2. Grundbegriffe der Mengenlehre und Kombinatorik

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1 und Kombinatorik 2.1 Mengenbegriff. Darstellung von Mengen inkl. Peano-Axiome und vollständige Induktion 2.2 Mengenrelationen und Mengenoperationen 2.3 Einfache Zählformeln 2.4 Permutationen und Kombinationen Seite 1

2 und Kombinatorik 2.1 Mengenbegriff. Darstellung von Mengen Definition 2.1 (Cantor, 1879) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Georg Cantor, Seite 2 Bildquelle: en.wikipedia.org

3 Beispiel 2.1: a) A = {4,5,7} b) B = {1,3,5,7, } A = 3 B = c) C = Menge aller Buchstaben. d) D = Menge aller Studierenden an der h-da zu einem Stichtag. e) F = { } = Ø leere Menge. Beispiel 2.2: A 1 = {4,4,5,7} keine Menge A 2 = {5,4,7} gleiche Menge wie im Beispiel 2.1 a). Bezeichnungen: A, B,, X, Mengen; a, b, c,.., x, Elemente einer Menge N Anzahl der Elemente der Menge N, Mächtigkeit der Menge Seite 3

4 Reservierte Buchstaben: N = {1,2,3, } Menge der natürlichen Zahlen. N 0 = {0,1,2,3,..} = N U {0} erweiterte Menge der natürlichen Zahlen. Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Menge der ganzen Zahlen. Q Menge der rationalen Zahlen, R Menge der reellen Zahlen, C Menge der komplexen Zahlen x M bedeutet x ein Element der Menge M oder x liegt in M x M bedeutet x ist kein Element der Menge M Beispiel 2.3: 0.5 N; 0.5 Q Seite 4

5 Darstellung von Mengen Vollständiges Aufzählen ihrer Elemente, z.b. M = {m, e, n, g, l, h, r} die Buchstaben des Wortes Mengenlehre ; C = {a, b, c, d,, z} Aufzählen der ersten Elemente einer Menge, z.b. N = {1,2,3, } oder B = {1,2,3,,100}. G = {2,4,6, } {2,4, } oder P = {2,4,8,16, } Beschreibung der Menge M mit einer gemeinsamen Eigenschaft A(x), z.b. M = {x I A(x)} Menge aller x, für die die Eigenschaft A(x) erfüllt ist. X= {x : x N und x < 5 } = {1,2,3,4}. K= {n N : k N : k 2 = n} = {1,4,9,16,25 } Seite 5

6 Darstellung von Mengen Graphische Darstellung (VENN-Diagramme) z.b. Menge der Fachbereiche der h-da F = {Architektur, Bauingenieurwesen, Informatik, } Jura F Architektur Jura M Bauingenieurwesen Informatik Media Chemie- und Biotechnologie Wirtschaft Soziale Arbeit Elektrotechnik Maschinenbau Bildende Kunst Produkt Design F Gestaltung Mathematik Seite 6

7 Definition 2.2 Es seien F und M zwei Mengen (F liegt im M). Als Komplement von F in M bezeichnet man die Menge C M (F) = {x x M und x F } = {Bildende Kunst, Jura, Produkt Design} Architektur Bildende Kunst M Bauingenieurwesen Informatik Media Chemie- und Biotechnologie Wirtschaft Soziale Arbeit Elektrotechnik Maschinenbau Jura F Gestaltung Mathematik Produkt Design Seite 7

8 Beispiel Komplementmenge: Sei G = {2k : k N} und U = {2k 1 : k N}. Die Mengen G und U sind komplementär zueinander in N: C N (G) = U und C N (U) = G. Seite 8

9 Vergleich der Zahlenmengen: Es gilt N Z Q R C. Die Menge Q\Z enthält Brüche, wie z.b. ⅓, - ⅞, 2⅔ etc. Diese können als endliche oder periodische Dezimalbrüche dargestellt werden z.b. ⅓ = 0, ; - 2 ½ = - 2,5 Elemente R\Q heißen irrationale Zahlen, Beispiele sind 2 und die mathematischen Konstanten = 3,14159 und e = 2,71828 Irrationale Zahlen werden durch unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche dargestellt. Seite 9

