TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Boris Springborn, Martin von Gagern Projektive Geometrie, SS Lösungen zu Aufgabenblatt 3. Mai ) Präsenzaufgaben Aufgabe. Drei Kreise In dieser Aufgabe sollen mehrere Konstruktionen ausgeführt werden, ausgehend von den folgenden drei Punkten. C A B a) Versuchen Sie, in die obige Abbildung nach Augenmaß drei Kreise zu zeichnen, die sich paarweise berühren und die die Punkte A bis C als Mittelpunkte haben. Verwenden Sie nicht allzuviele Versuche, da die nächsten Teilaufgaben exaktere Lösungen erarbeiten werden. b) Finden Sie eine Methode, mit der die in Teilaufgabe a) gefragten Kreise direkt und im Rahmen der Zeichengenauigkeit) exakt konstruiert werden können. Sie müssen diese Lösung noch) nicht beweisen, falls Sie durch Intuition oder mit Wissen aus der Vorlesung auf einen plausiblen Lösungsansatz kommen. c) Beweisen Sie, dass die eben erarbeitete Lösungsmethode tatsächlich zu sich berührenden Kreisen führt. Wenn Sie die Lösung bei Teilaufgabe b) selbst hergeleitet und begründet haben, kann diese Teilaufgabe damit bereits gelöst sein. d) Verwenden Sie diesen Beweis, um allgemein zu belegen, dass es zu jeder Triangulierung der S oder E ein orthogonales Kreismuster gibt. e) Stellen Sie sich eine Triangulierung der S mit vier Kreisen vor, die im Berührgraphen durch die Punkte A bis D repräsentiert werden. Wenn Sie diese Kugeloberfläche stereographisch in die Ebene projizieren, und dabei den Punkt D als Projektionszentrum verwenden, entsteht für eine bestimmte Kreispackung das oben erstellte Bild von drei Kreisen um die Punkte A bis C. Können Sie den vierten Kreis um D konstruieren und in das Bild einzeichnen? f) Welchen Zusammenhang sehen Sie zwischen einer Kreispackung auf der Kugeloberfläche S und einer Kreispackung der Kreisscheibe D?

2 g) Ihnen ist bekannt, dass die stereographische Projektion Kreise auf der Kugeloberfläche auf Kreise und Geraden in der Ebene abbildet. Was passiert mit den Kreismittelpunkten? Sind die Mittelpunkte der Bildkreise wieder die Bilder der ursprünglichen Mittelpunkte? Begründen Sie Ihre Antwort geeignet. h) Bei Ihrer Konstruktion der drei Kreise um A bis C sollte an mindestens einer Stelle bei algebraischer Betrachtung eine Quadratische Gleichung mit zwei Lösungen dahinter stecken, von denen Sie eine ausgewählt haben. Was passiert, wenn Sie dort eine andere Wahl treffen? Ist das resultierende Bild immernoch eine Kreispackung? a) Ausprobieren und merken, dass das schwer ist b) An orthogonale Muster denke und auf Inkreise kommen oder intuitiv die Punkte aus a) beschreiben können oder Beweis aus c) anfangen und daraus Lösung sehen c) Elementargeometrisch zeigen, dass das Viereck mit einem Mittelpunkt, zwei Berührpunkten, und dem Schnittpunkt der Lote in den Berührpunkten ein Drachenviereck sein muss, und deswegen der Lotschnittpunkt auf der Winkelhalbierenden liegen muss. d) Jedes Dreieck hat einen Inkreis, Berührpunkte stimmen überein. e) Konstruktion recht aufwändig, da Apollonisches Problem. f) Ein Kreis der S -Triangulierung kann als Rand der D aufgefasst werden, was für die restlichen Kreise nichts ändert. g) Mittelpunkte bleiben nicht erhalten, was man an extremfällen wie Kreisen durch den Projektionspunkt klar sehen kann. h) Bei anderer Wahl von zwei Winkelhalbierenden schneiden sich die drei Winkelhalbierenden wieder in einem Punkt. Dann liegen aber zwei Kreisscheiben in einer dritten, und berühren deren Rand von innen. Das führt zu mehr als einem gemeinsamen Punkt, was bei Kreispackungen ja unzulässig ist. Aufgabe. Peripheriewinkel und Zentriwinkel Beweisen Sie mit Werkzeugen aus der Schulgeometrie), dass der Peripheriewinkel α stets halb so groß ist wie der Zentriwinkel β, dass also immer gilt β = α Siehe Wikipedia.

