Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung

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1 Die Maxwell-Boltzann-Verteilung Sebastian Meiss 5. Oktober 8 Mit der Maxwell-Boltzann-Verteilung kann an Aussagen über die Energie- bzw. Geschwindigkeitsverteilung von Teilchen in eine Syste beschreiben. Wir wollen hier das ideale Gas betrachten und benötigen zunächst folgenden Satz Boltzannscher Verteilungssatz Sei ein Syste it i Zuständen und den dazugehörigen Energien E i gegeben, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen des Systes i Zustand i befindet, zu beschreiben durch P i = g i e E i kt Wobei P i die Wahrscheinlichkeit ist, g i das sog. statistische Gewicht des Zustandes, k die Boltzannkonstante und T die Teperatur. Diese Betrachtung ist diskret, das heißt, an nit endliche viele (zb. ) Zustände an und verteilt die Teilchen darauf, als ob an sie in Kisten einsortiert. Da wir in eine Gas aber bezogen auf die Geschwindigkeit keine diskreten Niveaus haben, sondern einen fließenden Übergang, üssen wir das Syste differentiell betrachten und schließlich zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gelangen(boltzann-verteilung). Eindiensionale Betrachtung in x-richtung Zunächst einal nehen wir nun zur Betrachtung ein ideales Gas it n Molekülen. Sei weiterhin der Anteil der Gasoleküle, die eine Geschwindigkeit v x besitzen (Betrachtung nur in x-richtung!) gleich n i. So können wir auch sofort als olare Beziehung it N und N i forulieren N i = N e E i kt = N e v x Die zweite Gleichung ergibt sich aus de Einsetzen der kinetischen Energie E = v x. Betrachte ich dies nun differentiell (also auf einen sehr kleinen Ausschnitt bezogen (erinnern wir uns an die Herleitung der ersten Ableitung)) so ergibt sich (it A als unbekannte Vorfaktor) dn dv x = A N e v x

2 Noriere ich nun, inde ich durch N teile und fore u, so koen wir zu dn N = A e vx dvx Da wir nun noriert haben, das heißt von de Absolutbetrag von N unabhängig sind, können wir folgende Aussage achen: dn N = Wenn wir über den gesaten Bereich integrieren, uss a Ende rauskoen, da wir alle Teilchen erfasst haben üssen. Setze ein und erhalte Ae v x dvx = Ich suche nun den Vorfaktor A, da ich zu folgende Ergebnis koen öchte: Ich habe einen Ter für dn N. Ich öchte die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Geschwindigkeiten auftragen. Für die Wahrscheinlichkeitsdichten gilt f(v x ) = dn N dv x Das ist super, aber ich kenne A noch nicht. Also kann ich f(v x ) noch nicht bilden. A uss ich bestien it Hilfe der Integralbeziehung Ae v x dvx = inde ich auflöse v e x dv x Ich wende nun die Integration durch Substitution an, ich substituiere und setze ein, dann steht da z = v x z = v x dz = dv x e z dz

3 Konstantes vor das Integral e z dz Das hintere Integral ergibt sich zu π, das uss an an dieser Stelle al hinnehen (Forelsalung). π So und jetzt ist es nur noch Bruchrechnen Nun kann ich f(v x ) angeben als Mit A folgt dann π = = π π πkt f(v x ) = dn N = A e vx dvx = A e dv x dv x f(v x ) = πkt e Dies ist die eindiensionale Verteilungsfunktion. v x v x Abbildung : Eindiensionale Verteilungsfunktion eines idealen Gases für T < T 3

4 Weiter zur dreidiensionalen Betrachtung Die Berechnung der Dichtefunktion i Dreidiensionalen ist ungleich koplexer als i Eindiensionalen, da sich die Geschwindigkeit hier in drei Koponenten (x,y,z) zerlegen lässt. Es sei hier nur der Weg beschrieben, wie an zur Dichtefunktion gelangt. Zunächst einal betrachtet an die Geschwindigkeit nicht ehr in kartesischen, sondern in Kugelkoordinaten(Polarkoordinaten, siehe PDF). Integriert an nun über die Winkel der Polarkoordinaten, gelangt an schließlich zu der Verteilungsfunktion f f(v) v e v πkt Diese Kurve kann für kleine v und große v interpretiert werden. Bei kleinen v überwiegt der Ter v, f geht also gegen und gleicht einer Parabel. Bei großen v überwiegt die Exponentialfunktion, f nähert sich also dieser an. Mit diesen Überlegungen ist es nun leicht, den Graphen von f zu verstehen Abbildung : Dreidiensionale Verteilungsfunktion eines idealen Gases für T < T 4

5 Berechnen arkanter Punkte Bedeutung: Drei Punkte an diese Graphen sind von besonderer Die Durchschnittgeschwindigkeit v avr Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v MP Die ittlere quadratische Geschwindigkeit v RMS U die ittleren Geschwindigkeiten zu finden, wendet an die allgeeine For zur Mittelwertfindung an: n p = p i f(p i ) Das ist die diskrete Betrachtung, wir suieren über alle x, daher p = i= p(x)f(x)dx Wir können also die ittleren Geschwindigkeiten eritteln als und it v avr =< v >= v RMS = < v > < v >= vf(v)dv v f(v)dv Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit entspricht de Maxiu der Kurve. Dieses kann durch Nullsetzen der ersten Ableitung bestit werden. Berechne nun als Beispiel hier v RMS : < v > = < v >= πkt πkt v f(v)dv v v e v dv v v e v dv v 4 e v dv Die Forelsalung liefert nun das Ergebnis für ein Integral der For x 4 e ax 3 π 8 wobei a 5 a = zu 5

6 < v > πkt < v > πkt πkt πkt πkt v 4 e v dv v 4 e av dv π ( ) 5 [ ] 5 ] 5 π 3 π 8 Zur Auflösung der Exponenten kann an das nun unter eine Wurzel schreiben und kürzen < v >= 3 ( ) ( ) π π πkt < v >= 3 8 4π 4k T π Ziehe nun die Wurzel < v >= 3 4π 8 π < v >= 3kT = 3RT M a Ende it olarer Masse eingesetzt (dann wird k zu R (Boltzann- nach allg. Gaskonstante) Jetzt kann ich v RMS bestien v RMS = < v > 3RT v RMS = M Ohne Herleitung geben wir nun die restlichen Foreln an, v a vr geht analog zu v RMS und v MP wird ittels Ableiten und Nullsetzen bestit: 8RT v avr = πm RT v MP = M Zwischen den Geschwindigkeiten gilt stets das Verhältnis v RMS : v avr : v MP = :, 9 :, 8 6

7 Interpretation des Graphen Man kann den Graphen der Verteilungsfunktion noch weiter interpretieren. Wichtig ist zunächst eines: Nicht nur die Teperatur bestit das Aussehen des Graphen, sondern genauso die Masse der Teilchen. Das bedeutet, dass natürlich bei gleicher Teperatur schwere Teilchen deutlich langsaer sind als leichte Teilchen. Auch eine energetische Betrachtung ist öglich. Fasst an die Aktivierungsenergie einer Reaktion als nötige Geschwindigkeit der Gasteilchen auf, so ist unittelbar zu erkennen, dass bei einer höheren Teperatur ein größerer Anteil Gasoleküle die nötige Energie besitzt. Abbildung 3: Dreidiensionale Verteilungsfunktion eines idealen Gases, energetische Betrachtung für T < T Während bei T nur wenige Teilchen die nötige Energie haben (roter Bereich) ist der Bereich bei T wesentlich größer (blau schraffiert). 7