Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Absolute und relative Häufigkeiten Wenn man mit Reißzwecken würfelt, dann können sie auf den Kopf oder auf die Spitze fallen. Was ist wahrscheinlicher? Ein Versuch schafft Klarheit. Um nicht immer wieder mit einer Reißzwecke würfeln zu müssen, kann man mit einer größeren Anzahl gleichzeitig würfeln. Am Besten geht dies mit einer Schachtel als Unterlage. Nach dem Versuch wird das Ergebnis ausgezählt. Beschreibe dein Ergebnis in einem kurzen Text: Zahl der Reißzwecken Kopf Spitze Rel. Häufigkeit Kopf Rel. Häufigkeit Spitze

2 Absolute und relative Häufigkeiten In der sind Würfel Zufallsgeneratoren. Wir wollen untersuchen wie wahrscheinlich es ist, eine 7 zu würfeln. Dazu wird in Schülergruppen gewürfelt und die Ergebnisse werden in der Liste unten notiert. Begriffe: Wir warten auf eine 7 beim Würfeln mit zwei Würfeln. Dies nennt man in der ein Ereignis! Nr.. Würfel Würfel Ergebnis abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit

3 Der schnellste Weg Zu Beginn des Spieles werden von jedem Mitspieler drei Spielsteine auf jeweils drei Startzahlen zwischen und gesetzt. Anschließend wird mit zwei Würfeln gewürfelt und die Augensumme gebildet. Stimmt die Augensumme mit einer gesetzten Startzahl überein, darf man ein Feld vorrücken und nochmals würfeln. Stimmen Augensumme und Startzahl nicht überein, ist der nächste Spieler dran. Wer mit seinem Spielstein auf ein Zielfeld (Z) kommt, hat einen Gewinnpunkt gemacht und darf seinen Stein wieder auf eine neue beliebige Startzahl setzen. Gewonnene Reihen bleiben gesperrt. Gewonnen hat derjenige, der zuerst Gewinnpunkte hat.

4 Kreisel Zeichne für die beiden dargestellten Kreisel ein Baumdiagramm und untersuche folgende Ereignisse: E: E: E: E4: Man erhält einen Pasch Man erhält eine ungerade Gesamtzahl Man erhält zwei rote Zahlen Man erhält eine Zahl größer als 5 Gebe die Wahrscheinlichkeiten als Bruch und als Dezimalzahl an! Wahrscheinlich wirst du das Baumdiagramm nicht vollständig zeichnen können. Es reicht wenn du mit der Zeichnung andeutest, wie das Diagramm weiter geführt wird.

5 Lotto aus 9 Anstelle des bekannten Lottos aus 49 sollt ihr den kleinen Ableger davon aus 9 spielen. Dafür müsst ihr zunächst 9 Papierschnipsel mit den Zahlen -9 beschriften und dann in einen undurchsichtigen Behälter füllen. Jeder aus der Klasse tippt eine Dreierkombination aus der Menge {,,,4,5,,7,8,9} (z.b. --7). Es darf dabei keine Zahl doppelt vorkommen. Im Anschluss daran zieht der Lehrer drei Schnipsel aus dem Behälter. a) Nachdem an der Tafel die Ergebnisse aller Schüler notiert wurden (absolute Häufigkeit), berechne die relative Häufigkeit der einzelnen Zahlen. b) Wie groß war rein rechnerisch die Wahrscheinlichkeit, 0,, oder Richtige zu haben. c) Vergleiche das Ergebnis aus Teil b) mit dem aus a). Was könnte die Ursache für die Differenzen sein? Erstelle ein Baumdiagramm für diesen mehrstufigen Zufallsversuch und bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse E => keine Kugel wird richtig gezogen E => eine Kugel wird richtig gezogen E => zwei Kugeln werden richtig gezogen E4 => drei Kugeln werden richtig gezogen.

6 Das -Türen-Problem In der amerikanischen Fernsehshow Let s make a deal ist ein Auto ein Hauptpreis. Um ihn zu gewinnen, muss sich der Kandidat schließlich für die richtige von drei verschlossenen Türen entscheiden. Hinter einer befindet sich das Auto, hinter den beiden anderen jeweils eine Ziege. Wenn sich der Kandidat für eine der drei Türen entschieden hat, zum Beispiel für Tür, öffnet der Moderator, der weiß, was sich hinter den Türen befindet, mit den Worten Soll ich Ihnen mal was zeigen? eine der beiden anderen Türen, zum Beispiel Tür, und eine Zeige schaut ins Publikum, denn der Moderator öffnet niemals die Tür, hinter der das Auto steht. Der Kandidat hat nun noch die Möglichkeit, sich für die andere verschlossene Tür (hier Tür ) zu entscheiden oder bei seiner ursprünglichen Wahl zu bleiben(hier Tür ). Was soll der Kandidat machen? Diese Frage wurde der Journalistin Marilyn vos Savant, die angeblich der Mensch mit dem höchsten Intelligenzquotienten ist, von einem Leser der Zeitschrift Parade gestellt. In ihrer Kolumne Ask Marylin antwortete sie, dass der Kandidat auf jeden Fall wechseln sollte. Dieses Vorgehen würde seine Gewinnwahrscheinlichkeit verdoppeln, nämlich von / auf /. Daraufhin erhielt sie etwa zehntausend Leserbriefe, die diese Strategie für falsch hielten. Was ist deine Meinung?

