Übungsaufgaben. Was für Buchstaben gilt, gilt leider nicht für Zahlen! 4, ,75638

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1 Übungsaufgaben uat enier Stidue an der elingshcen Cabridge Unirestiät ist es eagl, in wlehcer Rienhnelfoge die Bcuhtsbaen in enie Wrot sethen, das enizg wcihitge dbaei ist, dsas der estre und Izete Bcuhtsbae a rcihgiten Paltz snid. Der Rset knan ttolaer Bölsdinn sein, und an knan es torzted onhe Porbele lseen. Das ghet dseahlb, wiel das neschilche Geihrn nciht jdeen Bchustbaen liset sodnern das Wrot als Gnaezs. Was für Buchstaben gilt, gilt leider nicht für Zahlen! 4, ,75638 Dies ist bei Eintippen on Zahlen in den Taschenrechner dringend zu beachten! T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-

2 Erstabgabe Übung nicht abgegeben T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-2

3 Übungsaufgaben Was ist eine physikalische Größe? T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-3

4 Übungsaufgaben Wir erinnern uns: Physikalische Größe = Zahlenwert * Einheit oder sybolisch G = {G} * [G] T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-4

5 Übungsaufgaben Was ist eine physikalische Größe? Wie iele signifikante Stellen bei Mittelwert? T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-5

6 Übungsaufgaben Wir erinnern uns: Zusaengefasst gelte folgende onention: Ist der Fehler geschätzt: EINE signifikante Stelle. Ist der Fehler berechnet (Fehlerrechnung oder Messreihe): ZWEI signifikante Stellen. T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-6

7 Übungsaufgaben Was ist eine physikalische Größe? Wie iele signifikante Stellen bei Mittelwert? Standardabweichung Spannweite / 4 = 2,25 Standardfehler = Standardabweichung/20 0,50 T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-7

8 Beispiel: Studiendauer Diplo 40 Seester Anzahl Anzahl der Absolenten Studiendauer / Seestern Die eisten der Studenten achen die Diploprüfung nach Seestern (Modus). Die ittlere Studiendauer ist 2,5 Seester (Median). iegt der Median zwischen zwei ganzen Zahlen, wird geittelt, z.b. 2,5 Seester (Es gibt detailliertere Regeln). Der Mittelwert der Studiendauer ist 3,2 Seester (Mittelwert Mean) Spannweite der Verteilung: Differenz zwischen größte und kleinste Wert. T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-8

9 Übungsaufgaben T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-9

10 Übungsaufgaben T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-0

11 Standardfehler onkretes Beispiel Nuer Zeit/s 0, 2 0, 3 0,2 4 0,2 5 0, 6 0, 7 0,2 8 0,2 9 0, 0 0, s t t n s t n n i i t i n s 2 t ti t n 0,40s 0,063299s 0, s t 0,40 0,06s T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-

12 Standardfehler onkretes Beispiel Nuer Zeit/s 0, 2 0, 3 0,2 4 0,2 5 0, 6 0, 7 0,2 8 0,2 9 0, 0 0, Annahe: Wir essen nicht 0 al eine Schwingung, sondern einal 0 Schwingungen. T 0 = 0,5 s 0, 50 s 0, 0 / 0 s 0, 00 s 0,50 0, 00 s Sind die beiden Messungen iteinander ereinbar? t 0,40 0,06 s 0,4 s 0,5 s Die beiden Messwerte überlappen i Rahen ihrer Fehlerbalken, also die Messungen sind iteinander ereinbar. T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-2

13 Übungsaufgaben 85, s 24 0, s T n n??????? T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-3

14 Übungsaufgaben Diese Schwingungsdauer ist sicher genauer bestit als wenn wir den Mittelwert aus 24 geessenen Einzelschwingungen nehen, bei der jede Messung auf 0, s genau ist. Wenn wir die Zeit T 24 für 24 Schwingungen essen, dann ist die Genauigkeit der 24 Schwingungen 0, s. Das bedeutet, eine Schwingung ist auf s 0, s = 0, s 24 genau geessen. Dies ist der Grund, waru bei einer Fehlerberechnung die Unsicherheit auf zwei signifikante Stellen angegeben wird, obwohl die Ausgangsgröße nur auf eine signifikante Stelle geschätzt wurde. T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-4

