Achtung: Aufgabe 1: Händischer Teil ( maximal 15 Minuten ) S. 1 / 4 Mathematik Einführungsphase 1. Klausur (18 Punkte)

Transkript

1 . 1 / 4 Mathematik Einführungsphase 1. Klausur chtung: Bitte für jede ufgabe ein eigenes Blatt verwenden! Die Bearbeitungen müssen einen Lösungsweg enthalten, eine reine Ergebnisangabe reicht nicht! Benutze die übliche chreibweise P(...) = echne mit vier und runde auf maximal drei tellen! Erläuternder Text erleichtert das Verständnis und ist wichtig für eine gute Bewertung! ntwortsätze nicht vergessen! ufgabe 1: Händischer Teil ( maximal 15 Minuten ) (18 Punkte) Ein nicht gefälschter Würfel wird dreimal geworfen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dreimal eine 6 zu würfeln? (1 P) b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit nur Zahlen echt kleiner drei zu würfeln? (2 P) c) Ist das unter b) aufgeführte Experiment ein Laplace-Experiment? (3 P) ntworte mit Begründung. d) Für die Fragestellung " Ist die ugenzahl gerade () oder ungerade ()?" wurde der folgende Baum gezeichnet. Berechne und schreibe an den Baum die Werte für die Wahrscheinlichkeit, dass... (1) immer eine gerade... (1 P) höchstens einmal eine gerade... (2 P) (3) genau zweimal eine gerade... (3 P)... Zahl gewürfelt wird. e) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, nur Vielfache von 2 zu würfeln? (2 P) f) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die ugensumme ungerade ist? (4 P)

2 . 2 / 4 Mathematik Einführungsphase 1. Klausur ufgabe 2: (mehrstufige Zufallsexperimente, Baumdiagramme) (20 Punkte) Irmtraut isst für Ihr Leben gerne rote oder orange ummibärchen. ie greift dreimal blind in eine kleine Tüte ummibärchen, die 3 orange, 2 rote, 4 grüne, 4 weiße und 2 braune Bären enthält. elbstverständlich legt sie gezogene Bärchen nicht wieder zurück. a) Zeichne einen vollständig beschrifteten Baum für Irmtraut, die sich wirklich nicht für die anderen Bärchen interessiert, also nur die Fälle ot/orange und andere Farbe betrachtet. (8 P) b) Ist das angegebene Experiment ein Laplace-Experiment? (2 P) ntworte mit Begründung. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal ein gewünschtes Bärchen zu erwischen? (3 P) d) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dreimal ein gewünschtes Bärchen zu erwischen? (1 P) e) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten riff in die Tüte kein grünes Bärchen zu ziehen, wenn man auch schon im ersten riff kein grünes hatte. (2 P) f) Mit wie vielen verschiedenen Farbkombinationen (keine Farbe ist doppelt) muss Irmtraut bei Berücksichtigung der eihenfolge rechnen (1) wenn sie nur die Fälle ot/orange und andere Farbe betrachtet? (2 P) wenn sie alle Farben unterscheidet? (2 P)

3 . 3 / 4 Mathematik Einführungsphase 1. Klausur ufgabe 3: (Vierfeldertafel und Baumdiagramme) (22 Punkte) Die Zeitschrift Computerbild zeichnete in einer usgabe einen pam-filter (pam ist Werbemüll) als Testsieger aus, der 95 % aller Werb s aussortiert. Zugleich werden aber auch 1 % der gewünschten s (private und bestellte Infopost) ausgefiltert. Die folgende Vierfeldertafel veranschaulicht die achlage: P N esamt (pam) 0,855 0,045 0,9 (kein pam) 0,001 0,099 0,1 esamt 0,856 0,144 1 Dabei bezeichne: P: Der pam-filter zeigt an, dass es sich um pam handelt (positives Testergebnis) N: Der pam- Filter zeigt an, dass es sich nicht um pam handelt (negatives Testergebnis) a) Eine Firma bekommt im Monat 1000 Mails. Erstelle eine Vierfeldertafel mit den absoluten Zahlen. (4 P) b) Die Firma löscht alle als pam eingestuften Mails automatisch. (8 P) Bestimme nun die Wahrscheinlichkeit, dafür dass... (1) ein positives Testergebnis vorliegt. eine Mail gelöscht wird und kein pam ist. (3)... der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass eine pam-mail getestet wird. (4) eine pam-mail irrtümlich nicht durch den Test identifiziert wird. c) Formuliere die folgenden Wahrscheinlichkeiten zunächst wie in b) in Worten ( Die Wahrscheinlichkeit, dass... ) und berechne diese anschließend. (4 P) (1) P P () = P N () = d) Zeichne eines der beiden hierzu möglichen Baumdiagramme (3 P) e) Beurteile aufgrund Deiner Ergebnisse aus c) die Verlässlichkeit des Tests. (3 P)

