Intransitive Würfel Lösungen

Transkript

1 Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Intransitive Würfel Lösungen Hier sind nochmal Efrons Würfel für euch abgebildet: Würfel A Würfel B Würfel C Würfel D Aufgabe (Würfelexperiment (nur für die Klassen 7/8)). Sucht einen Spielpartner. Einer von euch nimmt Würfel A und der andere Würfel B. Würfelt 0 mal gegeneinander und notiert, wer wie oft gewonnen hat (es gewinnt, wer die höhere Zahl gewürfelt hat). Jetzt nimmt einer Würfel B und der andere nimmt Würfel C und wieder würfelt ihr 0 mal gegeneinander und notiert, wie oft jeder gewonnen hat. Macht das gleiche dann auch mit Würfel C gegen Würfel D, und dann mit Würfel D gegen Würfel A. Lösung. Für diese Aufgabe kann keine sinnvolle Musterlösung angegeben werden, denn ihr solltet ja nur eure Ergebnisse des Würfelexperiments notieren. Da das Würfelergebnis vom Zufall abhängt, kann man hier keine Ergebnisse als richtig oder falsch werten. Für die nächsten Aufgaben war die folgende Situation gegeben: Anton, Bruno, Christine und Dorothee wollen mit den Würfeln A, B, C und D gegeneinander spielen. Anton nimmt den Würfel A, Bruno den Würfel B, Christine den Würfel C, und Dorothee den Würfel D. Es gewinnt, wer die höhere Zahl gewürfelt hat. Aufgabe (ewinnwahrscheinlichkeit gegen Bruno (nur für die Klassen 7/8)). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Dorothee gegen Bruno gewinnt? Und wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass Anton gegen Bruno gewinnt, bzw. dass Christine gegen Bruno gewinnt? Begründe alle deine Antworten! Lösung. Wir betrachten zuerst das Spiel von Dorothee gegen Bruno. Bruno würfelt mit dem Würfel B. Dieser aber hat als Augenzahl auf jeder Seite die, d.h. Bruno wird beim Würfeln immer eine würfeln. Auf Dorothees Würfel kommt sowohl die als auch die als Augenzahl vor. Würfelt Dorothee eine, so verliert sie gegen Bruno, würfelt sie jedoch eine, so gewinnt sie gegen ihn. Wir müssen uns also nur noch überlegen, wie wahrscheinlich es ist, dass sie eine oder eine würfelt. Die kommt als Augenzahl auf ihrem Würfel genau drei mal vor, und die kommt als Augenzahl ebenso genau drei mal vor, d.h. die Thema vom 0. Dezember 08. Einsenden der Lösungen bis 0. Februar 0. Schülerzirkel Mathematik, Fakultät für Mathematik, 00 Regensburg [email protected] Allgemeine Informationen zur Teilnahme: Allgemeine Hinweise zum Lösen von Aufgaben:

2 Wahrscheinlichkeit eine oder eine zu würfeln, ist gleich. Somit gewinnt sie mit 0% Wahrscheinlichkeit gegen Bruno. Bei dem Spiel Anton gegen Bruno ist der edankengang ähnlich: Wenn Anton eine 0 würfelt, so verliert er gegen Bruno, und wenn er eine würfelt, so gewinnt er gegen ihn. Auf Antons Würfel kommt die genau vier mal vor und da der Würfel genau sechs Seiten hat, gewinnt Anton mit der Wahrscheinlichkeit / = / gegen Bruno. Und ganz genauso argumentieren wir auch bei dem Spiel Christine gegen Bruno: Christine gewinnt gegen ihn, wenn sie eine würfelt, und sie verliert gegen ihn, wenn sie eine würfelt. Die kommt auf ihrem Würfel genau zwei mal vor, d.h. ihre ewinnwahrscheinlichkeit gegen Bruno ist / = / (was man ebenso auch als, % schreiben kann). Bemerkung: Wir werden im Folgenden Brüche wie zum Beispiel / nicht kürzen, weil es dann verständlicher ist wie diese Brüche entstehen. Aufgabe (Anton, Christine und Dorothee gegeneinander ). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass Christine gegen Dorothee gewinnt, dass Dorothee gegen Anton gewinnt, bzw. dass Anton gegen Christine gewinnt? Begründe deine Antworten! Lösung. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten bei dieser Aufgabe benutzen wir Baumdiagramme. Wir fangen mit dem Spiel von Christine gegen Dorothee an. Christine würfelt mit einer Wahrscheinlichkeit von / eine und mit Wahrscheinlichkeit / eine, und Dorothee würfelt jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von / eine oder eine. Da die Würfe von Christine und Dorothee unabhängig voneinander sind, kann man das auf die folgende Art als Baumdiagramm aufzeichnen: Christines Wurf Dorothees Wurf Jetzt schauen wir uns alle Pfade in dem Baumdiagramm an, bei denen Christine gegen Dorothee gewinnt: Christine würfelt eine und Dorothee eine. Das ist in dem Baumdiagramm der Pfad, wenn man zweimal links läuft. Es sei daran erinnert, dass die Angabe / für die Wahrscheinlichkeit ebenso auch als, % angegeben werden kann.