7 Zufallsgerät: Unten siehst du ein Netz eines Körpers, der einem Oktaeder recht ähnlich ist. Auf den Körperflächen sollen die Zahlen von bis 8 so verteilt werden, dass der Würfel nach Möglichkeit große Zahlen erzeugt. Allerdings ist die Verteilung der Zahlen auf den Würfelflächen nicht beliebig. Die gegenüberliegenden Seiten sollen als Augensumme immer 9 ergeben. Eine Bedingung für benachbarte Zahlen gibt es nicht. Überlege dir genau, wie du die Zahlen anordnest. Dann schreibe die Zahlen vor dem Zusammenkleben auf den Körper! Nach dem Zusammenbau soll der Würfel getestet werden. Es wird 5 Mal mit dem Körper gewürfelt und die Ergebnisse werden notiert. Ist die 8 wirklich besonders häufig aufgetreten?

8 Die Würfel des Herrn Efron Die rechts abgebildeten Würfel tragen die Zahlen 0 bis 8. Auch die Verteilung der Zahlen ist nicht gleich. Sie ist durch die Netzdarstellung leicht ersichtlich. Der erste Spieler wählt einen Würfel. Danach wählt der Gegenspieler. Nun wird gewürfelt und die Ergebnisse werden in der Tabelle auf diesem Blatt notiert. Berechnet zum Schluss die Gewinn-Häufigkeit des ersten und zweiten Spielers. Spieler wählt Würfel A. Welchen Würfel sollte Spieler wählen? Spieler wählt Würfel D. Welchen Würfel sollte Spieler wählen? Spieler wählt Würfel C. Welchen Würfel sollte Spieler wählen? Zeichne ein Baudiagramm. 0 0 A B Ergebnis Spieler Ergebnis Spieler 8 8 C Gewinner Spieler D Gewinner Spieler

9 Merkwürdige Würfel: Dieses Zufallsgerät ist nicht regelmäßig. Die Fläche mit Vier und Drei ist doppelt so groß wie die übrigen Flächen. Schätze zunächst die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Vier und einer Zwei. Nun soll 5 mal mit diesem Würfel gewürfelt werden. Danach wird die relative Häufigkeit für das Auftreten Vier und einer Zwei ermittelt. Aufträge zum Baumdiagramm: Zeichne ein einfaches Baumdiagramm für das einmalige Würfeln mit diesem Zufallsgerät und schreibe die ermittelten Wahrscheinlichkeitswerte in das Diagramm Zeichne ein zweistufiges verkürztes Baumdiagramm für das Ereignis Zweimal hintereinander eine Vier würfeln. Nr. Wurf Abs Rel. abs. rel. Häufigkeit (4) Häufigkeit(4) Häufigkeit () Häufigkeit ()

10 Merkwürdige Würfel: Dieses Zufallsgerät ist nicht regelmäßig. Die Fläche mit Fünf und Eins ist ein gleichseitiges Dreieck. Die anderen Flächen sind Rechteck-Flächen. Auch das Würfeln erfolgt hier ein wenig anders. Gewürfelt ist die Zahl, die unten liegt. Schätze zunächst die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Fünf und einer Drei. Nun soll 5 mal mit diesem Würfel gewürfelt werden. Danach wird die relative Häufigkeit für das Auftreten Fünf und einer Drei ermittelt. Aufträge zum Baumdiagramm: Zeichne ein einfaches Baumdiagramm für das einmalige Würfeln mit diesem Zufallsgerät und schreibe die ermittelten Wahrscheinlichkeitswerte in das Diagramm Zeichne ein zweistufiges verkürztes Baumdiagramm für das Ereignis Zweimal hintereinander eine Drei würfeln. Nr. Wurf Abs Rel. abs. rel. Häufigkeit (5) Häufigkeit(5) Häufigkeit () Häufigkeit ()

11 Du erhältst ein Gefäß mit Smarties. Bitte keine aufessen. a) Sortiere die Smarties nach Farben. b) Zeichne ein nach Farben sortiertes Baumdiagramm für ein zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit aus einer undurchsichtigen Tüte ein rotes Smartie zu ziehen? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwei mal hintereinander eine rote Süßigkeit zu ziehen. Natürlich wird das erste gezogene Smartie nicht zurückgelegt. e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander die gleiche Farbe zu ziehen?