Didaktik des Sachrechnens

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1 Didaktik des Sachrechnens 7. Stochastik in der Sekundarstufe I 1

2 7. Stochastik in der Sekundarstufe I 7.1 Überblick über stochastische Themen im Mathematikunterricht der Sek. I 7.2 Pädagogische Rechtfertigung für den Stochastikunterricht 7.3 Gründe für die Behandlung von Stochastik 7.4 Beispiele und Hintergrundwissen 7.5 Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorik- Aufgaben 2

3 7.1 Überblick über stochastische Themen im Mathematikunterricht der Sek. I Aus dem NRW-Lehrplan für die Sekundarstufe I Kl. 5/6 Ur- und Strichlisten Häufigkeitstabellen, Säulendiagramme, Kreisdiagramme Arithmetisches Mittel, Median (Zentralwert) 3

4 7.1 Überblick über stochastische Themen im Mathematikunterricht der Sek. I Kl. 7/8 Planung und Durchführung von Erhebungen Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Einstufige Zufallsexperimente (Zufallsversuche) Laplace-Regel Boxplots Kl. 9/10 Analyse von grafischen Darstellungen Zweistufige Zufallsexperimente (Zufallsversuche) Pfadregeln 4

5 7.2 Pädagogische Rechtfertigung für den Stochastikunterricht 1. Trägt zum besseren Verständnis der natürlichen und gesellschaftlichen Welt bei. 2. Hilft, menschliches Verhalten besser zu verstehen. 3. Hilft, höhere Kritikfähigkeit gegenüber vorgelegten Behauptungen zu erlangen. (Winter 1976) 5

6 7.3 Gründe für die Behandlung von Stochastik 1. Die Wirklichkeit enthält auch zufallsbedingte Erscheinungen. 2. Modellbildung kann deutlich werden. 3. Wahrscheinlichkeitstheorie ist reich an substantiellen Erkenntnissen. 4. Trifft auf Interesse bei vielen Kindern. 5. Lässt sich gut in den übrigen Unterricht integrieren. 6. Entstehungsgeschichte ist interessant. (Kütting 1994, S. 21ff) 6

7 Beispiele aus Schulbüchern: Strichlisten, Säulendiagramm aus: Mathematik heute 6, S

8 Beispielaufgabe: Tennis-Match (Klasse 9) Familie Agassi-Graf spielt Tennis; Vater, Mutter und auch der Sohn. Der Vater verspricht dem Sohn einen neuen Tennisschläger, wenn er von drei Spielen, die er abwechselnd gegen ihn und die Mutter bestreiten soll, zwei in Folge gewinnt. Der Sohn studiert Mathematik und führt seit Jahren eine Statistik darüber, wie er gegen die Eltern abgeschnitten hat; daher weiß er, dass er gegen den Vater in der Regel 2 von 3 Spielen verliert, gegen die Mutter jedoch 2 von 3 Spielen gewinnt. Antwort 1: Spiele in der Reihenfolge Mutter Vater Mutter, denn dann kommt die leichter zu schlagende Mutter 2-mal vor. Antwort 2: Spiele in der Reihenfolge Vater Mutter Vater, denn darin gibt es 2-mal die Möglichkeit, dem "wahrscheinlichen" Sieg über die Mutter einen Sieg über den Vater anzufügen. (Heinz Böer, 2008) 8

9 Lösung: 9

10 Beispiel: Kreisdiagramm Aus: Mathematik heute 6, S

11 aus: Formel 10, S

12 Arithmetisches Mittel oder Median? Quelle: Delta 7, Mathematik für Gymnasien 12

13 Anmerkung zu klassischen Mittelwerten (siehe auch Kapitel 8.6): Für zwei Zahlen a und b gilt: arithmetisches Mittel (a, b) = geometrisches Mittel (a, b) = harmonisches Mittel (a, b) = Lehrplan NRW: nur arithmetisches Mittel, obwohl es zu den anderen beiden klassischen Mittelwerten auch relevante Anwendungssituationen gibt. 13

