Am Anfang wird auf ein Spielfeld ein regelmäßiges 2012-Eck gezeichnet.

Transkript

1 Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Spiele Mit Strategie gewinnen rmblkans opopopop 6 POPOPOPO SNAQJBMR a b c d e f g h Aufgaben und Lösungen Aufgabe. Alice und Bob spielen folgendes Spiel: Am Anfang wird auf ein Spielfeld ein regelmäßiges 0-Eck gezeichnet. Ein Zug besteht darin, in das 0-Eck eine Diagonale einzuzeichnen. (Eine Diagonale ist eine Verbindungslinie zwischen zwei nicht benachbarten Ecken.) Die Spieler ziehen abwechselnd. Je zwei Diagonalen dürfen sich nicht schneiden. Derjenige, der die letzte Diagonale einzeichnet, gewinnt. Alice hat den ersten Zug. Thema vom 0. Mai 0. Einsenden der Lösungen bis. Juli 0. Schülerzirkel Mathematik, Fakultät für Mathematik, 00 Regensburg schueler.zirkel@mathematik.uni-regensburg.de

2 Kann einer der beiden Spieler das Spiel gezielt gewinnen? Wenn ja, welcher und mit welcher Strategie? Hinweis (Zur Lösung). Es ist eine gute Idee, sich die Strategie zuerst an einen Spielfeld zu überlegen, dass man sich auch vorstellen kann. Zum Beispiel kann man ein regelmäßiges 0-Eck zeichnen: 0 6 Die Idee besteht nun darin, die Symmetrie des Spielfeldes zu nutzen. Dazu zeichnet Alice im ersten Zug eine Symmetrieachse ein: 0 Alice 6 Jedes mal wenn Bob eine Diagonale einzeichnet, kann Alice die an der Symmetrieachse gespiegelte Diagonale einzeichnen. 0 0 Bob 6 Alice 6

3 0 0 Bob Alice Da Alice somit die Letzte ist, die einen Zug macht, kann sie mit dieser Strategie gezielt gewinnen. Das Spielfeld in Aufgabe ist nun bewusst so groß gewählt, dass es unmöglich ist, es zu zeichnen, d.h. die Aufgabe soll nicht graphisch zu lösen sein. Ziel ist es die eben vorgestellte Strategie mit Worten präzise zu beschreiben, und dabei das 0-Eck durch ein 0-Eck zu ersetzen. Der Vorteil liegt darin, dass wir auch Situationen handhaben können, die wir uns eben nicht mehr vorstellen oder zeichnen können. Lösung. Wir stellen nun eine Strategie vor, mit der Alice das Spiel immer gewinnen kann. Dazu nummerieren wir die Ecken nacheinander von bis 0 durch. Die Diagonale, welche die Ecken a und b miteinander verbindet, bezeichnen wir mit D(a, b). Alice kann nun folgende Strategie nutzen: Zug : Zeichne die Diagonale ( ) 0 A := D, 0 = D(006, 0) ein. Anschaulich formuliert halbiert die Diagonale A das Spielfeld in zwei Hälften. Wird nun eine reguläre Diagonale D(a, b) eingezeichnet, so darf diese A nicht schneiden und muss daher vollständig in einer der beiden Hälften des durch A halbierten Spielfeldes liegen, d.h. a, b 006 oder 006 a, b 0. Jedes Mal wenn nun Bob regulär im k-ten Zug des Spiels (k =,,...) eine Diagonale D(a, b) eingezeichnet hat (d.h. a, b 006 oder 006 a, b 0), kann Alice folgenden Zug durchführen: Zug k+: Ist D(a, b) die im vorhergehenden Zug k von Bob eingezeichnete Diagonale, so zeichne die an A gespiegelte Diagonale D(0 a, 0 b) ein. Da Alice nach jedem Zug von Bob selbst einen regulären Zug durchführen kann und das Spiel nach endlich vielen Zügen endet, ist sie auf jeden Fall die Letzte, die eine Diagonale einzeichnet und gewinnt daher.

