Über mich Organisatorisches Mathematik Wiederholung Mengenlehre Zahlen. Mathematik W1. Mag. Rainer Sickinger LMM, BRP

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1 Mathematik W1 Mag. Rainer Sickinger LMM, BRP v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 1 / 47

2 Mag. rer. nat. Rainer Peter Josef Sickinger : Informatik und Mathematikstudium an der Johannes Kepler Universität in Linz 2015-jetzt: Masterstudium Computer Science mit Schwerpunkt Computational Engineering an der Johannes Kepler Universität in Linz v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 2 / 47

3 Moodle Zugangsschlüssel zum Kurs: mathematiks Siehe Merkblatt! v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 3 / 47

4 MATHEMATIK Die Mathematik ist das Alphabet, mit dem Gott die Welt geschrieben hat. -Galileo Galilei v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 4 / 47

5 Die Mathematik ist die Sprache der Natur Zählt man die Spiralen rechts herum, kommt man bei dieser Sonnenblume auf 34. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 5 / 47

6 Die Mathematik ist die Sprache der Natur Zählst man die Spiralen rechts herum, kommt man bei dieser Sonnenblume auf 55. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 6 / 47

7 Die Mathematik ist die Sprache der Natur Ananas-Frucht und Kiefernzapfen. Wenn man an einer Ananas-Frucht die Spiralen zählt, erkennt man in diesem Falle 5 langsam nach recht aufsteigende Linien, dann 8 ein wenig steilere, die nach links aufsteigen und 13, die steil nach rechts aufsteigen. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 7 / 47

8 Die Mathematik ist die Sprache der Natur Das Gänseblümchen hat 21 Blütenblätter. Aber auf magische Weise kommen immer bestimmte Zahlen vor: 13, 21, 34, 55. Auch bei der Anzahl der Blütenblätter einer Blume findet man nicht nur, aber bevorzugt bestimmte Zahlen: 3, 5, 8, 13, 21, v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 8 / 47

9 Die Mathematik ist die Sprache der Natur Man Sieht also es kommen immer wieder die Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... vor. Die sogenannten Fibonacci-Zahlen. Bildungsgesetz der Fibonacci-Zahlen: für n > 2 wobei f 1 = f 2 = 1. f n = f n 1 + f n 2 v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 9 / 47

10 U ber mich Organisatorisches Mathematik Wiederholung Mengenlehre Zahlen Die Mathematik ist die Sprache der Natur Flu sse und die Zahl π! v3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 10 / 47

11 Die Mathematik ist die Sprache der Natur Originallänge Luftlinie π v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 11 / 47

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13 Mathematik kann Geld sparen Crashtests v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 13 / 47

14 Mathematik hilft bei der Wettervorhersage Vilhelm Bjerknes Zieht man aktuelle Auswertungen des Europäischen Zentrums für mittelfristige Wettervorhersage (EZMW) heran, kommt man zu dem Schluss, dass eine heutige numerische Wettervorhersage für 6-7 Tage über Europa dieselbe Güte hat, wie eine 4 Tage Vorhersage in den 80er Jahren. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 14 / 47

15 Mathematik ist überall!

16 Gleichungen Gleichungen x 2 = 5 4x 2 = 6 v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 16 / 47

17 Variablen Die Variable v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 17 / 47

18 Variablen v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 18 / 47

19 Die Menge v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 19 / 47

20 Eine Menge von Keksen Eine Menge von Keksen grafisch Wichtig! In einer Menge scheint jedes Element nur einmal auf. Mengen werden mit Großbuchstaben bezeichnet. Die Elemente einer Menge werden zwischen Mengenklammern { und } gesetzt, und durch Beistriche getrennt. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 20 / 47

21 Ein Element von..., Kein Element von... v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 21 / 47

22 Die leere Menge Die leere Menge {} Eine, Menge die kein Element besitzt, nennt man leere Menge. Das mathematische Symbol für eine leere Menge ist: {} Sei B eine leere Menge. Dann schreibt man B = {} v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 22 / 47