10 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion. Peano-Axiome (P.1) 1 ist eine natürliche Zahl. (P.2) Jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger S(n) = n+1. (P.3) Es gibt keine natürliche Zahl n mit S(n) = 1. Giuseppe Peano, Seite 10 Bildquelle: famous-mathematicians.com

11 Peano-Axiome (Fortsetzung) (P.4) Gilt für m und n die Beziehung S(n) = S(m), so ist m = n. (P.5) Von allen Mengen M, welche: i. die Zahl 1 und ii. mit jeder natürlichen Zahl n deren Nachfolger S(n) enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste. Bemerkung: (P.5) nennt man auch Induktionsaxiom. Seite 11

12 Folgerungen: N hat unendlich viele verschiedene Elemente: wegen P.1 gibt es mindestens eine natürliche Zahl: 1 wegen P.2 gibt es zu 1 einen Nachfolger S(1), der wegen P.3 ungleich 1 ist (sei es S(1)=2) wegen P.2 gibt es zu 2 einen Nachfolger zu S(2), der wegen P.3 ungleich 2 ist (sei es S(2) = 3) N lässt sich in einer bestimmten Reihenfolge anordnen: 1,2,, n, n+1, Nachfolger von n Seite 12

13 Das Prinzip der vollständigen Induktion Um eine Aussage A(n) für alle n N zu beweisen, genügt es nach Axiom (P.5) zu zeigen: Induktionsanfang: Für n = n 0 N ist A(n) erfüllt. Induktionsschritt (n n+1): Ist die Aussage A(n) für ein beliebiges n N erfüllt, dann gilt sie auch für den Nachfolger, also A(n+1) A(n) gilt für alle n N. Anmerkung: Meist verwendet man n 0 =1, muss aber nicht sein. Seite 13

14 Beispiel 2.4 a) (Mitschrift) Für alle n N gilt: n=n(n+1)/2 i. Induktionsanfang: 1 = 1 (1+1)/2 richtig ii. Induktionsschritt (n n+1): Induktionsvoraussetzung: n = n(n+1)/2 (I.V.) Zu beweisen: Formel für n+1: n +(n+1) = (n+1)(n+2)/2. (I.V.) n +(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n 2 +n +2n +2)/2 = = (n(n +1) +2(n +1))/2 = (n+1)(n+2)/2, q.e.d. Seite 14

15 Beispiel 2.4 b) Für alle n N gilt: 2 n n+1 i. Induktionsanfang: ; 2 2 richtig ii. Induktionsschritt (n n+1): Induktionsvoraussetzung: 2 n n+1 (I.V.) Zu beweisen: Formel für n+1: 2 n+1 (n+1)+1; 2 n+1 n+2 (I.V.) 2 n+1 = 2 n 2 (n+1) 2 = 2n + 2 > n+2, q.e.d. (siehe Mitschrift) da n > 0 Seite 15

16 Hinweis: Es existieren im Wesentlichen zwei Aufgabenarten: Der Beweis der Richtigkeit von Aussagen bzw. Formeln mit 1. oder : Im Induktionsschritt benötigen wir eine Abschätzung, z.b.: 2 n+1 = 2 n 2 (n+1) 2 = 2n + 2 > n + 2 für n > 0 2. = werden nur mit Äquivalenzumformungen bewiesen, wie im Beispiel 2.4 a): n(n+1)/2 + (n+1) = (n 2 +n +2n +2)/2 = (n+1)(n+2)/2 Seite 16

17 Alternativer Beweis für Beispiel 2.4 a) kleiner Gauss (n-1) + n n + (n-1) + (n-2) + (n-3) (n+1)+(n+1) + (n+1) + (n+1) + + (n+1) + (n+1) Die Summe in den beiden Zeilen n mal (n+1), also n(n+1) Die Summe in einer Zeile: n(n+1)/2 Übung (Zuhause): Berechnen Sie die folgende Summe: (2n-1) Seite 17