3 Christine würfelt eine und Dorothee eine. Das ist in dem Baumdiagramm der Pfad, wenn man erst rechts läuft und dann links. Christine würfelt eine und Dorothee eine. Das ist in dem Baumdiagramm der Pfad, wenn man erst rechts läuft und dann wieder rechts. Um die ewinnwahrscheinlichkeit von Christine gegen Dorothee zu berechnen, erinnern wir uns jetzt daran, wie man das mit einem Baumdiagramm macht: Man summiert die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade auf, bei denen Christine gewinnt. Und um die Wahrscheinlichkeit eines Pfades auszurechnen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Pfades miteinander multiplizieren. Wenn Christine eine und Dorothee eine würfelt, so ist die Wahrscheinlichkeit also laut obigem Baumdiagramm / / = /. Wenn Christine eine und Dorothee eine würfelt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür / / = /. Wenn Christine eine und Dorothee eine würfelt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür ebenfalls / / = /. Summiert man diese drei Wahrscheinlichkeiten auf, so erhält man / + / + / = /, d.h. Christine gewinnt mit Wahrscheinlichkeit / gegen Dorothee. Bei dem Spiel Dorothee gegen Anton haben wir folgendes Baumdiagramm: Dorothees Wurf 0 0 Antons Wurf Dorothee gewinnt gegen Anton bei den folgenden drei Pfaden: Erst links und dann wieder links laufen im Baumdiagramm. Für diesen Pfad erhalten wir eine Wahrscheinlichkeit von / / = /. Erst rechts und dann links laufen im Baumdiagramm. Für diesen Pfad erhalten wir ebenfalls eine Wahrscheinlichkeit von / / = /. Erst rechts und dann wieder rechts laufen im Baumdiagramm. Für diesen Pfad erhalten wir eine Wahrscheinlichkeit von / / = /.

4 Insgesamt ist also die Wahrscheinlichkeit, dass Dorothee gegen Anton gewinnt / + / + / = /. Jetzt müssen wir uns zum Schluss noch das Spiel von Anton gegen Christine anschauen. Das Baumdiagramm sieht hierbei wie folgt aus: 0 Antons Wurf Christines Wurf Anton gewinnt bei nur einem einzigen Pfad gegen Christine, nämlich wenn wir im Baumdiagramm erst rechts und dann links laufen. Dafür ist die Wahrscheinlichkeit / / = /, und da das der einzige Pfad ist, den wir betrachten müssen, ist also insgesamt die Wahrscheinlichkeit, dass Anton gegen Christine gewinnt, /. Aufgabe (Durchschnittswürfe ). Berechne die durchschnittlichen Würfelergebnisse der Würfel A, B, C und D. ib deinen Lösungsweg mit an! Lösung. Wir erinnern uns, wie man die durchschnittlichen Würfelergebnisse berechnet: Wir multiplizieren die Augenzahlen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, dass sie gewürfelt werden, und summieren dann die entstandenen Produkte auf. Bei Würfel A würfelt man die 0 mit einer Wahrscheinlichkeit von / und eine mit einer Wahrscheinlichkeit von /. Also ist der Durchschnittswurf von Würfel A 0 / + / = 8/ =,. Bei Würfel B würfelt man immer nur die. Somit ist der Durchschnittswurf von Würfel B auch einfach. Bei Würfel C würfelt man eine mit einer Wahrscheinlichkeit von / und eine mit einer Wahrscheinlichkeit von /. Somit ist also der Durchschnittswurf von Würfel C / + / = / + =,. Bei Würfel D würfelt man eine mit einer Wahrscheinlichkeit von / und eine ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von /. Somit ist der Durchschnittswurf von Würfel D / + / =.

