Seminar: Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie

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1 Dr. M. J. Sauer WS 2016 / 2017 Seminar: Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie Basis Vorlesung I: Grundbegriffe der Kombinatorik Aufgabenpool Teil A Grundfragen der Kombinatorik und allgemeines Zählprinzip Aufgabe 1 (Allgemeines Zählprinzip [AZP]) (a) Wie viele Teiler hat die Zahl ? (b) Sie möchten das AZP in einer vierten Klasse der Grundschule erläutern. Erfinden Sie dazu eine möglichst alltagsnahe Aufgabenstellung mit mindestens drei Teilversuchen! Aufgabe 2 (Grundfragen der Kombinatorik) In einem Säckchen befinden sich drei Kärtchen, welche mit den Buchstaben A, B, C gekennzeichnet sind. Es wird drei Mal gezogen. Entsprechend den Antworten auf die beiden Grundfragen der Kombinatorik gibt es nun vier methodische Optionen des Ziehens. Geben Sie für jede dieser vier Optionen alle Möglichkeiten und zwar möglichst übersichtlich an!

2 Teil B Das Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorik - Aufgaben [Quelle: M. J. Sauer: Ein Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorik-Aufgaben. In: Stochastik in der Schule 28 (2008), Heft 3, 2 13] Schritt 1: Notieren von Ergebnissen, welche der Aufgabenstellung gemäß sind. Schritt 2: Beantwortung der entscheidenden Grundfragen: (K1) Sind in der Stichprobe Wiederholungen von Elementen erforderlich? ( / ) (K2) Ist die Reihenfolge der Elemente der Stichprobe zu beachten? ( / ) (K3) Sind Vielfachheiten von Elementen vorgegeben? (/) Frage (K1) Frage (K2) Frage (K3) (ow Rb) (ow Rnb) (mw va) Frage (K2) (mw Rb) (mw Rnb) Schritt 3: Übertragung in ein Modell (Urnenmodell oder Alphabet-Modell) Schritt 4: Benutzung des Kalküls (also der richtigen Formel) zur Lösung der Aufgabe

3 Teil C Gemischte Aufgaben zur Kombinatorik Hinweis: Lösen Sie alle nachfolgenden Aufgaben mit dem in der Vorlesung angegebenen Vier-Schritt-Modell [V-S-M]. Aufgabe 1 Bei einem Pferderennen starten 15 Pferde. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die ersten drei Plätze? Aufgabe 2 An einem Tennisturnier nehmen 10 Spieler teil. Wie viele verschiedene Paarungen sind für die erste Runde möglich? Aufgabe 3 Die Zeichen des Morse-Alphabets (benannt nach dem amerikanischen Erfinder Samuel Morse [ ] ) sind aus zwei Elementen nämlich Punkt und Strich aufgebaut, wobei ein Morse-Zeichen aus höchstens 5 Elementen besteht. Wie viele Morse Zeichen können theoretisch so gebildet werden? Hinweis: Berechnen Sie jeweils die Anzahl der k-elementigen Zeichen 1 k 5 und dann die Summe! Aufgabe 4 Ein Obsthändler hat fünf verschiedene Sorten Äpfel. Als Kunde kann man sich Tüten mit jeweils 10 Äpfeln beliebiger Sorten zum Preis von 2,50 Euro kaufen. Wie viele verschiedene Apfeltüten sind bei einem Kauf möglich? Aufgabe 5 Für anstehende Modulabschlussprüfungen sollen 6 Theologiebücher, 8 Mathematikbücher, 2 Pädagogikbücher und 4 Kochbücher auf einem Bücherregal angeordnet werden. Auf wie viele Arten geht das, wenn die Bücher des gleichen Stoffgebiets nebeander stehen sollen?