18 Vorgehensweise: 1. Induktionsanfang: Aussage bzw. Formel beweisen für eine Anfangszahl n 0 N (nicht notwendigerweise die Zahl 1). 2. Induktionsvoraussetzung formulieren: Formel für die Zahl n aufschreiben (I.V.) 3. Induktionsschritt vorbereiten: Formel für die Zahl n+1 aufschreiben 4. Induktionsschritt durchzuführen: a) Was haben wir? Formel für n (LS = RS, LS RS ). b) Was brauchen wir? Formel für n+1 beweisen: beginnend mit der linken Seite der Formel für n+1 (LS) mit Hilfe von Umformungen und Formel in 4a) die rechte Seite (RS) der Formel für n+1 erhalten. Seite 18

19 Übung: Beweisen Sie mit dem Prinzip der vollständigen Induktion, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen n 2 ist, d.h. n Ʃ (2k 1) = n 2 k = 1 oder (2n-1) = n 2 Hinweis: jede gerade Zahl hat die Form 2k, k N jede ungerade Zahl hat die Form (2k-1), k N Seite 19

20 Andere Darstellungen der reellen Zahlen Dezimalzahlen: 234,56 = Die Zahl 10 heißt Basis des Zahlensystems. Darstellung der Zahl zur Basis B (B-adische Darstellung): Z 1 B n + Z 2 B n Z n+1 B 0 + Z n+2 B -1 + Z n+3 B Z n+k+1 B -k, wobei Z i {0,,B-1}, i={1,,n+k+1}. Seite 20

21 Beispiel: Darstellung zur Basis 7 (B = 7) Jede Zahl wird mit Siebener-Potenzen dargestellt. Als Koeffizienten stehen nur die Ziffern 0,1,2,3,4,5,6 zur Verfügung. 234 = = = 234 Z.B = = = Beispiel: Darstellung zur Basis 16 (Hexadezimale) Jede Zahl wird mit 16-Potenzen dargestellt. Als Koeffizienten stehen zur Verfügung die Ziffern: 0,1,2,,9 und die Buchstaben A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Z.B. 12F 16 = = = Seite 21

22 Dualzahlen (Binärzahlen): 0 und = = = 13 Ganze Dezimalzahl Binärzahl (Divisionsmethode): 13 : 2 = 6 R 1 6 : 2 = 3 R 0 3 : 2 = 1 R 1 1 : 2 = 0 R 1 STOP Die Reste von unten nach oben aufschreiben: 1101 Seite 22

23 Komma- Dezimalzahl Binärzahl (Multiplikationsmethode): 0,625 2 = 1,25 0,25 2 = 0,5 0,5 2 = 1,0 STOP Periodische Binärzahlen: 0,3 2 = 0,6 0,6 2 = 1,2 0,2 2 = 0,4 0,4 2 = 0,8 0,8 2 = 1,6 0,6 2 = 1,2 0,2 2 = 0,4. Ganze Zahlen als NACHKOMMAZAHLEN von oben nach unten aufschreiben: 0,101 0,3 = 0, = 0,0(1001) Seite 23

24 Übungen (Mitschrift): 1. Stellen Sie die Zahl 81,75 als Binärzahl dar. 2. Welche Dezimalzahl entspricht der binären Darstellung 10101,101? 3. Erklären Sie den Mathematiker-Witz: Warum können amerikanische Mathematiker Weihnachten (wird dort erst am 25. Dezember gefeiert) nicht von Halloween (31. Oktober) unterscheiden? , ,101 = 21,625 31(oct) = 25(dec) = 25 Seite 24 Witzquelle:

25 2.2 Mengenrelationen und Mengenoperationen Definition 2.3 Zwei Mengen A und B heißen gleich (A=B), wenn beide Mengen die gleichen Elemente besitzen. Ansonsten heißen sie ungleich. Definition 2.4 Für zwei Mengen A und B sind definiert: Teilmenge A B := {x (x A) (x B) } A ist echte Teilmenge von B: A B := {x (A B) und (A B)} B heißt Obermenge (bzw. echte Obermenge) von A: B A (B A) Seite 25

26 Definition 2.4 (Fortsetzung) Schnittmenge A B:= {x (x A) und (x B) } Ist A B = Ø, dann heißen A und B disjunkt oder punktfremd. Vereinigungsmenge A B:= {x (x A) oder (x B) } Differenzmenge Venn-Diagramme in der Mitschrift A\B:= {x (x A) und (x B) } Seite 26

27 Beispiel 2.5 Sei A = {2,4,6} und B = {1,2,3} Schnittmenge: A B = {2} Vereinigungsmenge: A B = {1,2,3,4,6} Differenzmenge: A\B = {4,6}; B\A = {1,3}; Komplement: Komplement von A im M, C A M Sei M = {1,2,3,4,5,6}, dann: C A M= {1,3,5} C B M= {4,5,6} Seite 27

28 Verallgemeinerung Schnittmenge und Vereinigungsmenge (motivierendes Beispiel): Sei A = {1,2,3}, B = {2,3,4} und C = {3,4,5,6}, dann A B C = {3}; A B C = {1,2,3,4,5,6}; Mit Hilfe von Quantoren kann man dies auch so formulieren: X {A, B, C}: 3 X X {A, B, C}, x {1,2,3,4,5,6}: x X Seite 28

29 Verallgemeinerung Schnittmenge: Ist F eine sog. Familie (Menge) von Mengen, so definieren wir X:= { x: ( X F : x X ) } X F Verallgemeinerung Vereinigungsmenge: Ist F eine Familie von Mengen, so definieren wir X:= { x: ( X F : x X ) } X F Seite 29

30 Beispiel Vereinigungsmenge: Sei F = { M n : n N } eine Familie der Mengen: n N definiere M n := { x Q : x 1/n } Dann: X = M n = M n { x Q : x > 0) } = Q + X F n N n = 1 Beispiel Schnittmenge: Analog: Ist F eine Familie von Mengen, so definieren wir M n = M n {x Q : x 1} = M 1 n N n = 1 Seite 30

31 Beispiel Vereinigungsmenge: n N definiere M n := { x Q : x 1/n } Dann: M n = M n { x Q : x > 0) } n N n = 1 = Q + Beispiel Schnittmenge: Analog definieren wir M n = M n {x Q : x 1} n N n = 1 = M 1 Seite 31

32 Satz 1 (Mengengesetze) Seien A, B und C Mengen. Dann gelten die folgenden mengenalgebraischen Rechenregeln: Kommutativgesetz: A B = B A A B = B A Assoziativgesetz: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Distributivgesetz: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Seite 32

33 Satz 1 (Mengengesetze) Beweis (Distributivgesetz) A (B C) = (A B) (A C); A B A B C C VENN - Diagramms Übung: Zweites Distributivgesetz A (B C) = (A B) (A C) mit Hilfe des VENN-Diagramms beweisen! Seite 33

34 Definition 2.5 Die Menge aller Teilmengen einer Menge A heißt P Potenzmenge von A, P(A) = {X X A} Beispiel 2.6 M={2,3,5}. Dann gilt: P(M) = { Ø, {2},{3},{5}, {2,3},{2,5},{3,5}, {2,3,5}} P (M) = 8 = 2 3 Bemerkung: P (A) = 2 n die Anzahl der Elemente in Potenzmenge von A, wobei A eine endliche Menge mit n Elementen, A =n Ø und die Menge selbst gehören immer zur Potenzmenge Seite 34