5 Aufgabe (Max spielt mit ).. Max will jetzt auch mitspielen. Er tritt gegen Anton an, der weiterhin den Würfel A benutzt. Max aber nimmt sich zufällig (mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit) einen der Würfel B, C oder D. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anton gegen Max gewinnt?. Jetzt will Christine auch gegen Max spielen. Christine nimmt ihren Würfel C, und Max nimmt jetzt zufällig einen der Würfel A, B oder D. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Christine gegen Max gewinnt? Begründe deine Antworten! Lösung. Für beide Teilaufgaben stellen wir jeweils ein Baumdiagramm auf, um auf die Lösung zu kommen.. Die oberste erzweigung im folgenden Baumdiagramm stellt dar, welchen Würfel Max zufällig nimmt. Da er sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwischen den Würfeln B, C und D entscheidet, ist die Wahrscheinlichkeit jeweils /. Nachdem Max sich zufällig einen Würfel ausgesucht hat, stellt die darauffolgende erzweigung im Baumdigramm dar, mit welcher Wahrscheinlichkeit Anton gegen Max gewinnt. Dabei müssen wir auf unsere Lösungen von den Aufgaben und zurückgreifen, in denen wir die ewinnwahrscheinlichkeiten der einzelnen Würfel gegeneinander ausgerechnet haben. Wählt sich Max zum Beispiel zufällig den Würfel B, so ist laut unserer Lösung von Aufgabe die Wahrscheinlichkeit, dass Anton gegen Max gewinnt, /. Entsprechend ist die erlustwahrscheinlichkeit von Anton gegen Max dann /. Im Baumdiagramm ist dies durch die beiden linken unteren Äste dargestellt. Nimmt sich Max zufällig den Würfel C oder D, so müssen wir in unserer Lösung von Aufgabe nachschauen, wie hoch die einzelnen ewinnwahrscheinlichkeiten sind. In dem Baumdiagramm unten haben wir das schon entsprechend eingetragen. B C D Max Würfel ewinn/erlust von Anton Wir müssen ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Anton gegen Max gewinnt. Laut Baumdiagramm ist dies / / + / / + / / = / + /7 + / = /7.

6 . Wir gehen genauso wie der ersten Teilaufgabe vor. Das Baumdiagramm sieht dann wie folgt aus: A B D Max Würfel ewinn/erlust von Christine Die Wahrscheinlichkeit, dass Christine gegen Max gewinnt, ist also / / + / / + / / = /7 + / + / = /7. Für die letzte Aufgabe betrachten wir die folgenden vier Würfel: Würfel E Würfel F Würfel Würfel H Aufgabe (Noch mehr Würfel ).. Berechne die ewinnwahrscheinlichkeiten der neuen Würfel E, F, und H jeweils gegeneinander.. Berechne die durchschnittlichen Würfelergebnisse der Würfel E, F, und H. ib deinen Lösungsweg mit an! Was fällt dir auf, wenn du die Ergebnisse für die neuen Würfel mit denen für die alten Würfel vergleichst? Lösung. Diese Aufgabe ist ähnlich zu den Aufgaben bis.. Um die ewinnwahrscheinlichkeiten der neuen Würfel E, F, und H jeweils gegeneinander zu berechnen, gehen wie genauso wie bei den Aufgaben und vor. Da der Lösungsweg identisch ist, nur mit anderen Zahlen, schreiben wir hier nur die Ergebnisse auf:

7 Würfel ewinnwahrscheinlichkeit E gegen F / E gegen / E gegen H / F gegen / F gegen H / gegen H /. Um die durchschnittlichen Würfelergebnisse der Würfel E, F, und H zu berechnen, gehen wir genauso wie bei Aufgabe vor. Würfel durchschnittliches Würfelergebnis E F H Beim ergleich dieser Ergebnisse mit denjenigen für die Würfel A bis D fällt zuerst auf, dass die ewinnwahrscheinlichkeiten der Würfel gegeneinander jeweils gleich sind; siehe folgende Tabelle: Würfel E gegen F E gegen E gegen H F gegen F gegen H gegen H gleiche ewinnwahrscheinlichkeit wie A gegen B A gegen C A gegen D B gegen C B gegen D C gegen D Bei den durchschnittlichen Würfelergebnissen unterscheiden sich aber die neuen Würfel E bis H von den Würfeln A bis D. Bei den neuen Würfeln E bis H sind sie jeweils gleich, während sie bei den Würfeln A bis D unterschiedlich sind. 7