4 . 4 / 4 Mathematik Einführungsphase 1. Klausur Diese ufgabe bitte direkt auf dem Blatt bearbeiten!! ufgabe 4: (Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeiten) (20 Punkte) Neue Daten über die Erwerbstätigkeit in Deutschland 51,1 % der 82,5 Mio. Einwohner Deutschlands sind Frauen. Die Erwerbsquote (nteil der Personen, die erwerbstätig sind) unter Frauen beträgt 42,4 %, unter Männern 55,3 %. Bei diesen Zahlen aus dem Jahr 2003 sind auch Personen unter 15 Jahren bzw. über 65 Jahren berücksichtigt, die nicht erwerbstätig sein können. tatistisches Bundesamt, Wiesbaden 2004 a) Vervollständige die Vierfeldertafel mit den relativen Häufigkeiten: (8 P) F (Frau) M (Mann) gesamt e (erwerbstätig) ê (nicht erwerbstätig) gesamt b) In einer mfrage wird unter anderem auch das eschlecht und die Erwerbstätigkeit abgefragt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass (1) eine Person weiblich ist, wenn sie erwerbstätig ist. (3 P) eine Person, die nicht erwerbstätig ist, männlich ist. (3 P) (3) eine beliebige Person erwerbstätig ist. (3 P) (4) eine beliebige Person erwerbstätig und männlich ist. (3 P) Viel Erfolg!

5 . 5 / 4 Mathe E-phase 1. Klausur Lösungen ufgabe 1: Händischer Teil ( maximal 15 Minuten ) (18 Punkte) Ein nicht gefälschter Würfel wird dreimal geworfen. a) P(666) = 1 : 6 3 = 1 /216 = 0,46 % (1 P) b) P(x<3) = 1 : 3 3 = 1 / 27 = 3,7 % (2 P) c) Kein Laplace-Experiment, da zwei usgänge "<3 " bzw." >3" mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten 1/ und 2/3 (3 P) d) "ugenzahl gerade () oder ungerade ()" Baum. Berechne und schreibe an den Baum (1) immer gerade P() = 1:2³ = 1:8 = 0,125 (1 P) P(max ein ) = 4:8 = 0,5 im oder 3. Wurf oder kein (2 P) (3) P(genau zwei ) = 3:8 = 0,375 nämlich 3mal genau 1 (3 P)... gewürfelt wird. e) P(n 2) = P() = 0,125 (s. o. wie d(1) (2 P) f) P(ugensumme ungerade) = P(3 v 1) = P() + P() + P() + P() = = 4 0,12 = 0,5 (4 P) (3) ufgabe 2: (20 Punkte) Irmtraut greift dreimal blind ohne Zurücklegen: 3 o + 2 r + 4 g + 4 w + 2 b = 15 Bärchen a) Vollständig beschrifteter Baum, aber (8 P) nur für die Fälle für ot/orange und für andere Farbe betrachtet. (3) (3) (1) b) Kein Laplace-Experiment, (2 P) da P() < P() 4/14 3/13 10/13 c) P( > 0) = 1 P() = = 1 = 1 0,264 = 0, (3 P) d) P() = = 0,022 (1 P) e) P( ) = = = 0,524 (2 P) f) Wie viel Farbkombinationen muss Irmtraut rechnen 5/15 10/15 (1) Bei nur / : Zwei auf drei Plätzen also 2 1 = 2 Komb (2 P) lle Farben, also 5 Farben auf 3 Plätzen = = 60 (2 P) 10/14 5/14 9/14 4/13 9/13 4/13 9/13 5/13 8/13 (c)

6 . 6 / 4 Mathe E-phase 1. Klausur Lösungen ufgabe 3: (Vierfeldertafel und Baumdiagramme) (22 Punkte) 95 % aller Werb s aussortiert, aber auch 1 % der gewünschten s P(Test positiv): Der pam-filter zeigt an, dass es sich um pam handelt N(Test negativ): Der pam- Filter zeigt an, dass es sich nicht um pam handelt. absolut P N esamt (pam) (kein pam) esamt a) 1000 Mails, Vierfeldertafel mit absoluten Zahlen. (4 P) b) Die Firma löscht alle als pam eingestuften Mails automatisch. Bestimme nun die Wahrscheinlichkeit, dafür dass... (1)... ein Testergebnis positiv ist : P(P) = 0,856 (2 P)... eine Mail gelöscht wird und kein pam ist: P(P ) = 0,001 (2 P) (3) (Wie oben im Text schon angegeben) % der pams aussortiert werden: oder P (P) = P( P) : P() = 855 : 900 = 0,95 (2 P) (4) eine pam-mail wird nicht erkannt (egenereignis zu (3), also 1-95% = 5%) oder P (N) = P( N) : P() = 45 : 900 = 0,05 (2 P) c) Formuliere die folgenden Wahrscheinlichkeiten zunächst wie in b) in Worten ( Die Wahrscheinlichkeit, dass... ) und berechne diese anschließend. (1) "W-keit, dass eine positiv getestete Mail pam ist." (2 P) P P () = P( P) : P(P) = 855 : 856 = 0,99883 "W-keit, dass eine negativ getestete Mail kein pam ist." (2 P) P N () = P(N ) : P(N) = 99 : 144 = 0,6875 d) Zeichne eines der beiden hierzu möglichen Baumdiagramme (3 P) P N N P P oder N e) Die Verlässlichkeit des Tests ist nicht sehr hoch, da zwar nahezu alle 99,9% der entfernten Mails tatsächlich auch pams sind, aber etwa 32 % = 1-68 %, also 1 von 3 durchgelassene Mails ebenfalls pam sind (3 P)

7 . 7 / 4 Mathe E-phase 1. Klausur Lösungen Diese ufgabe wird direkt auf dem Blatt bearbeitet!! ufgabe 4: (Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeiten) (20 Punkte) Neue Daten über die Erwerbstätigkeit in Deutschland 51,1 % der 82,5 Mio. Einwohner Deutschlands sind Frauen. Die Erwerbsquote (nteil der Personen, die erwerbstätig sind) unter Frauen beträgt 42,4 %, unter Männern 55,3 %. Bei diesen Zahlen aus dem Jahr 2003 sind auch Personen unter 15 Jahren bzw. über 65 Jahren berücksichtigt, die nicht erwerbstätig sein können. tatistisches Bundesamt, Wiesbaden 2004 a) Vervollständige die Vierfeldertafel mit den relativen Häufigkeiten: (8 P) F (Frau) M (Mann) gesamt e (erwerbstätig) 0,217 0,270 0,487 ê (nicht erwerbstätig) 0,294 0,219 0,513 gesamt 0,511 0,489 1,000 P(F e) = P F (e) P(F) = 0,424 0,511 = 0,21666 ; P(M e) = P M (e) P(F) = 0,553 0,489 = 0,27042 b) In einer mfrage wird unter anderem auch das eschlecht und die Erwerbstätigkeit abgefragt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass (1) erwerbstätige Person weiblich: P e (F)= P(e F):P(e) = 0,217 : 0,487 = 0,44 56 (3 P) nicht erwerbstätige Person männlich ist: P ê (M)= P(ê M):P(ê) = 0,219 : 0,513 = 0,42 69 (3 P) (3) eine beliebige Person erwerbstätig ist: P(e) = 0,487 (3 P) (4) eine Person erwerbstätig und männlich ist: P(e M) = 0,270 (3 P)