35 Beweis (mittels vollständiger Induktion): P (A) = 2 n (1) Induktionsanfang: n = 1: linke Seite: P(A) = {Ø, {A}} = 2 rechte Seite: 2 1 = 2 (2) I.V.: P (A) = 2 n, mit A = n Zu beweisen : P (A*) = 2 n+1, mit A* = n+1 (3) Induktionsschritt: Teile Teilmengen von {1,, n + 1} in zwei Gruppen ein: (a) solche, die {n + 1} nicht enthalten (nach I.V.) es gibt genau 2 n Stück (Teilmengen von {1,, n}), (b) solche, die {n + 1} enthalten: auch genau 2 n Stück (Mengen aus (a) vereinigt mit {n + 1}). Insgesamt: 2 n + 2 n = 2 2 n = 2 n+1 Teilmengen. Seite 35

36 2.3 Einfache Zählformeln In diesem Abschnitt werden die Anzahl der Elemente einer Menge gezählt. Summenregel Sei A und B zwei beliebige Mengen, dann A B = A + B - A B. Beispiel 2.7 (Fortsetzung Beispiel 2.5) A = {2,4,6} und B ={1,2,3} (1) direkt berechnen: A B = {1,2,3,4,6}, also A B =5 (2) nach Formel: A B = = 5 A B = {2} Seite 36

37 Beispiel 2.8 In einer Stadt mit 1,000,000 Einwohner werden zwei Sprachen gesprochen. Es ist bekannt, dass 90% davon Deutsch und 20% Französisch sprechen. Wie viele Einwohner sprechen beide Sprachen? D = {Menge der Deutsch sprechenden Einwohner} F = {Menge der Französisch sprechenden Einwohner} E = {Menge aller Einwohner} = D F Gesucht ist D F. D F = D + F D F = = = Einfacherer Weg: 10% von = Seite 37

38 Bemerkung: für disjunkte Mengen A und B gilt: A B = A + B, da A B = 0. Beispiel 2.9 Auf der Tastatur eines Kinder-PC sind nur Ziffern und Buchstaben (inkl. Umlaute) abgebildet. Wie viele Tasten gibt es insgesamt? Z = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} Menge der Ziffern B = {A, B, C,, Z, Ä, Ö, Ü} Menge der Großbuchstaben Gesucht Z B. Da Z B = Ø, dann Z B = 0 und Z B = Z + B = = 39 Seite 38

39 Kartesisches Produkt oder Produktmenge Seien A und B zwei beliebige Mengen, dann ist die Produktmenge A x B definiert als A x B = { (x,y) : (x A) und (y B) }. Beispiel 2.10 (a) A = {1,2,3} und B ={x,y}, dann A x B = {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)} (b) S = {die Menge aller Studierenden} K= {die Menge aller Klausuren} S x K = {die Menge aller geschriebenen Klausuren} (c) R 2 = R x R die Menge aller Punkte in der Ebene Seite 39

40 AxB nennt man das kartesische Produkt der Mengen A und B Produktformel Sei A und B zwei nichtleere Mengen, dann A x B = A B Beispiel 2.11 (Fortsetzung Beispiel 2.10) A = {1,2,3} und B ={x,y} (1) direkt berechnen: A x B = 6 (2) nach Formel: A x B = A B = 3 2 = 6 Bemerkung: A x B = B x A, obwohl A x B B x A. René Descartes, Seite 40 Bildquelle: math.utep.edu

41 Verallgemeinerung der Produktformel: Sei M 1, M 2,, M n nichtleere Mengen, dann M 1 x M 2 x x M n = M 1 M 2 M n Beispiel 2.12 Die Matrikelnummer der h-da Studirenden besteht aus 6 Ziffern: X X X X X X, wobei an der ersten Stelle darf keine 0 stehen. Wie viele Matrikelnummern gibt es? Lösung: = Seite 41

42 Übung: Ist es besser, zwei 3-stellige Zahlenschlösser oder ein 6- stelliges zu benutzen? Wie viele 3-stellige Schlösser ersetzen ein 6-stelliges? Lösung: Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten beim 3-stelligen Schloss ist = 10 3 = 1000 (Produktregel); Zwei Schlösser haben = verschiedene Möglichkeiten für eine Zahlen-Kombination (Summenregel); Die Anzahl der Zahlen-Kombinationen beim 6-stelligen Schloss ist = 10 6 = (Produktregel); 10 6 / 10 3 = Seite 43