23 Gleichheit von Mengen Die Mengen A und B nennt man gleich, wenn für jedes Element x der Menge A gilt x B und für jedes Element y der Menge B gilt y A. Wenn zwei Mengen A und B gleich sind, schreibt man auch A = B. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 23 / 47

24 Teilmengen B ist eine Teilmenge von A, wenn für jedes Element x B gilt: x A. Wenn B eine Teilmenge von A ist, schreibt man auch B A. WICHTIG: Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge: {} A v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 24 / 47

25 Schnittmenge (Durchschnittsmenge) Die Schnittmenge bilden alle Elemente, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B enthalten sind. Für die Schnittmenge der Mengen A und B schreibt man auch: A B. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 25 / 47

26 Schnittmenge (Durchschnittsmenge) Ist die Schnittmenge der Mengen A und B die leere Menge {} also A B = {} so nennt man die Mengen disjunkt. Wenn die Schnittmenge die leere Menge {} ist, gibt es kein Element x für das gilt: x A und x B. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 26 / 47

27 Vereinigungsmenge Die Vereinigungsmenge enthält alle Elemente der Menge A und alle Elemente der Menge B. Für die Vereinigungsmenge schreibt man auch A B. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 27 / 47

28 Differenzmenge Bei der Differenzmenge von A und B nimmt man nur jene Elemente aus der Menge A, welche nicht in B enthalten sind. Für die Differenzmenge von A und B schreibt man auch A \ B Man subtrahiert im übertragenen Sinne die Elemente, welche in A und in B enthalten sind, von A. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 28 / 47

29 Mengenlehre mit anderen Objekten Offensichtlich funktioniert die Mengentheorie wunderbar für Kekse. Natürlich können Mengen auch andere Objekte beinhalten, wie zum Beispiel: Zahlen: A = {1, 5, 4, 6, 2} Variablen: A = {a, b, c} Mengen: A = {{r, s, t}, {2, 1, x}, {54, 6, 9}} Unsere Mengenoperatoren (,,,...) funktionieren natürlich genauso. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 29 / 47

30 Mengen durch das beschreibende Verfahren definieren Bis jetzt wurden die Mengen immer durch Aufzählen der Elemente definiert: Die Menge A enthält die Elemente a, b, c und d (A = {a, b, c, d}) Dieses Verfahren (aufzählendes Verfahren) eine Menge zu definieren kann schnell langweilig werden, wenn man zum Beispiel eine Menge definieren will, die Elemente besitzt. Um dieses Problem zu umgehen, bedient sich der Mathematiker dem beschreibenden Verfahren eine Menge zu definieren. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 30 / 47

31 Mengen durch das beschreibende Verfahren definieren Will man zum Beispiel die Menge A mit den Zahlen zwischen 5 und 1000 bestücken, kann man die Menge wie folgt definieren: A = {x N 5 x 1000} Gelesen wird diese Zeile wie folgt: A ist die Menge aller x aus den natürlichen Zahlen (N) für die gilt: x ist größer oder gleich 5 und kleiner oder gleich Es gibt auch noch weitere sprachliche Abkürzungen nämlich für und und oder : und: Abkürzung: oder: Abkürzung: Nun kann man noch komplexere Mengen definieren: A = {y N 1 < y < 7 10 < y < 100} Gelesen: A ist die Menge aller y für die gilt: y ist größer als 1 und kleiner als 7 und y ist größer als 10 und kleiner als 100. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 31 / 47

32 Unendlich große Mengen Bisher wurden nur endliche Mengen betrachtet. Endliche Mengen sind Mengen mit einer endlichen Anzahl an Elementen. Es gibt jedoch auch Mengen die eine unendliche Anzahl an Elementen beinhalten: Die Menge der Natürlichen Zahlen: N = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7,...} Die Menge der Ganzen Zahlen: Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 32 / 47

33 Übungsbeispiele Übung Mathematikbuch Seite 12 Beispiele: Bsp 2.01: b, d, f, h, j Bsp 2.02 Bsp 2.03 d, e, f Bsp 2.04 a, c, g, h Bsp 2.05 a, b, c, d, h, f v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 33 / 47

