Die Fehlerbetrachtung eine Notwendigkeit in den experimentellen Wissenschaften VORANSICHT

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1 1 von 20 Die Fehlerbetrachtung eine Notwendigkeit in den experimentellen Wissenschaften Axel Donges, Isny im Allgäu Jede Messung einer physikalischen Größe ist mit einer Unsicherheit behaftet. Der wahre Wert beispielsweise die Masse eines Elektrons kann daher durch Messungen prinzipiell nicht exakt bestimmt werden. Viele Messungen einer physikalischen Größe und Mittelwertbildung liefern stets nur den sog. Bestwert, der mehr oder weniger nahe beim wahren Wert liegt. Wie nahe der (falsche) Bestwert und der (unbekannte) wahre Wert aller Wahrscheinlichkeit nach beieinanderliegen, kann mithilfe der sog. Fehlerrechnung (besser wäre das Wort Fehlerabschätzung) abgeschätzt werden. Der Beitrag gibt eine Übersicht zur Behandlung von Messfehlern in den experimentellen Wissenschaften. Der Mangel an mathematischer Bildung gibt sich durch nichts so auffallend zu erkennen wie durch maßlose Schärfe im Zahlenrechnen. (C. F. Gauß) Messergebnisse sind stets mit einem Fehler behaftet. istock/thinkstockphoto Der Beitrag im Überblick Klasse: Dauer: Ihr Plus: 11 Stunden ü Kurze und prägnante Darstellung zur Fehlerbetrachtung bei Experimenten Inhalt: Bestwert absoluter und relativer Fehler Fehlerfortplanzung Rechnen mit fehlerbehafteten Größen

2 2 von 20 Didaktisch-methodische Hinweise Die Unzulänglichkeit aller Messungen Schüler, die erstmals ein quantitatives Experiment durchführen, sind oft enttäuscht. Das Ergebnis, das sie erhalten haben, weicht meist stark von dem theoretischen Ergebnis ab. In ihrer gedanklichen Welt existieren exakt gültige Werte für die verschiedensten physikalischen Größen (z. B. Elementarladung, Masse eines Elektrons, Ohm scher Widerstand eines Drahtes). Vielen Schülern ist nicht bewusst, dass diese theoretischen Werte gemeint sind natürlich die Literaturwerte ebenfalls mit Fehlern behaftet sind. Es gibt allerdings einen großen Unterschied: Die von professionellen Forschergruppen erhaltenen Ergebnisse sind i. d. R. mit geringeren Messunsicherheiten behaftet als die Messungen, die im Schulalltag durchgeführt werden. Tabelle 1 zeigt einige Beispiele. Tabelle 1: Literaturwerte einiger physikalischer Größen Physikalische Größe Bestwert absoluter Fehler Elektronenmasse 9, kg 0, kg Elementarladung 1, C 0, C Boltzmann-Konstante 1, J/K 0, J/K Planck-Konstante 6, Js 0, Js Ziel dieser Unterrichtseinheit Abb. 1: Schüler im Labor beim Experimentieren Ihre Schüler sollen erkennen, dass alle Messungen mit Messunsicherheiten behaftet sind. Sie werden in die Lage versetzt, Messunsicherheiten zu beschreiben, zu berechnen und zu interpretieren. eldar nurkovic/shutterstock Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz Allg. physikalische Kompetenz F 1 F 4, E 7 F 1 F 4, E 7, E 9 F 1 F 4, E 9 Die Schüler Inhaltsbezogene Kompetenzen kennen die Begriffe Bestwert, Streuung, absoluter und relativer Fehler und können diese Größen berechnen, können Experimente bezüglich Messfehlern planen und auswerten, können mit fehlerbehafteten physikalischen Größen sinnvoll rechnen. Anforderungsbereich I, II I, II I, II Für welche Kompetenzen und Anforderungsbereiche die Abkürzungen stehen, inden Sie auf der beiliegenden CD-ROM 45.