14 Anmerkung zu Mittelwerten (Forts.) Für zwei Zahlen a und b gilt: quadratisches Mittel (a, b) = Das quadratische Mittel als Mittelwert von lediglich 2 Größen hat wenig Anwendungsrelevanz in Alltagssituationen. Betrachtet man jedoch das quadratische Mittel von mehreren/vielen Werten, so spielt dies als Standardabweichung in der Stochastik eine zentrale Rolle und wird je nach Lehrplan in dieser Bedeutung Ende der Sekundarstufe I oder in der Sekundarstufe II behandelt. Einen Unterrichtsvorschlag, wie die Begriffe Mittelwert, Standardabweichung und Varianz eingeführt werden können, findet man unter: 3material/sek2/stochastik/stabwvar/ 14

15 Sind bei einem Zufallsversuch alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich, so spricht man von einem Laplace- Experiment. Laplace-Regel: aus: Formel 10, S

16 aus: Mathematik 10 A Denken und Rechnen Hauptschule, S.79 16

17 Boxplots: aus: Schnittpunkt Mathematik 8, S. 63 Unteres Quartil: Die kleinsten 25 % der Datenwerte sind kleiner oder gleich diesem Kennwert Oberes Quartil: Die kleinsten 75 % der Datenwerte sind kleiner oder gleich diesem Kennwert 17

18 aus: Schnittpunkt Mathematik 8, S.64 18

19 Mehrstufige Zufallsexperimente: Baumdiagramme und Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis eines mehrstufigen Zufallsversuches erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades multipliziert. Gehören mehrere Pfade zum selben Ereignis, sind die Wahrscheinlichkeiten am Pfadende zu addieren. Beispiel: Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen der Kugeln Quelle: (Abruf Juni 2010) 19

20 aus: Mathematik heute 9, S

21 Kombinationen und Produktregel: aus: Formel 10, S

22 Permutationen (Reihenfolgen, Anordnungsmöglichkeiten) und Fakultät: Die Anzahl verschiedener Reihenfolgen für n unterschiedliche Dinge ergibt sich aus dem Produkt n (n - 1) (n - 2) Dieses Produkt heißt n! (sprich: Fakultät von n oder n Fakultät ). n! = n (n -1) (n 2) Beispiel: 6 Sitzplätze um einen Tisch mögliche Sitzordnungen: =

23 Kombinatorik: Auswahl von k Objekten aus n Objekten mit oder ohne Wiederholung der Objekte mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Es gibt also 4 Möglichkeiten, k Objekte aus n Objekten auszuwählen. Die folgende Tabelle zeigt, wie viele verschiedene Resultate jeweils möglich sind. 23

24 24

25 ohne Wiederholungen und ohne Reihenfolge aus: Mathe Netz 10, S.101 ohne Wiederholungen und mit Reihenfolge aus: Mathe Netz 10, S

26 mit Wiederholungen und ohne Reihenfolge Ein Obsthändler hat fünf verschiedene Sorten Äpfel. Als Kunde kann man sich Tüten mit jeweils 10 Äpfeln beliebiger Sorten zum Preis von 2,50 kaufen. Wie viele verschiedene Apfeltüten sind bei einem Kauf möglich? mit Wiederholungen und mit Reihenfolge aus: Mathe Netz 10, S

27 Beispiel u. a. zur Kombinatorikfigur: ohne Wiederholungen und ohne Reihenfolge: Wie überraschend sind Überraschungsflüge? (Brinkmann, A. 2009) Abbildung 1: Ausschlussfeld 27