4 Aufgabe ( ). Alice und Bob spielen folgendes Spiel: Am Anfang wird auf das Spielfeld ein Gitter mit weißen Kästchen gezeichnet. Ein Zug besteht darin, ein weißes Kästchen schwarz einzufärben. Ein Spieler verliert, wenn durch seinen Zug ein schwarz gefärbter -Bereich entsteht. Alice hat den ersten Zug. Gib eine Strategie an, mit der Bob das Spiel gezielt gewinnen kann. Lösung. Wir nummerieren die Kästchen folgendermaßen durch: 6 6 Es sind also jeweils zwei Kästchen mit der Nummer j {,,,,, 6,, } beschriftet. Bob kann nun folgende Strategie nutzen: Zug k: Hat Alice im im vorhergehenden Zug k- des Spiels (k =,,...) ein Kästchen mit der Nummer j schwarz eingefärbt, so färbe das zweite Kästchen mit Nummer j schwarz ein. Angenommen Bob hat sich immer an die eben vorgestellte Strategie gehalten. Wenn die Strategie nun dazu führen würde, das Bob im Zug k des Spiels einen Bereich a a+ a+ a+ bzw. a+ a+ a a+ (mit a {,, }) schwarz eingefärbt, dann sieht man sofort dass Alice im (k-)-ten Zug ein Bereich der Form a a+ a+ a+ schwarz eingefärbt hat. Daher ist Bob der Gewinner. Aufgabe ( ). Alice und Bob spielen folgendes Spiel: Am Anfang wird auf das Spielfeld ein Gitter mit 0 weißen Kästchen gezeichnet.

5 Ein Zug besteht darin, einen quadratischen Bereich des Gitters, der aus n n weißen Kästchen besteht, schwarz einzufärben. Hierbei sei n eine positive ganze Zahl. Derjenige, der das letzte Kästchen schwarz einfärbt, gewinnt. Alice hat den ersten Zug. Gib eine Strategie an, mit der Alice das Spiel gezielt gewinnen kann. Hinweis (Zur Lösung). Das Spielfeld ist wieder bewusst so groß gewählt, dass es so gut wie unmöglich ist, es zu zeichnen. Es ist daher wieder ratsam, sich die Strategie für ein kleineres Spielfeld klar zu machen. Wir können z.b. ein Spielfeld wählen. Die Idee lautet nun, dass Alice jene Symmetrieachse des Gitters nutzt, welche das Feld in zwei 6 Bereiche trennt Dazu färbt Alice im ersten Zug jenen Bereich schwarz, dessen linke obere Ecke im Gitterpunkt (,0) liegt: Jeder weiße n n Bereich des Spielfeldes liegt nun in einer der beiden Hälften, d.h. immer wenn Bob einen Bereich schwarz einfärbt, also z.b.

6 kann Alice den an der Symmetrieachse gespiegelten Bereich schwarz einfärben: Da Alice auf jeden Zug reagieren kann, wird sie gewinnen. Im Lösungsvorschlag für das große Spielfeld beschreiben wir diese Strategie nun mit Worten. Beachte, dass das 0 Spielfeld höher als breit ist, d.h. dass wir die Argumentation mit x- und y-achse vertauscht durchführen müssen. Lösung. Wir können die Gitterpunkte durch Koordinaten (x, y) {0,,..., 0} {0,,..., } beschreiben. Seien nun x, y nicht-negative ganze Zahlen mit der Eigenschaft, dass x + n 0 und y + n für eine positive ganze Zahl n. Dann bezeichnen wir mit K n (x, y) den n n Bereich des Spielfeldes, dessen untere linke Ecke der Gitterpunkt (x, y) ist, d.h. die Eckpunkte von K n (x, y) sind (x, y), (x+n, y), (x, y+n) und (x + n, y + n). Sei A die Symmetrieachse, welche das Spielfeld in zwei 0 Bereiche trennt, d.h. A ist die Linie, welche die Punkte (0, ) und (0, ) miteinander verbindet. Um zu gewinnen kann Alice nun folgende Strategie nutzen: Zug : Färbe den Bereich ( K 0 0, 0 ) = K 0 (0, 6) schwarz ein. 6

7 Dieses Vorgehen hat folgenden Vorteil: Von den an der Linie A anliegenden Kästchen sind nun alle bis auf zwei schwarz (die zwei weißen Kästchen sind K (0, ) und K (0, )). Jeder noch weiße n n Bereich K n (x, y) des durch A halbierten Spielfeldes liegt daher vollständig in einer der beiden Hälften, d.h. n + y oder n + y. Der an A gespiegelte n n Bereich K n (x, y n) liegt also in der anderen Hälfte des Spielfeldes. Alice kann daher immer folgenden Zug durchführen: Zug k+: Ist K n (x, y) der im vorhergehenden Zug k (wobei k =,,...) schwarz eingefärbte Bereich, so färbe den an A gespiegelten Bereich K n (x, y n) schwarz ein. Da Alice nach jedem Zug von Bob selbst einen regulären Zug durchführen kann und das Spiel nach endlich vielen Zügen endet, ist sie auf jeden Fall die Letzte, die einen Bereich einfärbt. Aufgabe ( ). Alice und Bob spielen folgendes Spiel: Das Spielfeld ist ein 0 0 Schachbrett, in dessen linker oberer Ecke ein König platziert wird. Ein Zug besteht darin, den König gemäß den Schachregeln zu ziehen. Zur Erinnerung: Der König kann horizontal, vertikal oder diagonal auf das unmittelbar angrenzende Feld ziehen. Der König darf nicht auf ein Feld ziehen, auf dem er zuvor bereits einmal gestanden ist. Derjenige, der den König letztmalig regulär bewegt, gewinnt. Alice hat den ersten Zug. Gib eine Strategie an, mit der Alice das Spiel gezielt gewinnen kann. Lösung. Sei A ein Feld in der n-ten Reihe, wobei n ungerade. Dann verbinden wir A und das darunterliegenden Feld in der (n + )-ten Reihe durch einen Doppelpfeil (siehe Skizze). J0Z0Z 0Z0Z0 Z0Z0Z 0Z0Z0

