Lösungen zur Übungsserie 8

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1 Analysis Herbstseester 08 Prof Peter Jossen Montag, Noveber Lösungen zur Übungsserie 8 Aufgaben,,4,5,6,7,8,9,0, Aufgabe Sei (z n ) n=0 eine konvergente Folge in C ZeigenSie,dass( z n ) n=0 konvergiert und geben Sie den Grenzwert an Ipliziert ugekehrt die Konvergenz von ( z n ) n=0 die Konvergenz von (z n ) n=0? Lösung Sei ">0 Es existiert N N, sodass z n z <"für alle n N Durchdie Dreieckungleichung erhalten wir z n z apple z n z <" für alle n N Soitfolgt,dassdieFolge( z n ) n=0 konvergiert, it Grenzwert z Die Ugekehrung gilt nicht Sei z n =( ) n, dass heisst Re(z n )=( ) n und I(z n )=0 Es gilt z n =Soiterhaltenwir,dass( z n ) n=0 gegen konvergiert Weil Re(z n )=( ) n nicht konvergent ist, dann ist (z n ) n=0 nicht konvergent Aufgabe Sei (z n ) n=0 eine Folge in C ZeigenSie,dass(z n ) n=0 genau dann eine Cauchy- Folge ist, wenn (Re(z n )) n=0 und (I(z n )) n=0 beides Cauchy-Folgen sind Lösung Angenoen (z n ) n=0 sei eine Cauchy-Folge Für ">0 existiert dann ein N N, so dass z z n <"für alle, n N Wie Vorlessung folgt Re(z ) Re(z n ) apple z z n <" I(z ) I(z n ) apple z z n <" für alle, n N Dieszeigtwiegewünscht, dass die Folgen (Re(z n )) n=0 und (I(z n )) n=0 Cauchy-Folgen sind Weil (Re(z n )) n=0 und (I(z n )) n=0 beides Cauchy-Folgen sind, folgt aus Cauchy-Kriteriu, dass beides Folgen konvergent sind Soit konvergiert (z n ) n=0 aus z n =Rez n +Iz n i für alle n N Überprüfen Sie, dass dies (z n ) n=0 Cauchy-Folge iplieziert Aufgabe 4 Sei z C it z < Zeigen Sie, dass li nz n =0gilt

2 Lösung Es genügt zu zeigen, dass Wir wissen li p n n =und li z n =0 Sei " = z > 0 Es existiert N N it für alle n z N Soitfolgt für alle n N Weil z + z < ist,gilt li nzn = li( np n z ) n =0 np n < z z np n z < z + z li z + Durch Sandwich Lea, folgt li ( np n z ) n =0 < z n =0 Aufgabe 5 Sei (z n ) n= eine konvergente Folge in C ZeigenSie,dassdieFolgederCesaro- Mittel (w n ) n=, gegebendurch w n = nx z k n für n konvergiert,unddenselbengrenzwertwie(z n ) n=0 hat Überzeugen Sie sich auch davon, dass die ugekehrte Iplikation nicht gilt, das heisst, dass die Konvergenz der Cesaro- Mittel nicht Konvergenz der Folge ipliziert Lösung Konvergenz von (w n ) n= folgt aus direkter Abschätzung: Ni ">0, N N it n N =) A z n <"Danngiltfür gross genug Es folgt w A = apple k= NX (z k A) <" k= NP (z k A)+ k= NP (z k A) + k= <"+ "( N) < " Daraus schliessen wir, dass (w n ) n= konvergiert P k=n+ P k=n+ (z k A) Die ugekehrte Iplikation gilt nicht Sei (z n ) n= gegeben durch 8 < n gerade z n = : 0 n ungerade (z k A)

3 (z n ) n= ist nicht konvergent Es gilt jedoch, dass w n = n n für alle n istsoiterhalten wir, dass li w n = gilt Aufgabe 6 Seien (a n ) n=0,(b n ) n=0 und (c n ) n=0 konvergente Folgen reeller Zahlen, it Grenzwerten A, B und C respektive Sei (x n ) n=0 die Folge definiert durch 8 >< a n falls 3 n x n = b n falls 3 n >: c n falls 3 n für n N BerechnenSielisupx n,liinf x n und die Menge der Häufungspunkte der Folge (x n ) n=0 Lösung obda haben wir A apple B apple C DanngibtN N, sodassa n apple b n apple c n für alle n N gilt Es folgt li sup x n = li sup{x k k n} = li sup{c k k n} = C Ähnlich überprüfensie, dassliinf x n = A ist Die Häufungspunkte sind A, B, CTatsächlich nehen wir an, dass H 6= A, B, C eine Häufungspunkt existiert Soit gibt eine Folge (x nk ) k=0 it x nk H < k für alle k 0 Es folgt, dass li k! x nk = H ist obda wählen wir eine Teilfolge (x k ) k=0 von (x nk ) k=0,wobei3 ksoitgiltli k! x k = A Widerspruch! Daraus schliessen wir, dass die Häufungspunkte A, B, C sind Aufgabe 7 Sei (x n ) n=0 die Folge reeller Zahlen, rekursiv definiert durch x 0 =undx n+ = + x n BerechnenSiex 0,x,x,x 3,x 4,x 5 KonvergiertdieFolge?Fallsja,bestienSieden Grenzwert Was passiert, wenn an x 0 = A für eine andere reelle Zahl A>0setzt? Lösung Die erste Feststellung ist, dass aufgrund der Rekursionsforel und des Startwerts x =diefolge(x n ) n= durch nach unten beschränkt ist Weiters uss der Grenzwert x = li x n falls er existiert die Fixpunktgleichung x =+ x erfüllen, wie durch Durchführung des Grenzübergangs in der Rekursionsforel folgt Diese Gleichung hat als einzige Lösungen die Zahlen ( ± p 5) Da ( p 5) < 0 ist, bleibt als einziger Kandidat für den Grenzwert der goldene Schnitt g := ( + p 5) übrig Wir präsentieren nun zwei Möglichkeiten für den Beweis, dass tatsächlich li x n = g gilt