3 4 von 20 Materialübersicht V = Vorbereitungszeit SV = Schülerversuch Ab = Arbeitsblatt/Informationsblatt D = Durchführungszeit LEK = Lernerfolgskontrolle M 1 SV Messung der Schwingungsdauer eines Pendels V: 5 min r 1 Faden D: 40 min r 1 Pendelkörper (z. B. Radiergummi) r 1 Stativ r 1 Stoppuhr (z. B. eines Smartphones) M 2 Ab Statistische und systematische Fehler M 3 Ab Die Streuung M 4 Ab Der Fehler des Bestwertes M 5 Ab Wie genau soll man physikalische Größen angeben? M 6 Ab Fehlerrechnung mit dem Taschenrechner M 7 Ab Fehlerfortpflanzung (Summen und Differenzen) M 8 Ab Fehlerfortpflanzung (Produkte und Quotienten) M 9 Ab Rechnen mit physikalischen Größen M 10 Ab Zusammenfassung M 11 LEK Teste dein Wissen! Die Erläuterungen und Lösungen zu den Materialien finden Sie ab Seite 17.

4 5 von 20 M 1 Messung der Schwingungsdauer eines Pendels In diesem Material wird beispielhaft die Schwingungsdauer eines Fadenpendels (Abb. 2) experimentell mithilfe einer Stoppuhr (Abb. 3) bestimmt. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Stoppuhr perfekt funktioniert, d. h. weder zu langsam noch zu schnell läuft. Schülerversuch Vorbereitung: 5 min Durchführung: 40 min Materialien Designua/Shutterstock r 1 Faden r 1 Pendelkörper (z. B. Radiergummi) r 1 Stativ r 1 Stoppuhr (z. B. eines Smartphones) Versuchsaufbau Baue aus einem Faden, Pendelkörper und Stativ ein Fadenpendel auf (siehe Abb. 2). Abb. 2: Fadenpendel Versuchsdurchführung 1. Lenke das Fadenpendel ein wenig aus und miss die Zeitdauer für 5 vollständige Schwingungen. Miss die Zeit in Sekunden mit genau 2 Nachkommastellen. Wiederhole das Experiment (mit gleichen Startauslenkungen), bis du es insgesamt 10-mal durchgeführt hast. 2. Bestimme für jede Messung die Schwingungsdauer T, indem du jeden Messwert durch die Anzahl der vollständigen Schwingungen, also durch 5, teilst. 3. Bestimme das arithmetische Mittel der 10 gemessenen Schwingungsdauern, d. h. addiere die 10 Schwingungsdauern und teile die Summe durch Bist du überrascht, dass du nicht 10-mal exakt die gleiche Schwingungsdauer gemessen hast? Diskutiere und interpretiere deine Messergebnisse. Abb. 3: Stoppuhr Billion Photos/Shutterstock

5 6 von 20 M 2 Statistische und systematische Fehler Das im Material M 1 durchgeführte Experiment zeigt, dass die Messungen physikalischer Größen stets mit Fehlern behaftet sind. Es werden zwei Arten von Fehlern unterschieden: statistische Fehler und systematische Fehler. Statistische Fehler Wird die Messung einer physikalischen Größe x N-mal wiederholt, erhält man N Messergebnisse: x 1, x 2,.., x N. Beim Vorliegen eines statistischen Fehlers (oder zufälligen Fehlers; engl.: error) sind die einzelnen Messwerte x i mal größer und mal kleiner oder gleich dem unbekannten wahren Wert x w der Messgröße. Bildet man das arithmetische Mittel <x> = x 1 + x xn N (N: Anzahl der Einzelmessungen) der Messgrößen, so heben sich die statistischen Fehler teilweise auf. Der Mittelwert <x> liegt daher recht nahe am wahren Wert x w der Messgröße. Daher wird der Mittelwert im Weiteren auch als Bestwert x B bezeichnet und als Ergebnis der Messung angegeben. x := <x> B x (2) w Im Grenzfall unendlich vieler Einzelmessungen was praktisch unmöglich ist verschwindet der Unterschied zwischen Bestwert und wahrem Wert. x + x x x w = lim N N 1 2 N Aus diesem Grunde wird der Unterschied zwischen wahrem Wert und Bestwert kleiner, wenn die Anzahl N der Einzelmessungen ansteigt. rudall30/shutterstock (1) (3) Abb. 4: Witz zur Mittelwertbildung: Wenn ein Jäger am Hasen einmal links und einmal rechts vorbeischießt, dann hat er den Hasen im Mittel getroffen. Beispiele für statistische Fehler: 1. Bei der Messung der Schwingungsdauer T in Material M 1 hast du mal zu früh, mal zu spät die Stoppuhr gestartet bzw. abgestoppt. Die einzelnen Messwerte weisen daher einen statistischen Fehler auf. 2. Wenn du mit einem sehr empindlichen digitalen Amperemeter die Stromstärke in einem Stromkreis misst, wirst du feststellen, dass i. d. R. kein konstanter Wert angezeigt wird. Der angezeigte Wert verändert sich ständig in einer nicht vorhersehbaren Weise (siehe z. B. Es liegt ein statistischer Fehler vor.

6 8 von 20 M 3 Die Streuung Wir haben gelernt: Die einzelnen Messwerte x i (i = 1, 2,., N) streuen aufgrund statistischer Fehler mehr oder weniger stark um den unbekannten wahren Wert x w. Als Fehler einer Einzelmessung x i definieren wir die Abweichung zwischen dem i-ten Messwert x i und dem Bestwert x B. x i : = x i x B (4) Unter der Streuung oder Standardabweichung σ 1 wird der folgende Ausdruck verstanden ( x ) +( x ) +...+( x ) (x x ) +(x x ) +...+(x x ) σ = = N 1 N N 1 B 2 B N B. (5) Im Prinzip handelt es sich dabei um die Wurzel aus dem Mittelwert der quadrierten Fehler der Einzelmessungen 2, 3. Beispiel 1: Für x 1 = 1,31; x 2 = 1,28; x 3 = 1,30 und x 4 = 1,31 beträgt der Bestwert x B = (1,31+1,28+1,30+1,31)/4 = 5,2/4 = 1,30 und die Streuung (1,31 1,30) +(1,28 1,30) +(1,30 1,30) +(1,31 1,30) 0,0006 σ = = 0, Beispiel 2: Für x 1 = 1,40; x 2 = 1,30; x 3 = 1,10 und x 4 = 1,40 ergibt sich der gleiche Bestwert x B = (1,40 + 1,30 + 1,10 + 1,40)/4 = 1,30. Da die Messwerte jedoch stärker schwanken, ergibt sich eine größere Streuung: Merke: (1,40 1,30) +(1,30 1,30) +(1,10 1,30) +(1,40 1,30) 0,06 σ = = 0, Die Streuung σ Gleichung (5) gibt an, wie stark die einzelnen Messwerte im Mittel streuen. Im Rahmen der Statistik wird gezeigt, dass ca. 68 % der Messwerte im Intervall zwischen x B σ und x B + σ liegen (Abb. 6) % der Messwerte liegen in diesem Intervall x B σ x B x B + σ x Abb. 6: Darstellung des Intervalls, in dem ca. 68 % der Messwerte liegen Aufgabe Gib für die Beispiele 1 und 2 die Intervalle an, in denen ca. 68 % der Messwerte liegen. 1 Die Streuung wird auch mittlerer absoluter Fehler der Einzelmessungen genannt. 2 Eigentlich sollte man bei einer Mittelwertberechnung durch N teilen. Es ist jedoch üblich, durch N 1 zu teilen, was den Mittelwert geringfügig größer macht. Das hat auch den Sinn, dass man erst ab N 2 die Formel anwenden kann (für N = 1 würde man durch 0 teilen, was nicht erlaubt ist). 3 Die Fehler der Einzelmessungen können positiv und negativ sein. Würden die Fehler der Einzelmessungen nicht quadriert werden, ergäbe sich bei der Mittelung σ = 0. 4 Im Intervall zwischen x B 2σ und x B + 2σ liegen ca. 95 % aller Messwerte.

