T4p: Thermodynamik und Statistische Physik Prof. Dr. H. Ruhl Übungsblatt 1

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Ewald Acker
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1 T4p: Therodynaik und Statistische Physik Prof. Dr. H. Ruhl Übungsblatt Lösungsvorschlag. Noral-Verteilung Die Noral-Verteilung ist definiert als w() Ce ( ) /σ. a) Bestien Sie die Konstante C sodass w() auf eins noriert ist. b) Berechnen Sie X, die Varianz X X und X 4. Lösungsvorschlag: a)! C C d w() () d e ( ) /σ () dy e y /σ (3) C πσ (4) C (5) πσ wobei von () auf (3) die Substition y geacht und verwendet wurde. dy e y /σ πσ (6)

2 b) X πσ πσ πσ, d e ( ) /σ dy (y + ) e y /σ dy y e y /σ + dy e y /σ }{{} } {{ } πσ (7) wobei der erste Ter von (7) verschwindet, da der Integrand eine ungerade Funktion ist. U die Varianz zu berechnen, verwenden wir die Definition (X X ). Die eplizite Berechnung von X X liefert dasselbe Ergebnis. Wir wissen, dass X ist, dait berechnet sich die Varianz wie folgt: (X X ) d ( ) e ( ) /σ πσ πσ dy y e y /σ. (8) U das verbleibende Integral auszurechnen, verwenden wir folgende Beobachtung: Dait ergibt sich dy y e αy α α π α π α 3/. dy e αy σ.

3 Die Berechnung von X 4 funktioniert analog: X 4 πσ πσ πσ πσ d 4 e ( ) /σ dy (y + ) 4 e y /σ dy (y y + 6 y + 4 y ) e y /σ dy (y y + 4 ) e y /σ. Dabei haben wir i letzten Schritt verwendet, dass die Integrale über ungerade Potenzen von y aufgrund der Anti-Syetrie des Integranden verschwinden. Das letzte unbekannte Integral berechnen wir wieder über eine Ableitung: und soit erhalten wir dy y 4 e αy dy e αy α π α α 3/ 3 π 4α 5/ X 4 3σ 4 + 6σ Stirling-Forel Verwenden Sie die Integral-Darstellung der Fakultätsfunktion, u die Stirling-Forel N! N! πn herzuleiten. Gehen Sie dazu wie folgt vor: d N e, (9) N für N () e a) Zeigen Sie, dass der Integrand von (9) gegeben ist durch e f() it f() N ln. Überzeugen Sie sich (etwa grafisch it gnuplot oder Matheatica), dass für große N der Integrand ein scharfes Maiu bei aufweist und bestien Sie.

4 b) Nehen Sie nun an, dass das Integral hauptsächlich durch die Ugebung dieses Maius doiniert wird und entwickeln Sie f() bis zur zweiten Ordnung in eine Taylor-Reihe u. Das resultierende Gauß-Integral können Sie nun eplizit auswerten inde Sie die untere Integral-Grenze auf ausdehnen. Waru acht an dabei nur einen vernachlässigbaren Fehler? Lösungsvorschlag: a) Der Integrand lässt sich folgenderaßen uschreiben: it f() N ln. Wir bestien das Maiu : N e e ln N e e N ln e f() () df() d N! N. () b) Wir entwickeln den Integranden u das Maiu it f ( ) : N! e f( ) d e f() Die zweite Ableitung ist gegeben durch d e f( ) f ( ) ( ) (3) d e f ( ) ( ). (4) und soit d f() d N (5) N! e (N ln N) πn ( N e d e ( N) N (6) ) N. (7) I letzten Schritt haben wir die untere Integrationsgrenze auf erweitert, da das Integral stark durch den Bereich u N für N doiniert wird, weshalb der Fehler in der Integration dann vernachlässigbar ist.

5 ep( f()) für N ep( f()) für N.5 e ep( f()) für N 5.8 e ep( f()) für N 4. e e f() für verschiedene Werte von N. Schon für N weist der Integrand ein etre scharfes Maiu auf. 3. Spin-Syste Betrachten Sie ein Syste von N Spins, welche nicht iteinander wechselwirken. Jeder Spin hat dabei die zwei (gleich wahrscheinlichen) Möglichkeiten, entweder nach oben ( ) oder nach unten ( ) zu zeigen. Die Anzahl der nach oben zeigenden Spins sei. a) Berechnen Sie die Anzahl Ω aller öglichen Zustände des Systes. b) Wie groß ist die Anzahl Ω() der öglichen Zustände bei denen Spins nach oben zeigen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w() dafür? c) Berechnen Sie N w() und den Mittelwert N w(). e) Verwenden Sie die Stirling-Forel, u für Ω() aus Teilaufgabe b) für

6 N, folgenden Ausdruck herzuleiten: N N N Ω() (N ) N π(n ) (8) Lösungsvorschlag: a) Für den ersten Spin gibt es zwei Möglichkeiten, für den zweiten Spin wieder zwei Einstellöglichkeiten usw. Ω N. b) Es gibt ( N ) Möglichkeiten, die Spins so zu verteilen, dass davon nach oben zeigen ( Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge ). Die Wahrscheinlichkeit w() ist dann w() Ω() Ω ( N ) N N!!(N )! N. (9) c) Hierbei haben wir w() N N (a + b) N () N () N ( + )N. () a b N (3) verwendet. U zu berechnen, verwenden wir wieder (3), setzen aber b und a : ( + ) N Leitet an nun (4) nach ab, erhält an N( + ) N (4). (5)

7 Setzt an nun, erhält an N N (6) und dait N N. (7) d) Ω() N!!(N )! N N e e N (N ) N e N N N (N ) N N π(n ) πn ππ(n )

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