4 Monotone Teilfolgen Durch Berechnen einiger Folgenglieder gelangt an zur Verutung, dass sich die Teilfolge (x n ) n= der ungeraden Folgenglieder von unten onoton wachsend an g annähert, während (x n ) n= von oben onoton fallend gegen g strebt Die -Schritt-Rekursionsgleichung für x n (welche die Rekursionsgleichung für die ungerade und gerade Teilfolge darstellt) lautet x n+ =+ =+ x n+ + =+ x n x n +x n Durch Uforen sieht an anhand dessen, dass für n N sowohl x n+ x n () x n ( + p 5) x n ( p 5) apple 0 () x n apple g als auch x n+ apple g () x n apple g gilt Wegen x =appleg und x = g folgt aus diesen Äquivalenzen, dass die Teilfolge (x n ) n= durch g nach oben beschränkt und onoton wachsend ist, während (x n ) n= durch g nach unten beschränkt und onoton fallend ist Die Konvergenz von onotonen und beschränkte Folgen ipliziert also die Konvergenz dieser Teilfolgen Bestien der positiven Lösungen der zur -Schritt-Rekursionsgleichung gehörigen Fixpunktgleichung x =+ x x + ergibt, dass wiederu nur g als Grenzwert in Frage kot Es gilt also und dait li x n = g = li x n, li x n = g Geoetrische Folge als obere Schranke Wir wollen direkt zeigen, dass der Abstand x n den Zusaenhang zwischen x n+ g und x n g Wir finden x n+ g = + x n + g wobei wir die Rekursionsgleichung, g =+ g und x n g gegen 0 strebt und untersuchen deshalb = x n g x n g 0 apple x n+ g appleg n x g apple g x n g, verwendethabeninduktivfolgt Wegen g < strebtg n für n!gegen 0, und zusaen it de Sandwichlea zeigt dies also li x n = g li x n g =0, Wenn x = A für eine reelle Zahl A>0ist,dannistx =+ Soitüberprüfen Sie, dass A x n für alle n giltdurchdieobigebeweiserhaltenwir,dass(x n ) n=0 konvergiert und li x n = g

5 Aufgabe 8 Sei (F n ) n=0 die Folge der Fibonacci-Zahlen, definiert durch F 0 =0,F =und rekursiv F n+ = F n + F n Sei(x n ) n=0 die Folge reeller Zahlen gegeben durch x n = F n+ F n Berechnen Sie x 0,x,x,x 3,x 4,x 5 KonvergiertdieFolge(x n ) n=0? Falls ja, bestien Sie den Grenzwert Lösung Es gilt F n > 0für alle n Wir können die Rekursionsforel also durch F n+ dividieren und erhalten F n+ =+ F F n+ n+ Fn+ für n Weiters gilt F 3 F = Also ist F n+ genau die Folge aus Aufgabe 7 (sie hat n=0 denselben Startwert und erfüllt dieselbe Rekursionsgleichung) und konvergiert soit gegen ( + p 5) Die Indexverschiebung ist für den Grenzwert natürlich irrelevant, also folgt auch F n F n+ li = F n ( + p 5) Aufgabe 9 Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen x 0 die Ungleichung +x + x apple exp(x) gilt Zeichnen Sie die Graphen der Entsprechenden Funktionen Lösung Wir wissen, dass Soit folgt exp(x) = li nx k=0 n x k k n k exp(x) = li + x n n li +n x n + n(n ) x n =+x + x Aufgabe 0 Sei >0 eine positive Zahl Zeigen Sie, dass eine reelle Zahl C > 0existiert, derart, dass log(x) apple C x für alle x>0gilt Lösung Per Definition ist x =exp( log x) Da log bijektiv von R >0 nach R ist, reicht es also nach Setzen von y := log x ein C > 0 zu finden, so dass die Ungleichung () C y apple exp( y) für alle y R gilt Unter Verwendung der Abschätzung exp x sofort exp( y) + y y +x erhalten wir aber

6 für jedes y R MitderWahlC := ist () also für jedes y R erfüllt Aufgabe Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen x> undp diestetigebernoulli Ungleichung ( + x) p +px gilt Lösung Für N ist es die bekannte Bernoulli Ungleichung Sei = n Q, wobei n Sei x> Wir haben y = x > Durch die Ungleichung von aritetischen und geoetrischn Mittel, folgt Soit gilt ( + y) p n n = {z } ( + y) ( + y) apple {z } n (( + y) + n ) =+ n y n Weil y = x ist, erhalten wir ( + y) apple + y + x apple ( + x) Sei x apple und x> Dann gilt 0 + x Ausserde ist ( + x) 0 Soit folgt ( + x) + x Es bleibt zu zeigen, dass die Ungleichung für allgeeine p R gilt Allgeein folgt die Aussage aus Stetigkeit von 7! exp( log( + x)) und Dichtheit von Q in R Seip R und (z n ) n= gegeben durch z n = bnpc Q für alle n n Wir haben dass (z n ) n= gegen zu p Soitgilt 0 apple li (( + x) zn ( + z n x)) = li ( + x) zn ( + px) = li exp(z n log( + x)) ( + px) =exp(p log( + x)) ( + px) =(+x) p ( + px)