3 Aufgabe 3. Regelmäßige Kreispackungen Hausaufgaben Es ist möglich, auf der Kugeloberfläche Kreispackungen anzugeben, so dass alle Kreise dieser Kreispackung gleich groß sind, und jeder Kreis mindestens drei andere Kreise berührt. a) Stellen Sie sich mehrere solche Kreispackungen vor, und beschreiben Sie diese in Bezug auf ihre kombinatorischen Eigenschaften. b) Zeichnen Sie zu mindestens vier derartigen Kreispackungen ein Bild, wie es sich durch eine stereographische Projektion der Kugel in die Ebene ergibt. Nutzen Sie dabei Symmetrien aus, um sich die Arbeit zu erleichtern. c) Zeichnen Sie in mindestens zwei der stereographischen Bilder jeweils die orthogonalen Kreispackungen ein. d) Falls dies nicht bereits in einer der vorherigen Teilaufgaben geschehen ist, erstellen Sie für mindestens eines der orthogonalen Kreismuster ein Bild, wie es sich nach stereographischer Projektion ergibt, wenn einer der Berührpunkte als Projektionszentrum verwendet wird. a) Eine Möglichkeit, eine Kreispackung mit den geforderten Eigenschaften zu erhalten, sind platonische Körper: beschreibt man diese einer Sphäre ein, uns legt um jede Ecke des Körpers einen Kreis auf der Sphäre), so müssen diese Kreise aus Symmetriegründen gleich groß sein. Man kann jedoch die Symmetrie stören, ohne die geforderten Eigenschaften zu verlieren. Man könnte etwa bei einem Würfel zwei Ebenen leicht gegeneinander drehen, sämtiche Kreise etwas vergrößern, und dadurch ebenfalls eine den Bedingungen entsprechende Kreispackung erhalten. Um die Kombinatorik zu ändern, muss die eben beschriebene Störung sehr stark ausfallen, so dass vier der sechs Vierecke in jeweils zwei Dreiecke zerfallen. An dieser Stelle liegt dann auch nicht mehr die Kombinatorik eines platonischen Körpers vor. Die Kombinatorik platonischer Körper sind also eine naheliegende hinreichende Bedingung für die geforderten Eigenschaften, aber keine notwendige. Zum Lösen dieser Aufgabe reicht die Betrachtung platonischer Körper jedoch vollkommen aus. b) Am einfachsten projeziert man wohl so, dass die Mitte einer Fläche in den Ursprung abgebildet wird. Dann hat man eine gegebene Anzahl von Kreisen gleicher Größe als Startpunkt, und kann sich von da an mit der vorgegebenen Kombinatorik durchhangeln. Nachdem es fünf platonische Körper gibt, gibt es hier auch fünf Bilder zu zeichnen. c) Die orthogonalen Gitter erhält man, wenn man auf die Flächen kreise setzt, statt auf die Ecken. Das entspricht der Dualität platonischer Körper. Der Dodekaeder ist dual zum Ikosaeder, der Würfel zum Oktaeder, und der Tetraeder zu sich selbst. d) Wählt man einen Berührpunkt als Projektionszentrum, so werden die entsprechenden Kreise zu Geraden, und man erhält ein das Kreismuster umfassendes Polygon. Eigentlich sollte diese Musterlösung noch mehr Bilder haben, aber das kostet Zeit... Aufgabe 4. Uneigentliches Integral a) Berechnen Sie das uneigentliche Inetgral Wie gehen Sie dabei vor? logx)dx b) Was haben uneigentliche Integrale im Allgemeinen sowie dieses uneigentliche Integral im Besonderen mit der Definition von Milnors Lobatschewski-Funktion Л zu tun? 3

4 a) Ein uneigentliches Integral wird durch einen Grenzübergang berechnet. logx)dx a a log x dx [ x log x x a ] a log a log a + a) a a log a + a) a a log a = + lim b + = lim b + = a log b b b Substitution b = a Regel von L Hospital Aufgabe 5. Clausens Integral Zeigen Sie: Zur Erinnerung: Cl x) = Cl x) Cl x) Cl x) = log ) sin dt Durch Substitution bringt man alle drei Integrale auf gleiche Integrationsgrenzen, etwa bis x. Für die linke Seite der Gleichung ergibt sich daraus Cl x) = Der zweite Term auf der rechten Seite wird zu: Cl x) = = ) log sin du = log sin t) dt Substitution u = t log sin du ) ) log sin du + ) ) log sin du = Cl ) log sin du = log sin du weil Cl ) = ) = log sin ) dt Substitution u = t = log sin ) dt = log ) cos dt 4

5 Dass Cl ) = ist, kann man beispielsweise der Reihenschreibweise für Clausens Integral ansehen. Damit kann man die ursprüngliche Gleichung schreiben als Cl x) = Cl x) Cl x) ) ) log sin t) dt = log x ) sin dt log ) cos dt ) log sin t) dt = log x sin dt log ) cos dt ) log sin t) = log ) sin + log ) cos ) ) ) log sin t) = log sin cos ) log sin t) = log t sin cos ) ) sin t) = t 4 sin cos ) ) ) t t sin t) = 4 sin cos sin t ) ) ) t t = sin cos sinα) = sinα) cosα) Dabei ist jede Zeile der Umformung eine Folgerung der Zeile darunter, auch wenn der Umkehrschluss nicht in jedem Fall gelten muss. Insgesamt lässt sich also die zu beweisende Gleichung aus der Formel für den Sinus des doppelten Winkels herleiten. Diese Formel kennt man entweder, oder weiß zumindest, wo sie nachzulesen ist. 5