28 1. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 1 (2, 3, 4, 5) Flugziele auszuschließen? 2. Ist es möglich, einen Wert für die Wahrscheinlichkeit anzugeben, dass man nach Budapest fliegen darf, wenn man kein Flugziel (1, 2, 3, 4, 5 Flugziele) ausschließt? 3. x sei die Anzahl der Flugziele, für die aktuell keine Flüge verfügbar sind. Für welche Werte von x ist es möglich, über geschickte Eingaben in dem Ausschlussfeld (Abb. 1) genau diese x Flugziele zu ermitteln? Begründe und beschreibe dein Vorgehen. 4. Angenommen, es ist x = 4. y bezeichne die Anzahl der Flugziele, die jeweils im Ausschlussfeld angeklickt werden. Wie oft muss man das Ausschlussfeld für x = 4 höchstens ausfüllen, um die 4 nicht möglichen Flugziele zu ermitteln? Wie lautet die Antwort für x = 5? 5. Was meinst du: Ist es besser, möglichst früh oder möglichst kurzfristig vor dem gewünschten Reisetermin zu buchen? Begründe im Hinblick auf den Überraschungseffekt. Begründe auch in anderer Hinsicht. 28

29 Spezielle weitere Kombinatorikfigur: Stichproben, bei denen sich die Elemente mit vorgegebenen Anzahlen wiederholen ( Permutationen mit Wiederholungen ): Urnenmodell: In der Urne befinden sich k Kugeln aus n Kugelsorten, und zwar gibt es k i (k i 1) Kugeln der Sorte i, wobei 1 i n, und es gilt k 1 + k k n = k. Aus dieser Urne werden nacheinander alle Kugeln (ohne Zurücklegen) gezogen. Alphabetmodell: Man hat n Zeichen, aus denen Wörter der Länge k gebaut werden sollen, wobei das Zeichen i mit der Vielfachheit k i (k i 1 und 1 i n) vorkommen soll und k 1 + k k n = k gelten muss. Anzahl solcher Stichproben: k 1 k!!... k! n 29

30 7.5 Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorik-Aufgaben Das Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorik-Aufgaben von Sauer (2008) Schrittfolge zur Lösung von Kombinatorik-Aufgaben Schritt 1: Notation von Stichproben-Beispielen Schritt 2: Klärung entscheidender Fragen (K1) Sind in der Stichprobe Wiederholungen von Elementen erforderlich? (ja/nein) (K2) Ist die Reihenfolge der Elemente der Stichprobe zu beachten? (ja/nein) (K3) Sind Vielfachheiten von Elementen vorgegeben? (ja/nein) 30

31 7.5 Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorik-Aufgaben ow = ohne Wiederholungen mw = mit Wiederholungen Rb = Reihenfolge beachten Rnb = Reihenfolge nicht beachten va = vorgegebene Anzahlen 31

32 7.5 Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorik-Aufgaben Schritt 3: Übertragung in ein Modell Fall 1 Hat sich in Schritt 2 eins dieser Modelle ergeben: (mw Rb), (ow Rb), (mw Rnb), (ow Rnb), muss der Sachverhalt in das Urnenmodell oder das Alphabetmodell übertragen werden. Urnenmodell Wie viele Kugeln befinden sich in der Urne? Wie oft wird gezogen? Alphabetmodell Wie viele Zeichen sind vorhanden? Wie viele Plätze stehen zur Verfügung? 32

33 7.5 Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorik-Aufgaben Fall 2 Hat sich in Schritt 2 die Kombinatorik-Figur (mw va) ergeben, muss der Sachverhalt in ein passendes Urnenmodell oder Alphabetmodell übertragen werden. Urnenmodell Wie viele Kugeln befinden sich in der Urne? Wie viele Kugelsorten sind vorhanden? Wie viele Kugeln pro Kugelsorte hat man? Alphabetmodell Wie viele Zeichen sind vorhanden? Welche Länge sollen die Wörter haben? Wie oft muss jedes Zeichen in einem Wort vorkommen? 33

34 7.5 Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorik-Aufgaben Schritt 4: Lösung der Aufgabe mittels des Kalküls Die Aufgabe muss mittels einer der zur Verfügung stehenden Formeln gelöst werden. 34

35 Literatur Böer, Heinz (2008): Beitrag zum Wettbewerb Wer kennt hübsche Aufgaben?, ein gemeinsames Projekt der Zeitung Westfälische Nachrichten mit der WWU, koordiniert von Astrid Brinkmann. