Modul Lineare Gleichungen

Transkript

1 Modul Lineare Gleichungen Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Hund und eine Leine gekauft und vergessen, was wieviel gekostet hat. Sie wissen nur noch, daß Hund und Leine zusaen 0 gekostet haben. Also rufen Sie i Tierladen an und da wird Ihnen gesagt, daß der Hund 00 ehr als die Leine gekostet hat. Was, sie haben die Lösung schon bei Lesen erraten, 0 die Leine und 00 der Hund? Nett, aber leider falsch denn dann wäre der Hund nur 90 teurer als die Leine gewesen Wir haben hier ein Beispiel für ein Syste von linearen Gleichungen. Versuchen wir, die Tetangaben in Gleichungen uzusetzen. Dazu bezeichnen wir den Preis des Hundes it H, den Preis der Leine it L.. Beides zusaen hat 00 gekostet: H L 0 2. Der Hund war 00 teurer als die Leine: H L 00 Stellen wir nun beide Gleichungen u, so daß links die Variablen stehen und rechts die konstanten Zahlen: H L 0 H L 00 Natürlich können wir nun einsetzen, aber probieren wir al etwas Neues: Wir subtrahieren beide Gleichungen voneinander ) H L 0 2) H L 00 ) 2) 2L 0 Dait haben wir eine Gleichung it einer unbekannten, die wir nun lösen können: 2L 0 L 5 Addieren wir die beiden Gleichungen, so erhalten wir: ) H L 0 2) H L 00 ) 2) 2H 20 Und schon wieder haben wir eine Gleichung, die nur eine Unbekannte enthält und die wir lösen können: 2H 20 H 05 Der Wuffel hat also 05 gekostet, die Leine 5. Und was haben wir gelernt: Wir können Gleichungen addieren und so zusehen, daß einzelne Variablen herausfallen. Allgeeine lineare Gleichungssystee Ein lineares Gleichungssyste sieht in allgeeiner For so aus: Es hat Variablen und n Gleichungen Modul lineare Gleichungen Seite von 9

2 a a a... a b,,2 2,3 3, a a a... a b 2, 2,2 2 2,3 3 2, a a a... a b n, n,2 2 n,3 3 n, n 2 Die Koeffizienten a i, j sind die Faktoren vor den Variablen j, die konstanten Zahlen b i sind die Zahlen auf der rechten Seite. Bei den Koeffizienten bezeichnet der erste Inde i die Nuer der Gleichung, der zweite Inde j zu welcher Variablen sie gehören. Daß unsere Variablen j heißen, interessiert eigentlich nieanden, wichtig sind lediglich die Koeffizienten und die Konstanten. Diese können wir auch in ein eigenes Schea schreiben: a, a,2 a, b a2, a2,2 a2, b2 an, an,2 an, b n Dieses Schea nennen wir die erweiterte Koeffizientenatri. Jede Zeile in diese Schea steht dabei für eine Gleichung u linearen Gleichungssyste, jede Spalte für eine Variable. Unser Hund-Halsband- Proble sähe dann übrigens so aus: H L 0 0 H L Die obere Dreiecksatri Stellen wir uns nun einal vor, wir könnten das allgeeine Gleichungssyste uforen: a,2 a,3 a, b 0 a a b 2,3 2, a b b n, n n Dieses Syste hat auf der linken Seite unterhalb der Diagonalen (= a i, i nur Nullen, auf der Diagonalen nur Einsen. Der Strich an den Größen heißt, daß sich die Zahlenwerte bei Uforen verändert haben (können). Diese Matri nennt an (zuindest den linken Teil davon) Obere Dreiecksatri. Sehen Sie sich nun einal die unterste Zeile an, die steht doch für eine Gleichung: b b Dait haben wir die Variable bereits bestit! In der Zeile darüber steht nun: Modul lineare Gleichungen Seite 2 von 9

3 0 0 a n b a b 2 n b a n Sieht kopliziert aus, aber: Die Variable haben wir aus der letzten Zeile bestit, dann können wir dait aus der vorletzten Zeile die Variable bestien! Aus der Zeile darüber können wir nun die Variable 2 bestien, da wir und schon kennen und so weiter bis zur obersten Zeile für. In jeder Zeile können wir eine neue Variable berechnen. Ein solches Verfahren nennt an rekursiv. Erlaubte Zeilenoperationen Grundlage dafür ist aber, daß wir die Matri in eine obere Dreiecksatri uforen können. Dazu gibt es die erlaubten Zeilenoperationen, eine davon haben wir schon bei Hund-Leine-Beispiel gesehen: Wir dürfen zwei Geleichungen addieren, ohne das Gleichungssyste zu verändern. Da in der erweiterten Koeffizientenatri jede Zeile für eine Gleichung steht, nennen wir das nun erlaubte Zeilenoperationen: Man darf zu einer Zeile eine andere dazu addieren Man darf eine Zeile it einer Zahl ultiplizieren (was de Multiplizieren einer Gleichung it einer Zahl entspricht Man darf zwei Zeilen vertauschen (was de Vertauschen von zwei Gleichungen entspricht) Mit diesen Operationen können wir tatsächlich jede Matri in eine obere Dreiecksgestalt bringen! Der Gauss-Algorithus Sehen wir uns das Procedere an eine Beispiel an: Wir haben das Beispielgleichungssyste Bringen wir das Syste in die erweiterte Koeffizientenatri. In Zeile 2 und 3 ist 3 nicht enthalten, also hat es den Faktor 0. Dait wird unser Gleichungssyste zu Die Koeffizientenatri lautet dann: Modul lineare Gleichungen Seite 3 von 9

4 Wir wollen jetzt, daß unter der Diagonalen nur Nullen stehen. Dazu gehen wir Spaltenweise vor. Zuerst setzen wir ein sogenanntes Pivoteleent (Pivot bedeutet ausgezeichnet ) auf den ersten Koeffizienten a,. Dait ist unsere Pivotzeile = und unsere Pivotspalte auch Zuerst achen wir das Pivoteleent zu dazu teilen wir die Pivotzeile durch den Wert des Pivoteleentes. U die Übersicht zu wahren, schreiben wir die Rechenoperation neben die Zeile: Nun ziehen wir von den Zeilen unter der Pivotzeile geeignete Vielfache ab, so daß alle Werte in der Pivotspalte unter de Pivoteleent zu Null werden. Also: von Zeile 2 ziehen wir die Pivotzeile ab, von Zeile 3 das Zweifache der Pivotzeile. Abziehen bedeutet, daß wir jeweils die Werte in den Spalten subtrahieren. Achtung: Es wird ier nur die Pivotzeile bzw. ein Vielfaches davon von den Zeilen unterhalb abgezogen, nieals eine andere Zeile! Ansonsten würden wir Gefahr laufen, unser Gleichungssyste kaputtzuachen Z Z Jetzt sind wir it der ersten Spalte fertig, auf der Diagonale steht die und darunter nur Nullen. Nun wandern wir it den Pivoteleent eine Zeile und eine Spalte weiter: Wir achen das Pivoteleent wieder zu, inde wir die ganze Zeile durch den Wert teilen. Dieser Schritt heiß übrigens Noralisieren ( ) U jetzt die Null unter de Pivoteleent zu erzeugen, ziehen wir von der dritten Zeile einal die Pivotzeile ab: Z Modul lineare Gleichungen Seite 4 von 9

5 Jetzt sind wir fast fertig wir lassen unser Pivoteleent in die letzte Zeile uns Spalte wandern und noralisieren: ( 6) Sehen wir uns nun die letzte Zeile an, so entspricht sie der Gleichung Dait haben wir den Wert für 3 gefunden. Die zweite Zeile heißt, als Gleichung interpretiert: Den Wert für 3 kennen wir ja nun schon also können wir nach 2 auflösen und unser 3 einsetzen: einsetzen Mit der oberen Zeile können wir nun bestien: 9 ustellen nach 9 einsetzen von 2 und Schon haben wir unser Gleichungssyste gelöst: Allgeeines Kochrezept für Gauss Jetzt wollen wir den Gauss-Algorithus allgeein beschreiben. Zutaten: n Gleichungen it n Unbekannten Rezept:. Ni die Inforation aus de Gleichungssyste und bilde die erweiterte Koeffizientenatri. Dabei sollen die Koeffizienten a i, j links vo Strich stehen, die konstanten Werte bi rechts. Modul lineare Gleichungen Seite 5 von 9