15 Übungsaufgaben Was ist ein relatier Fehler? Wir erinnern uns: E = ( x x ) x: Schätzwert oder wert x: Messungenauigkeit oder Messabweichung x/x: Relatier Fehler T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-5

16 Übungsaufgaben Wir erinnern uns: s c c n T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-6

17 Wie bestie ich den Fehler einer physikalischen Größe, die ittels ehrerer Einzelessungen bestit wurde? T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-7

18 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Die wenigsten physikalischen Größen werden direkt, sondern eist ittels ehrerer Einzelessungen bestit Wie gehen die Fehler dieser Einzelessungen in das Endergebnis ein? p 0, 623 0, 04 kg 9,2 0,3 /s wert: p = 5,6876 kg /s Wie groß ist der Fehler des Ipulses? T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-8

19 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Wie groß ist der Fehler des Ipulses? Größter Wert des Ipulses i Rahen der Fehlergrenzen der Einzelessungen p = = (0, ,04) (9,2 + 0,3) kg /s = 6,0069 kg /s leinster Wert des Ipulses i Rahen der Fehlergrenzen der Einzelessungen p = = (0,623 0,04) (9,2 0,3) kg /s = 5,36529 kg /s In ielen Büchern wird dann folgendes geacht: Fehler des Ipulses entspricht der Hälfte des Interalls zwischen größte und kleinste Wert p = ½ (6,0069-5,36529) kg /s = 0,3208 kg /s Endergebnis: p = (5,68 ± 0,32) kg /s Dieses Vorgehen ist nicht ganz korrekt T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-9

20 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Wie groß ist der Fehler des Ipulses? Genauere Betrachtung: wert: p = 5,6876 kg /s Maxialwert: p = 6,0069 kg /s Minialwert: p = 5,36529 kg /s p Max p = 0,325 kg /s p Min p = 0,36 kg /s 033, p 568, kg/s 032, Dies ist unübersichtlich, daher: Endergebnis: p = (5,68 ± 0,33) kg /s Dies wäre dann der Größtfehler und als Angabe besser als der halbierte Wert oder ein asyetrischer Fehler T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-20

21 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Das bislang orgestellte Verfahren ist extre aufwändig und bei koplexen physikalischen Größen äußerst unübersichtlich Geht es einfacher? (geessenes ) best (geessenes ) (wert on p) T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-2

22 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Größter Wert für p = : onention: T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-22

23 T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung leinster Wert für p = : Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler

24 Fehlerfortpflanzung nach Größtfehler Zusaenfassung : p p p, wobei p p best Die Fehlerfortpflanzung nach Gauß wird folgendes Ergebnis liefern: 2 2 p p Dies ist der wahrscheinliche und nicht der axiale Fehler T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-24

25 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler bei Produkten und Quotienten Bei Produkten und Quotienten addieren sich die relatien Fehler. C A B C A B C A B C A / B C A B C A B Die Gauss sche Fehlerfortpflanzung wird für beide Fälle ergeben: Wahrscheinlicher Fehler: 2 2 C A B C A B C A B 2 2 C A B C A / B C A B T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-25

26 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler bei Produkten und Quotienten Der relatie Fehler des Ipulses ist die Sue der relatien Fehler der Einzelgrößen Dies gilt bei allen Produkten und Quotienten 0, 623 0, 04 kg 9,2 0,3 /s 0,04 0, ,2 % 0,623 0,3 0, ,4 % 9,2 p 2, 2% 3,4% 5,6% p p 5, 6 % p 0, 056 5, 682 kg /s 0,38 kg /s p (5, 68 0,32) kg /s T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-26