8 Um zu gewinnen kann Alice nun folgende Strategie nutzen (Beachte: der k-te Zug von Alice ist der (k+)-te Zug des Spiels (k = 0,,,...)): Zug k+: Ziehe den König auf jenes Feld, welches mit dem aktuellen Standfeld des Königs durch einen Doppelpfeil verbunden ist. Da Bob nun nicht mehr auf das mit dem Standfeld des Königs verbundene Feld zurückziehen kann, muss er auf ein Feld ziehen, dass mit dem Standfeld nicht durch einem Doppelpfeil verbunden ist. Alice kann folglich jedes Mal den beschriebenen Zug ausführen. Da Alice nach jedem Zug von Bob selbst einen regulären Zug durchführen kann und das Spiel nach endlich vielen Zügen endet, ist sie auf jeden Fall die Letzte, die den König zieht. Aufgabe ( ). Alice und Bob spielen folgendes Spiel: Das Spielfeld ist ein Schachbrett. Der erste Zug besteht darin, einen Springer auf ein beliebiges Feld des Schachbrettes zu setzen. Alle nachfolgenden Züge bestehen darin, den Springer gemäß den Schachregeln zu ziehen. Der Springer darf nicht auf ein Feld ziehen, auf dem er zuvor bereits einmal gestanden ist. Derjenige, der den Springer letztmalig regulär bewegt, gewinnt. Alice hat den ersten Zug. Gib eine Strategie an, mit der Bob das Spiel gezielt gewinnen kann. Lösung. Wir zeichnen auf folgende Art und Weise Doppelpfeile in das Spielfeld ein:

9 Die Pfeile entsprechen dabei Springerzügen. Jedes Spielfeld ist mit genau einem anderen Spielfeld durch einen Doppelpfeil verbunden. Angenommen Alice hat im ersten Zug den Springer auf ein beliebiges Spielfeld gesetzt. Dann kann Bob folgende Strategie nutzen um zu gewinnen (Beachte: der k-te Zug von Bob ist der (k)-te Zug des Spiels (k =,,...)): Zug k: Ziehe den Springer auf jenes Feld, welches mit dem aktuellen Standfeld des Springers durch einen Doppelpfeil verbunden ist. Da Alice nun nicht mehr auf das mit dem Standfeld des Springers verbundene Feld zurückziehen kann, muss sie auf ein Feld ziehen, das mit dem aktuellen Standfeld nicht verbunden ist. Bob kann daher jedes mal den beschriebenen Zug ausführen. Da Bob nach jedem Zug von Alice selbst einen regulären Zug durchführen kann und das Spiel nach endlich vielen Zügen endet, ist er auf jeden Fall der Letzte, der den Springer zieht. Aufgabe 6 (Double Chess ). Zwei Spieler spielen Schach mit einer zusätzlichen Regel. Anstatt einmal darf jeder Spieler zweimal hintereinander ziehen. Man begründe, dass der Spieler mit den schwarzen Figuren das Spiel nicht gezielt gewinnen kann. Hinweis. Du musst hier nicht die Existenz einer Gewinnstrategie für den Spieler mit den weißen Figuren nachweisen. Lösung. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen der Spieler mit den schwarzen Figuren (kurz: Spieler Schwarz) hat eine Gewinnstrategie. Dann kann Spieler Weiß im ersten Zug seinen Springer von b auf c bewegen und dann sofort wieder zurückziehen.

10 rmblkans opopopop 6 POPOPOPO SNAQJBMR a b c d e f g h Dadurch ist die Ausgangslage wiederhergestellt, nur dass jetzt Spieler Schwarz an der Reihe ist, d.h. die Rollen von Schwarz und Weiß sind jetzt vertauscht. Wenn man nun in der Gewinnstrategie von Schwarz ebenfalls die Rollen von Schwarz und Weiß vertauscht, erhält man eine Gewinnstrategie für Weiß. Da höchstens einer der beiden Spieler gezielt gewinnen kann, haben wir unseren Widerspruch. 0