6 2. Setze die erste Zeile und erste Spalte als Pivotspalte- und -Pivotzeile 3. Teile die Pivotzeile durch den Wert des Pivoteleentes (Noralisieren) Dait wird der Wert des Pivoteleentes zu. (entfällt, wenn a, ) 4. Unter de Pivoteleent sollen nur Nullen stehen. Diese Nullen erzeugen wir, inde wir von allen Zeilen, die unter der aktiven Zeile stehen, die Pivotzeile it eine geeigneten Faktor ultipliziert, abziehen. Achtung: Wir subtrahieren nur geeignete Vielfache der Pivotzeile, nieals andere Zeilen! 5. Erhöhe die Pivotzeile und die Pivotspalte jeweils u. Wenn der neue Wert = n ist, dann gehe zu 6, sonst gehe zu Mache für die letzte Zeile die Noralisierung. 7. Jetzt haben wir hoffentlich die obere Dreiecksgestalt, bei der in der Hauptachse nur Einsen stehen, darunter nur Nullen, darüber irgendwelche Zahlen. 8. Entni der untersten Zeile den Wert für n. 9. Die Zeile darüber ergibt ugestellt das n. Stelle diese Gleichung nach u, und löse sie und setze das bekannte n ein. 0. Wiederhole 9 it allen weiteren Zeilen bis zur ersten Zeile. Fertig. Küchentricks: Manchal, wenn in einer Zeile viele Brüche stehen, kann es sinnvoll sein, diese Zeile it de kleinsten geeinsaen Vielfachen der Nenner zu ultiplizieren. Sollte das Gleichungssyste bösartig sein, so daß das Pivoteleent Null ist - dann denke daran, daß Du Zeilen vertauschen darfst! Manchal kann an sich durch das Vertauschen von Zeilen viel Rechenarbeit sparen! Modul lineare Gleichungen Seite 6 von 9

7 Sonderfall : Unendlich viele Lösungen Dait haben wir in Grundzügen den Gauss-Algorithus uschrieben. Leider kann dieser aber noch zwei Sonderfälle haben. Sehen Sie sich al dieses Gleichungssyste an: Legen wir los it de Lösen: Pivoteleent nach oben links und erste Zeile Noralisieren: Jetzt unterhalb des Pivoteleentes die Nullen erzeugen: Z Z Pivoteleent wandert einen weiter, wir noralisieren die zweite Zeile: ( ) Nun addieren wir zur dritten Zeile die Pivotzeile, u unter de Pivoteleent die Null zu erzeugen: Z Uups eine Nullzeile! Hier können wir nicht ehr weiterachen, denn wir bekoen das nächste Pivoteleent nicht ehr durch Multiplikation zu. Ist aber eigentlich gar nicht schli, denn was besagt die dritte Zeile, it der wir 3 bestien: Welche 3lösen denn nun die Gleichung 0 3 0? Na alle, denn egal, was ich it für ein 3 aussuche, ultipliziert it 0 ergibt das ier Null! Also ist unser 3 völlig beliebig und wir können es so aufschreiben: 3 Unser 2 ist aber nicht ehr beliebig, denn die zweite Zeile besagt: Modul lineare Gleichungen Seite 7 von 9

8 Wenn wir also ein 3 gewählt haben, ist das 2 dait festgelegt! Wie isses nun it de? Sehen wir auf die erste Zeile: einsetzen (4 4 ) Dait haben wir folgende Lösung: Wir haben also keine eindeutige Lösung ehr, aber trotzde ist, was wir haben, eine Lösung! Sonderfall 2: Nicht Lösbare Systee Sehen Sie nun auf das folgende Syste: Es sieht fas t aus wie eben nur statt der 22 i konstanten Teil steht nun eine 24 was passiert dann nun? Lösen wir das Syste: Z Z Pivoteleent weiterwandern lassen, noralisieren und Nullen darunter erzeugen: ( ) Z Jetzt haben wir ein Proble: Die untere Zeile lautet als Gleichung Es gibt aber keine Zahlen, die an it Null ultipliziert, addiert und die dann 2 ergeben da kot ier nur Null raus! Also hat dieses Gleichungssyste keine Lösung. Modul lineare Gleichungen Seite 8 von 9

9 Nicht quadratische Systee Bisher sind wir ier davon ausgegangen, daß wir genauso viel Gleichungen wie Variablen haben. Was achen wir nun, wenn wir ehr Variablen als Gleichungen haben, also z.b Unsere erweiterte Koeffizientenatri sähe dann so aus: Na, ergänzen wir doch einfach Nullzeilen, denn die sind ja für alle i gültig: Und dait sehen wir schon, daß ein solches Syste entweder unendlich viele Lösungen hat oder gar keine. Modul lineare Gleichungen Seite 9 von 9