43 2.4 Permutationen und Kombinationen Permutationen bzw. Kombinationen sind geordnete bzw. ungeordnete Auswahlen von Objekten aus einer Menge. Definition 2.6 Eine Auswahl von k Objekten aus einer Menge von n Elemente, bei der die Reihenfolge die Rolle spielt, nennt man geordnete Auswahl. Wenn k = n, d.h. alle Elemente ausgewählt werden, spricht man von Permutation. Seite 44

44 Beispiel ) Wie viele unterschiedliche Wörter lassen sich aus allen fünf Buchstaben des Wortes MATHE bilden? Jeder Buchstabe darf höchstens einmal verwendet werden. Permutation 2) Wie viele aus drei Buchstaben bestehende, unterschiedliche Wörter können aus MATHE gebildet werden? k-permutation Seite 45

45 Lösung: 1) X X X X X für die erste Position gibt es 5 Möglichkeiten; für die zweite 4 Möglichkeiten; für die dritte nur 3 Möglichkeiten; für die vierte nur 2; für die fünfte nur 1. Also insgesamt (nach Produktregel): = 5!=120 Allgemein: Anzahl der Permutationen in einer Menge mit n Elemente ist n! = n (n-1) 2 1 Seite 46

46 Lösung: 2) X X X für die erste Position gibt es 5 Möglichkeiten; für die zweite 4 Möglichkeiten (ein Buchstabe belegt die erste Position); für die dritte nur 3 Möglichkeiten. Also insgesamt (nach Produktregel): = 5! / 2! = 60 Allgemein: Anzahl der k-permutationen in einer Menge mit n Elemente ist n (n-1) (n-k+1)= n!/ (n k)! Seite 47

47 Beispiel 2.14: Ein Geschäftsreisender besucht nacheinander n Orte n! mögliche Reiserouten (Startpunkt beliebig). Geschäftsreisender möchte aus n vorhandenen Orten nur k besuchen n!/(n k)! mögliche Reiserouten. Seite 48

48 Definition 2.7 Eine Auswahl von k Objekten aus einer Menge von n Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge nennt man Kombination oder ungeordnete Auswahl. Bemerkung: Eine Kombination ist das gleiche wie eine Teilmenge. Schreibweise n k Die Anzahl der Teilmengen der Mächtigkeit k einer n-elementigen Menge, n über k Binomialzahlen Seite 50

49 Beispiele: jede Menge hat nur eine -Teilmenge jede Menge hat nur eine n-elementige Teilmenge jede Menge mit n Elementen hat genau n Teilmengen mit einem Element Sei M = {a,b,c,d}, dann existieren die folgenden 6 zweielementige Teilmengen : {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c},{b,d},{c,d} Seite 51

50 Definition 2.8 Sei k, n N mit 1 k n. Dann gilt: 0-te Zeile Seite 52 Bildquelle: frustfrei-lernen.de

51 Definition 2.9 (explizite Formel) Sei k, n N mit 1 k n. Dann gilt: Bemerkung: Falls k > n ist, wird der Binomialkoeffizient gleich 0 gesetzt. Seite 53

52 Rechenregeln: Symmetrie Beweis: Tafel (benutzen Sie die Formel auf Folie 53) Rekursive Formel Seite 54

53 Beispiel 2.15: Beim Lotto 6 aus 49 werden 6 der Zahlen 1, 2,, 49 gezogen, wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt. Wie viele Möglichkeiten gibt? Lösung: Wir suchen die Anzahl 6-elementiger Teilmengen aus einer 49-elementigen Menge. Sie ist gleich 49 49! = = !43! Gewinnchance: Seite 55

