Normalverteilung Approximation der Binomialverteilung

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1 Noralverteilung Approiation der Binoialverteilung Für großes n ist der rechnerische Aufwand zur Bestiung von (Bernoulli-) Wahrscheinlichkeiten, dass eine binoialverteilte Zufallsfunktion die Funktionswerte aus de Intervall [ k ; k 2 ] annit, kau zu bewältigen. Es liegt der Gedanke nahe, deshalb Binoialverteilungen durch eine (stetige) Funktion zu approiieren, woit gleichzeitig das Proble eines kontinuierlichen (statt diskreten) Wahrscheinlichkeitsaßes gelöst wäre. Vo Säulendiagra ausgehend ist die Höhe einer Säule, bzw der Flächeninhalt bei Säulenbreite, signifikant für eine konkrete Wahrscheinlichkeit. I kontinuierlichen Fall einer stetigen Funktion kann an natürlich nicht Funktionswerte addieren sondern wird den Flächeninhalt unter de Graphen eindeutig bestien können. Verschiedene Binoialverteilungen sehen i Histogra unterschiedlich aus. Die Syetrie kann an bei unsyetrischer Trefferwahrscheinlichkeit p und Nietenwahrscheinlichkeit q durch großes n erzwingen ( Laplace-Bedingung: 2 > 9 ), der Erwartungswert µ wandert jedoch für wachsendes n nach rechts, die Gesatverteilung wird graphisch breiter und flacher. Will an also alle Binoialverteilungen, die die Laplace-Bedingung erfüllen, durch eine Funktion n approiieren, so sind die Verteilungen zunächst einal auf ein einheitliches graphisches Aussehen zu transforieren!. Verschiebung des Erwartungswertes: k 6 k - µ woit für alle Verteilungen gilt: µ =. 2. Norierung (Stauchung) der Breite: k&µ 6 k&µ woit alle Verteilungen eine Einheitsbreite besitzen. 3. Norierung (Streckung) der Höhe: B(n;p;k) B(n;p;k) dait der Verlust an Flächeninhalt (von 2.) ausgeglichen wird und ein einheitlicher Graph entsteht. B(n;p;k) ': φ k & µ ] B(n;p;k) φ k & µ (Kontinuierliche) Wahrscheinlichkeitsaße lassen sich also nun über Flächeninhalte unter eine geeigneten Funktionsgraphen bestien: P(X#c) c & n t&µ dt ' c&µ & n() d ': Φ c&µ ' Φ c&µ Beachte: Substitution ' t&µ Y d dt

2 Noralverteilung Approiation der Binoialverteilung Welches ist nun eine geeignete Funktion n? Auf C.F. Gauß geht zurück: n() ' e &a@ 2. Doch wie sind die Paraeter a und b zu wählen? - Nach der 2. Transforation ist - Intervall gerade [ - ; ] und der Graph der norierten Verteilung sieht so aus, als wäre an diesen Stellen (i Sinne der Analysis) eine Wendepunktstelle. Bestätige, dass dait: a = ist! 2 Der Paraeter b ist nun so zu wählen, dass der gesate Flächeninhalt unter de Graphen ist, d.h.: I ' b :' & e & 2 d. Nun koen üble Tricks (Oberflächenintegral), die an erst richtig auf der Universität lernt. I 2 ' ' & & & & e & e & 2 d dy e & %y 2 ) d dy ' e & dn dr e & 2 dr &e & 2 ' Bei Übergang zu Polarkoordinaten (3. Zeile) gilt für ein Flächendifferential: dy = ( dr. Dait ist b :' Y e & 2 d e & 2 heißt Gaußsche Dichtefunktion, die zugehörige (un- Die Funktion n it n() :' eigentliche) Integralfunktion Φ (it unterer Grenze - ) heißt Gaußsche Suenfunktion.

