), also die Behauptung: 5(g) Beweisen Sie, dass die durch a a n < ε. b n : nn+ e n n! (5) definierte Folge (b n ) n N in R konvergiert. Beweis: Es gilt b n exp a n für alle n N. Weil die Folge (a n ) n N eine Cauchyfolge ist, konvergiert sie in R. Weil die Exponentialfunktion stetig und daher folgenstetig ist, folgt hieraus auch die Konvergenz von (b n ) n N in R.