7 10 von 20 M 5 Wie genau soll man physikalische Größen angeben? Ein verrücktes Beispiel Für die Masse eines Autos wurde als Bestwert m B = 1205, kg (1205 kg 15 g und 328 mg) ermittelt bei einem absoluten Fehler von Δm B = 3, kg. Macht es Sinn, bei einem Fehler von fast 4 kg den Bestwert und den absoluten Fehler mit 6 Nachkommastellen also auf das Milligramm genau anzugeben? m = (1205, ± 3,815664) kg Die Antwort ist klar: nein! Vereinfachte Regeln für die Angabe des Bestwertes und seines Fehlers in der Schule Regel 0: Die Anzahl der Ziffern einer Zahl (ohne führende Nullen, d. h. ohne die Nullen, die links von der ersten Ziffer 0 stehen) nennt man die Anzahl der signifikanten (= zuverlässigen) Stellen. Beispiele: 1 signiikante Stelle: 8; 0,8; 0,08; 0,008; 0,0008; 2 signiikante Stellen: 12; 1,2; 0,12; 0,012; 0,0012; 3 signiikante Stellen: 146; 14,6; 1,46; 0,146; 0,0146; Bei ganzen Zahlen mit Nullen rechts von der letzten Ziffer 0 (z. B. 70; 5600) ist die Regel nicht eindeutig: 5600 kann 2 (5, ), 3 (5, ) oder 4 (5, ) signiikante Stellen haben. Das hängt davon ab, ob diese Nullen zuverlässig sind 6. Regel 1: Der absolute Fehler des Bestwertes wird stets aufgerundet 7 und mit nur einer signiikanten Stelle angegeben (d. h., der absolute Fehler des Bestwerts darf nur eine Ziffer ungleich Null enthalten). Beispiele: Δm B = 3, kg à Δm B 4 kg; Δm B = 3, kg à Δm B 4 kg Der relative Fehler (in %) wird mit dem zuvor bestimmten absoluten Fehler berechnet und nach den üblichen Regeln gerundet. Es werden eine (< 10 %) oder 2 ( 10 %) signiikante Stelle angegeben. Beispiele: Δm B /m B = 0,3 %; Δm B /m B = 7 %; Δm B /m B = 36 % Abb. 8: Macht es Sinn, die Masse eines Autos auf Milligramm genau anzugeben, wenn der Fehler etwa 4 kg beträgt? Rawpixel.com/Shutterstock Regel 2: Der Bestwert ist nach den üblichen Regeln zu runden. Seine kleinste signiikante Stelle soll dieselbe Größenordnung wie sein absoluter Fehler haben. Beispiele: m B =1205, kg und Δm B = 4 kg à m B = 1205 kg m B =1205, kg und Δm B = 0,3 kg à m B = 1205,0 kg m B =1205, kg und Δm B = 0,02 kg à m B = 1205,02 kg Regel 3: Gib niemals einen Bestwert ohne eine Fehlerangabe an. Beispiele: m = (1205 ± 4) kg oder m = 1205 kg ± 0,3 % 6 Aus diesem Grunde ist die wissenschaftliche Schreibweise z. B. 5, statt 5600 vorzuziehen, da die Anzahl der signiikanten Stellen (in diesem Beispiel 2) offensichtlich ist. 7 Motto: Lieber den Fehler zu groß als zu klein angeben.