3 Noralverteilung Approiation der Binoialverteilung Gaußsche Dichte- und Suenfunktion, y,9,8 F,7,6,5,,3 f,2, Aufgaben: () Begründe, dass gilt: P X ]µ&n@ ;µ%n@ [ ' n &n φ()@d (2) Bestit werden soll ein Maß für die Sicherheit, it der sich ein Ergebnis einer binoialverteilten Zufallsfunktion i -, 2 - oder 3 - Intervall befindet. Dies soll durch nuerische Integration it Hilfe des Sipson-Verfahrens geschehen. Aus de Graphen der Dichtefunktion n ist zu schließen, dass die Approiation durch 3 Parabeln (Keplersche Faßregel; d.h. Einteilung des Intervalls in 6 Teilintervalle) schon sehr gut sein üsste. - Ergänze die Tabelle durch die fehlenden Werte. n P( X ] µ- ; µ+ [ ). P( X ] µ-2 ; µ+2 [ ). P( X ] µ-3 ; µ+3 [ ). 2, ,35835,663283,68358,97277, ,682798,952, , ,95973,

4 Noralverteilung Approiation der Binoialverteilung Nun zur praktischen Anwendung der Noralverteilung. Wir erinnern uns an die wesentlichen Beziehungen: ' k&µ 2 ; y B(n;p;k) und P(k # X # k 2 ). φ(t)@dt wobei n die Gaußsche Dichtefunktion ist. Nun taucht jedoch bei der Approiation einer diskreten Binoialverteilung durch eine stetige Funktion noch ein kleines Proble auf. Die Stellen und 2 sind die jeweiligen Mitten der Histograsäulen, it der Breite, für die Trefferwahrscheinlichkeiten k und k 2. Wir üssen also einen Randausgleich durchführen, d.h. nach links und 2 nach rechts verschieben, und zwar Dait 2 ergibt sich: :' k 2 :' k 2 &,5 & n@p %,5 & n@p Je größer n ist, uso weniger spielt der Suand,5 i Zähler eine Rolle. Faustregel: Ab n= ist der Randausgleich von,5 i Zähler zu vernachlässigen. Wir erinnern uns weiterhin, für praktische Berechnungen, an die Definition der Gaußschen Suenfunktion Φ: Φ() :' & φ(t)@dt und eine sehr nützliche Folgerung aus der Achsensyetrie von n zur y-achse bzw. der Punktsyetrie von Φ zu Punkt : * 2 & Φ(&) ' φ(t)@dt & ' & Φ() ' & φ(t)@dt &

5 Noralverteilung Approiation der Binoialverteilung Nun 2 Aufgaben: ) Ein Händler bietet Gurkensaen an, die erfahrungsgeäß zu 95 % keifähig sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 ausgesäten Körnern a) höchstens 7 b) indestens 7 und höchstens 85 c) indestens 8 keien? Lösung: µ ' 5@ 95 ' 75 ; ' 75@ 5 ' 23,75 a) P( X # 7) = Φ 7&75 23,75. Φ(&,3).,55 P( X # 7) = Φ 7%,5&75 23,75. Φ(&,92).,788 b) P( 7 # X # 85). Φ ( 2,5 ) - Φ ( -,3 ).,8283 c) P( X $ 8 ) = - P( X # 79). - Φ (,82 ).,26 2) Die Lebensdauer X (in k) eines Autootors einer bestiten Marke sei angenähert noralverteilt it de Erwartungswert µ = 5 und der Standardabweichung =. 2 Lösung: a) Bei wie viel Prozent der Motoren übersteigt die Lebensdauer 2 k? b) Bei wie viel Prozent der Motoren weicht die Lebensdauer u ehr als 2 k vo Erwartungswert ab? a) P( X > 2 ) = & Φ 2&5. & Φ(,5).,668 b) P(*X & 5* > 2) ' & Φ 2.,232 2 Beachte: Bei Aufgabenteil a) einal ohne, einal it Randausgleich. Die Faustregel ist nicht erfüllt! Dies ist eine reine Aufgabe zur Noralverteilung und hat it der Approiation der Binoialverteilung nichts ehr zu tun. Quelle: Labacher-Schweizer: Stochastik Leistungskurs, Klett Verlag