34 Die Natürlichen Zahlen Die Menge der Natürlichen Zahlen Die Menge der Natürlichen Zahlen ist eine Menge aller positiven Ganzen Zahlen inklusive der Null. Die Menge der Natürlichen Zahlen nennt man immer N. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} N = N \ {0} = {1, 2, 3, 4, 5,...} v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 34 / 47

35 Die Natürlichen Zahlen Wichtige Teilmengen der Natürlichen Zahlen Eine Zahl ist eine gerade Zahl, wenn sie ohne Rest durch 2 teilbar ist: 4/2 = 2 mit 0 Rest. Daraus folgt: 4 ist eine gerade Zahl wobei 5 keine gerade Zahl ist, da 5 : 2 = 2 mit 1 Rest. Also gehört 5 nicht zu der Menge der geraden Zahlen. Die Menge der geraden Natürlichen Zahlen: N g = {2, 4, 6, 8, 10,...} N Eine Zahl ist eine ungerade Zahl, wenn bei der Division durch 2 ein Rest entsteht. Die Menge der ungeraden Natürlichen Zahlen: N u = {1, 3, 5, 7, 9,...} N v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 35 / 47

36 Die Natürlichen Zahlen Wichtige Teilmengen der Natürlichen Zahlen: Primzahlen Eine Primzahl ist eine Zahl die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist: Zum Beispiel ist 3 nur durch 1 und 3 ohne Rest teilbar folglich ist 3 eine Primzahl. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} N v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 36 / 47

37 Die ganzen Zahlen Die Menge der Ganzen Zahlen Die Menge der Ganzen Zahlen ist die Menge der Natürlichen Zahlen vereinigt mit der Menge der negativen Zahlen. Die Menge der Ganzen Zahlen nennt man immer Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Teilmengen der Ganzen Zahlen: Z = Z \ {0} Z + = N Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1} Z + 0 = N v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 37 / 47

38 Die ganzen Zahlen Vorzeichenregeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 38 / 47

39 Die ganzen Zahlen Rechenregeln x + y = y + x x y = y x (x +y)+z = x +(y +z) = x +y +z (x y) z = x (y z) = x y z x (y + z) = x y + x z Vertauschungs- oder Kommutativgesetz Verbindungs- oder Assoziativgesetz Verteilungs- oder Distributivgesetz v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 39 / 47

40 Die ganzen Zahlen Vorrangregeln v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 40 / 47

41 Übungsbeispiele Übung Mathematikbuch Beispiele: Bsp Bsp Bsp b, e, h Bsp a, b, c v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 41 / 47

42 Die rationalen Zahlen Die Menge der Rationalen Zahlen Die Menge der Rationalen Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch x y mit x Z und y Z darstellen lassen. Für die Menge der Rationalen Zahlen schreibt man auch Q. Eine Rationale Zahl ist entweder eine endliche Dezimalzahl wie 1 2 = 0, 5 oder eine periodische Dezimalzahl wie 1 3 = 0, = 0, 3. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 42 / 47

43 Die rationalen Zahlen Das Rechnen mit Brüchen Tafel... v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 43 / 47

44 Die rationalen Zahlen Übung Mathematikbuch Beispiele: Bsp a, e Bsp a, e Bsp a, b Bsp a, d, g v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 44 / 47

45 Die irrationalen Zahlen Die Menge der Irrationalen Zahlen Die Menge der Irrationalen Zahlen sind alle Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. Für die Menge der Irrationalen Zahlen schreibt man auch I 2, π, e, 5... sind Irrationale Zahlen. v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 45 / 47

46 Die reellen Zahlen Die Menge der Reellen Zahlen Die Menge der Reellen Zahlen ist die Vereinigung der rationalen und der irrationalen Zahlen. Q I = R Teilmengen der reellen Zahlen R + = {x R x > 0} R + 0 = {x R x 0} R = {x R x < 0} R 0 = {x R x 0} v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 46 / 47

47 Die Zahlenmengen im Überblick N Z Q R v 3 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W1 47 / 47