4 Aufgabe 6 Der französische Offizier C. Barbier ( ) und der blinde Lehrer L. Braille ( ) sind die Erfinder der Blindenschrift. Die Buchstaben und Zeichen bestehen aus Punkten, die an sechs möglichen Stellen in dickeres Papier geprägt sind und somit ertastet werden können. Wie viele Symbole kann man auf diese Weise erzeugen? Aufgabe 7 P Gegeben sei der nebenstehende Ausschnitt aus dem Stadtplan der gitterförmig angelegten Innenstadt von Mannheim. Wie viele Wege (ohne Umwege) gibt es von P nach Q? (Wichtig: An jeder Kreuzung darf nur nach Osten oder nach Süden gelaufen werden. ) Aufgabe 8 Gegeben sind n Punkte in der Ebene, von denen keine drei auf einer Geraden liegen. Wie viele Verbindungsgeraden gibt es zwischen diesen n Punkten? Q Aufgabe 9 Im zweiten Beispiel aus Abschnitt 1.6 (c) geht es um das Skatspiel! Dort gibt folgende Aufgabenstellung: Frage 1: Wie viele Ausgangspositionen für ein Skat-Spiel gibt es? Es werden zwei Möglichkeiten zur Beantwortung dieser Frage vorgestellt. Bei der zweiten Lösung wird diese Frage mittels des Alphabetmodells und unter Benutzung der Kombinatorik Figur [mw va] beantwortet. Verdeutlichen Sie die erste Lösung dieser Aufgabenstellung mittels des Urnenmodells und einer anderen Kombinatorik Figur!

5 Aufgabe 10 (Lotto) Betrachten Sie einen Lottoschein. Auf der Rückseite dieses Scheins sind die Chancen für einen Gewinn in Gewinnklasse i 2 i 8 angegeben. Prüfen Sie, ob diese Angaben zutreffend sind. Anders formuliert: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für einen Gewinn in der Gewinnklasse i für 2 i 8! Hinweis: Sie müssen (Vorgriff auf Basis Vorlesung II) die nachfolgende Formel für die Laplace W benutzen! Satz: Sei (, P( ), P) ein Laplace-Raum und E ein Ereignis in.dann gilt: P E E, anschaulich: E Anzahl der für E günstigen Fälle P. Anzahl der möglichen Fälle

6 Teil D Nachvollziehen gewisser Argumente aus der Basis Vorlesung 1 Aufgabe 1 (Zum Verständnis des Identifikationsarguments) Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei Hotelgäste auf vier Einzelzimmer zu verteilen? Fall 1: Der Portier muss genau wissen, welcher Gast welches Zimmer belegt. Fall 2: Den Portier interessieren nur die Zimmer, die belegt werden. (a) Notieren Sie für beide Fälle alle Ergebnis-Tupel (das sind hier Tripel)! (b) Verdeutlichen Sie alle Argumente des Beweises des Satzes aus Teil (a) des Abschnitts 1.4 anhand der obigen Aufgabe! Machen Sie insbesondere präzise deutlich, welche der bei Fall 1 notierten Ergebnisse man jeweils identifizieren muss, um zu den bei Fall 2 notierten Ergebnissen zu gelangen. Aufgabe 2 (Nachvollziehen des Beweises der Formel zur Figur [mw Ruw] in Abschnitt 1.5 (a)) Mittels der folgenden sehr überschaubaren Aufgabe sollen Sie den Beweis der Formel aus Kapitel 1.5 nachvollziehen also insbesondere das Identifikationsargument! Aufgabe: Zwei nicht unterscheidbare Spatzen können sich auf drei Bäume verteilen. Wie viele Möglichkeiten der Verteilung kann ein Beobachter wahrnehmen? (a) Schreiben Sie alle Fälle auf und codieren Sie sie mittels der Zeichen 0 und 1. (b) Wir machen nun die Nullen und Einsen unterscheidbar. Schreiben Sie alle 4! Möglichkeiten auf, die vier unterscheidbaren Objekte 01,02,11,1 2 auf vier Plätzen anzuordnen. (c) Nun gilt aber: Die Nullen sind nicht unterscheidbar und die Einsen sind ebenfalls nicht unterscheidbar! Machen Sie jetzt deutlich, dass man zur Ermittlung des richtigen Ergebnisses die Zahl 4! aus Teil (b) durch 2! (Anzahl der Anordnungen der Nullen) und durch 2! (Anzahl der Anordnungen der Einsen) dividieren muss.