27 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler bei Produkten und Quotienten Der auferksae Student wundert sich an dieser Stelle: p (5, 68 0,32) kg /s In ielen Büchern wird dann folgendes geacht: Fehler des Ipulses entspricht der Hälfte des Interalls zwischen größte und kleinste Wert p = ½ (6,0069-5,36529) kg /s = 0,3208 kg /s Endergebnis: p = (5,68 ± 0,32) kg /s Dieses Vorgehen ist nicht ganz korrekt Die inearisierung erzeugt eine Näherung diese kann zusaenbrechen! T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-27

28 T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung Analoges Vorgehen wie bei Produkt Beispiel aus de Praktiku: Dichte der uft uft 2 Glas uft Glas Größter Wert für leinster Wert für Fehlerfortpflanzung: Größtfehler bei Suen und Differenzen

29 T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung Bei Suen und Differenzen addieren sich die absoluten Fehler. B A C B A C B A C B A C Die Gauss sche Fehlerfortpflanzung wird für den wahrscheinlichen Fehler ergeben: 2 2 B A C B A C Wahrscheinlichster Fehler Fehlerfortpflanzung: Größtfehler bei Suen und Differenzen

30 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel Beispiel aus de Praktiku: Dichte der uft 2 V V V = (6,73 0,2) c 3 = (0,3420 0,0020) g 2 = (0,320 0,0020) g = 0,020 g =, g c -3 Differenz: 2 0,0040 g Quotient: V V 0,0040 0,2 0,90 0,03 0, 203 0,020 6,73 T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-30

31 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel Bei der Arbeit i Praktiku gilt: Es ist ier besser einen Größtfehler anzugeben als gar keinen Fehler. Allgeein gilt: Durch Mittelwertbildung und die Berechnung des Standardfehlers iniiert an ier nur statistische (zufällige) Fehler. Systeatische Fehler bleiben erhalten, gewinnen sogar relati zu den zufälligen Fehlern an Bedeutung. T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-3

32 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel Beispiel aus de Praktiku: Dichte der uft 2 V V V = (6,73 0,2) c 3 = (0,3420 0,0020) g 2 = (0,320 0,0020) g = 0,020 g =, g c -3 Differenz: 2 0,0040 g Quotient: V V 0,0040 0,2 0,90 0, 03 0, 203 0,020 6,73 (, 26 0, 25) 0 g c 3 3 T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-32

33 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel Größtfehler: V V 0,203 Grobe Abschätzung: V 0,900,03 V Wahrscheinlicher Fehler: 2 2 V V 0,904 T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-33

34 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel 2 iung der Dichte eines örpers it der Auftriebethode G G Fl F G G Fl A F Fl g gv V Fl V Fl Fl Fl Fl Fl T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-34

35 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel 2 Fl Fl 3,8973 0, 000 g 8,647 0,000 g Fl Fl 3 0,997g/c Walcher: Tabelle A3. Einsetzen ergibt: 3 2, g/c Die Größtfehler sind:, 2, g/c Max 3 und Min, 2, g/c 3 Dait ergibt sich für die Dichte: = (2,62288 ± 0,0002) g/c 3 Dies ist das Ergebnis einer stupfsinnig angewandten Fehlerrechnung. T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-35

36 Fehlerfortpflanzung: Größtfehler Beispiel 2 Fl Fl = (2,62288 ± 0,0002) g/c 3 Dies ist das Ergebnis einer stupfsinnig angewandten Fehlerrechnung. Fl = (0,997 ± 0,000..) g/c 3 ist nicht fehlerfrei, auch wenn der Wert einer Tabelle entnoen wurde. Stellenzahl gibt häufig auch die Genauigkeit wieder. Ein genauerer Wert als =2,62 g/c 3 ergibt keinen Sinn, wenn ich ich nicht beühe, Fl genauer zu bestien. Die Messethode ist zu gut, erglichen it den nicht geessenen Ausgangsgrößen. Es ergibt wenig Sinn, die Fläche eines reises auf 8 Stellen genau anzugeben, wenn = 3,4 erwendet wird. T. ießling: Auswertung on Messungen und Fehlerrechnung - Größtfehler Vorlesung 03-36