8 14 von 20 M 9 Rechnen mit physikalischen Größen Die Bedeutung signifikanter Stellen Die Anzahl der signiikanten Stellen, mit der eine physikalische Größe angegeben wird, hat direkt etwas mit ihrer Genauigkeit zu tun. Physikalische Größen werden stets so angegeben, dass die kleinste angegebene Stelle die erste unsichere Stelle ist. Dies soll am Beispiel der Messung der Ladung eines Elektrons verdeutlicht werden: 1. Messmethode 1 / Arbeitsgruppe 1 liefert den Wert: q e = C. Diese Schreibweise (1 signiikante Stelle) bedeutet, dass die Ziffer 2 unsicher ist. Vielleicht ist die Ladung auch q e = C? 2. Messmethode 2 / Arbeitsgruppe 2 liefert den Wert: q e = 1, C. Diese Schreibweise (2 signiikante Stellen) bedeutet, dass die erste Ziffer (1) ziemlich sicher, die zweite Ziffer (6) aber unsicher ist. Vielleicht ist die Ladung auch q e = 1, C? 3. Messmethode 3 / Arbeitsgruppe 3 liefert den Wert: q e = 1, C. Diese Schreibweise (3 signiikante Stellen) bedeutet, dass die erste Ziffer (1) und die zweite Ziffer(6) ziemlich sicher sind, die dritte Ziffer (0) aber unsicher ist. Vielleicht ist die Ladung auch q e = 1, C? Rechnet man mit physikalischen Größen mit wenigen signiikanten Stellen (große Unsicherheit der Rechengrößen), dann ist auch das Ergebnis ziemlich unsicher. Es ist mit wenigen signiikanten Stellen anzugeben. Rechnet man dagegen mit physikalischen Größen mit vielen signiikanten Stellen (kleine Unsicherheit der Rechengrößen), dann ist auch das Ergebnis wesentlich sicherer. Dementsprechend muss das Ergebnis auch mit vielen signiikanten Stellen angegeben werden. Regel: Wenn nicht explizit die Fehler der Rechengrößen angegeben sind (d. h., man nicht mit den Regeln aus den Materialien M 7 und M 8 rechnen kann), gibt man das Ergebnis einer Rechnung wie folgt gerundet an: Beispiele zu a) a) Das Ergebnis einer Addition / Subtraktion bekommt genauso viele Nachkommastellen wie die Zahl mit den wenigsten Nachkommastellen. b) Das Ergebnis einer Multiplikation / Division bekommt genauso viele signiikante Stellen wie die Zahl mit den wenigsten signiikanten Stellen. 12,66 kg + 4,6 kg (= 17,26 kg) 17,3 kg 8,91 m + 7,55 m 2,0 m (= 14,46 m) 14,5 m Beispiele zu b) 2 m / 3 s (= 0, m/s) 0,7 m/s 2,00 m / 3,000 s (= 0, m/s) 0,667 m/s Aufgaben 1. Berechne: U = 5,007 V + 12,4 V 2. Berechne: R = 40,08 V / 10,2 A 3. Berechne: s = 35,8 m + 5,0 m/s 3,77 s 4. Diskutiere die rechts stehende Ungleichung. Schüler bei der Lösung der Aufgaben wavebreakmedia/shutterstock

