Elemente der SchulgeometrieGrundschule. Aufgabenblatt 8 Körper und Kippen
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- Fritzi Lenz
- vor 6 Jahren
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1 Elemente der SchulgeometrieGrundschule Aufgabenblatt 8 Körper und Kippen
2 Aufgabe 1: a) Zeichnen Sie als Schrägbild (Winkel 45,Verkürzungsfaktor 0.5) einen Oktaeder mit der Seitenlänge 10 cm. (Achtung! Die Körperhöhe muss erst berechnet werden!) Berechnung der halben Höhe des Oktaeders: a 2 hokt.= h 2 a 2 a 2 h = a = a a a hokt.= = für a=10 : 10cm h Okt.= 2 7,07 2
3 b) Bestimmen Sie exakt die Mittelpunkte der Seitenflächen.... Δ ist gleichseitig, daher ist der Mittelpunkt der Seitenflächen = Höhenschnittpunkt = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden = Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
4 ... Verbinden Sie diese jeweils mit den Mittelpunkten der benachbarten Flächen. Sie erhalten dann einen neuen Körper...
5 Um welchen handelt es sich? Würfel (siehe: Platonische Körper und ihre Duale) Da der Oktaeder ein regelmäßiger Polyeder ist, muss durch eine wie hier durchgeführte Konstruktion ebenfalls wieder ein regelmäßiger Körper entstehen, also einen Würfel. Beschreiben Sie die Eigenschaften dieses Körpers!... Der neue Körper ist ein Würfel. Da der Oktaeder ein regelmäßiger Körper ist, muss auch der dazu duale Körper ein regelmäßiger Polyeder mit folgenden Eigenschaften sein: Alle Winkel sind gleich groß, sie betragen 90 Alle 12 Kanten sind gleich lang Alle 6 Seitenflächen, Quadrate, sind gleich groß
6 ...Berechnen Sie seine Kantenlänge!
7 Berechnung der Würfelkante Oktaeder von oben Einzeichnen der Dreieckshöhen
8 Einzeichnen des Würfels Berechnung der Würfelkante: Die rote Dreiecksseite ist 2/3 a lang, die Würfelkante demnach a 2 3
9 Aufgabe 2: Bei einer Streichholzschachtel verhalten sich die Kanten wie 1:3:4. Eine Strechholzschachtel kann auf einem quadratischen Gitter gekippt werden... a) Notieren Sie die Kippvorgänge bei Abb.1 und 2 in Kurzschrift. A- Ausgangslage, E-Endlage v,r,v l,h,l
10 b) Begründen Sie schülergemäß, warum es sich in Abb.3 nicht um eine mögliche Kippfolge handeln kann.
11 Beispiel 1: Wenn die Streichholzschachtel auf einer der schmalen Seiten steht, wie in diesem Fall auf der kurzen, schmalen Seite, muss sie danach wieder auf eine lange Seite oder Fläche kippen, da eine Streichholzschachtel nicht quadratisch ist. Beispiel 2: Wenn du eine Streichholzschachtel nimmst und genau betrachtest, siehst du, dass die Seiten, die gleich aussehen immer gegenüber liegen. Deswegen ist es nicht möglich, dass 2x die gleiche Seite hintereinander gekippt werden kann. Das ist nur möglich, wenn man die Schachtel absetzt und verschiebt.
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14 c) In Abb. 4 sind zur Ausgangslage A verschiedene Endlagen vorgegeben. Finden Sie die entsprechenden Abfolgen der Kippbewegungen.
15 Hier reicht die Kurzschrift nicht aus, weil man allein damit nicht sieht, ob die Kippungen richtig sind. So etwa sieht eine richtige Lösung aus:
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18 d) Untersuchen Sie, ob aus einer gegebenen Ausgangslage jede beliebige Endlage der Streichholzschachtel durch Kippbewegungen möglich ist. Wie nebenstehend dargestellt, ist es möglich die Schachtel durch Kippbewegungen jeweils um ein Quadrat nach oben bzw. unten zu verschieben.
19 Wie man aus den beiden Zeichnungen ersehen kann, ist es möglich, die Schachtel durch Kippen um eine Quadrat nach rechts bzw. nach links zu verschieben.
20 Durch das Kombinieren der vorher gezeigten Kippfolgen, lässt sich die Endlage der Schachtel auch diagonal verschieben. Hier die Beispiele für ein Verschieben um ein Quadrat diagonal rechts unten (1) und diagonal links oben (2). Also von A nach E über Ez. Beispiel 1: Erster Schritt: A wird um ein Feld nach unten auf Ez verschoben. Zweiter Schritt: Ez wird um ein Feld nach rechts gerückt. Damit ist die Endlage E erreicht.
21 Beispiel 2: Erster Schritt: A wird um ein Quadrat nach ober gesetzt auf Ez. Zweiter Schritt: Ez wird um ein Feld nach links gerückt und kommt dadurch in die gewünschte Endlage E. Da so, also durch geeignetes Kombinieren verschiedener Kippfolgen, alle 8 um einen Eckpunkt von A herum liegenden Gitterpunkte erreicht werden können, sind auch alle möglichen Endlagen E durch Kippen abdeckbar.
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