54 Übung: Auf den üblichen Dominosteinen sind die sieben Zahlen 0,1,2,,6 abgebildet. Dabei kommen alle möglichen Kombinationen aus zwei Zahlen vor. Aus wie vielen Dominosteinen besteht ein vollständiges Spiel? Lösung: Anzahl aller Kombinationen 2 verschiedene Zahlen aus 7 zu wählen ist 7 7! = = (7 6)/2 = ! 5! Dazu kommen noch Steine mit gleichen Zahlen: (0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6), also + 7 Steine, und damit insgesamt 28. Seite 56

55 Definition 2.10 Die Anzahl der Möglichkeiten aus n Objekten k Objekte auszuwählen, wobei jedes Objekt mehrfach in der Auswahl vorkommen kann, ist n k, falls die Reihenfolge in der Auswahl eine Rolle spielt, und Rolle spielt., falls die Reihenfolge keine Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Gummibärchen zwischen 6 Kinder zu verteilen? Seite 57

56 Anwendung (Stichprobe): Die Binomialkoeffizienten werden vor allem im Rahmen der Qualitätssicherung bei Stichproben benötigt: Bei einer Stichprobe wird nämlich gerade aus einer Gesamtpopulation eine Teilmenge gewissen Umfanges gezogen, sodass die Anzahl möglicher solcher Ziehungen gerade durch den Binomialkoeffizienten gegeben sind. Seite 58

57 In einer Lieferung von zehn Geräten sind drei defekt. Um nicht jedes Gerät auf seine Funktionstüchtigkeit hin überprüfen zu müssen, wollen wir dies nur für jedes zweite Gerät tun und ziehen daher eine Stichprobe von 5 Geräten aus den gelieferten 10. Dann haben wir nach Definition des Binomialkoeffizienten gerade 10 über 5 Möglichkeiten diese 5 Teilmengen aus der Menge von 10 Geräten zu ziehen: 10 10! = = = ! 5! Seite 59

58 Wie viele Stichproben enthalten genau zwei defekte Geräte? Insgesamt: 10 Geräte: 3 defekte und 7 intakte. Stichprobe besteht aus 5 Geräte: 2 defekte und 3 intakte. = 3 35 = 105. Seite 60

59 Wie viele Stichproben enthalten mindestens ein defektes Gerät? Insgesamt 10 Geräte: 3 defekte, 7 intakte. Stichprobe besteht aus 5 Geräte: 1 defektes Gerät 2 defekte Geräte und 4 intakte und 3 intakte anderer Lösungsweg? (als Übung) 3 defekte Geräte und 2 intakte Lösung: 231 Übung Seite 61

60 Satz 2 (Binomialsatz): Seien x,y R. Dann gilt n N die folgende Gleichung: Beispiel 2.15: Seite 62

61 Anwendung: Berechnen Sie (ohne Taschenrechner) Lösung: 11 5 =(10+1) 5 = = = = = = Seite 63

62 Zusammenfassung: die Anzahl der Möglichkeiten aus n Objekte k auszuwählen: ohne Zurücklegen (ohne Wiederholung) mit Zurücklegen (mit Wiederholung) mit Berücksichtigung der Reihenfolge n! n k! k n ohne Berücksichtigung der Reihenfolge n k n k 1 k Seite 64

63 Beispiel: a) Berechnen Sie die Anzahl der 4-stelligen hexadezimalen Zahlen b) In einem IT-Wettbewerb haben 4 Informatikstudierende 3 Fachbücher gewonnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Verteilung des Gewinns zwischen den Freunden. c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 aus 5 Bilder nebeneinander in der Reihe an der Wand aufhängen? d) In einem Turnier kämpfen 8 Sportler um drei Medaillen (G, S und B). Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Gewinnergruppe zusammen zu stellen? 5! / (5-3)! 8 3 Seite

64 Zusammenfassung: Operationen mit Mengen, Produkt-, Potenzmenge etc. Vollständige Induktion Zahlendarstellung zur verschiedenen Basen. Kombinatorische Aufgaben. TEST Seite 71