9 16 von 20 M 11 Teste dein Wissen! Aufgaben 1. Erläutere den Unterschied zwischen systematischen und statistischen Fehlern. 2. Die Größe x hat den Bestwert 3,0 m bei einem relativen Fehler von 7 %. Wie groß ist der absolute Fehler? 3. Berechne den Bestwert und die Streuung der folgenden Messdaten: x 1 = 131; x 2 = 125; x 3 = 127; x 4 = 138 und x 5 = Berechne den Bestwert und seinen absoluten und relativen Fehler für die folgenden Messdaten: x 1 = 7; x 2 = 9; x 3 = 8; x 4 = 8 und x 5 = Berechne den Bestwert und seinen absoluten und relativen Fehler für die folgenden Messdaten: x 1 = 7; x 2 = 9; x 3 = 8; x 4 = 8; x 5 = 7; x 6 = 7; x 7 = 9; x 8 = 8; x 9 = 8 und x 10 = Wie viele signifikante Stellen haben die Zahlen: x 1 = 0,040; x 2 = 0,04; x 3 = 0,004 und x 4 = 400? 7. Wie viele signifikante Stellen hat die Zahl 100 auf einem Schein? 2s 8. Berechne mithilfe der Formel g = die Erdbeschleunigung g samt relativem Größtfehler mit den experimentellen Werten s = (19,7 ± 0,1) m und t = (2,00 ± 0,02) t 2 s. 9. Berechne m = 3,59 kg + 2,7 kg. 10. Berechne v = 2,0 m / 4,56 s. 11. Der Wasserdurchsatz W durch ein Rohr steigt mit der 4. Potenz des Rohrradius: W = c R 4 (c ist bekannt und fehlerfrei). Welchen relativen Fehler hat der Wasserdurchsatz, wenn der Rohrradius einen relativen Fehler von 2 % besitzt? 12. Mithilfe der Formel v = s / t soll eine Geschwindigkeit berechnet werden. Der relative Fehler von s beträgt 2 %. Wie genau muss man t messen, damit man die Geschwindigkeit mit einem Fehler von 3 % erhält? Die Lehrkraft hilft dir! wavebreakmedia/shutterstock

10 17 von 20 Erläuterungen und Lösungen M 1 Messung der Schwingungsdauer eines Pendels 1./2. Die Messwerte hängen vom verwendeten Pendel ab. Mögliche Messwerte: Messung T in s 9,27 9,39 9,16 9,30 9,41 9,32 9,24 9,46 9,32 9,25 T in s 1,854 1,878 1,832 1,860 1,882 1,864 1,848 1,892 1,864 1, Mittelwert: <T> = 1,8624 s 4. Es ist nicht überraschend, dass nicht 10-mal die gleichen Messergebnisse erhalten wurden. Es ist praktisch unmöglich, die Stoppuhr exakt zu Beginn bzw. nach 5 Schwingungsperioden zu starten bzw. zu stoppen. Daher misst man in zufälliger Weise zu kurze und zu lange Schwingungsdauern. Durch die Mittelung (Aufgabe 3) heben sich diese statistischen Fehler teilweise hinweg. Der Mittelwert <T> = 1,8624 s ist somit der beste Wert der Schwingungsdauer, den man angeben kann. Er beschreibt zwar nicht den exakten Wert der Schwingungsdauer, kommt diesem aber recht nahe. M 2 Statistische und systematische Fehler 1. x B = (10,33 m + 10,28 m + 10,40 m + 10,37 m + 10,43 m)/5 = 51,81 m = 10,362 m 5 2. Durch den Auftrieb in Luft zeigt die Waage stets eine zu kleine Masse an. Dies führt zu einem systematischen Fehler. M 3 Die Streuung Beispiel 1: 1,286 1,314; Beispiel 2: 1,16 1,44; M 4 Der Fehler des Bestwertes x B = ( )/5 = 658/5 = 131,6 x = B ( ,6) + ( ,6) + ( ,6) + ( ,6) + ( ,6) 5 (5 1) 357,2 = = 17,86 4, x B /x B = 4,23 / 131,6 0,032 = 3,2 % M 5 Wie genau soll man physikalische Größen angeben? 1. a) x = (130 ± 20) m = (1,3 ± 0,2) 10 2 m oder x = 130 m ± 15 % = 1, m ± 15 % b) x = (130 ± 10) m = (1,3 ± 0,1) 10 2 m oder x = 130 m ± 8 % = m ± 8 % c) x = (127 ± 1) m oder x = 127 m ± 0,8 % d) x = (127,4 ± 0,1) m oder x = 127,4 m ± 0,08 % 2. π = 3; π = 3,14; π = 3,1416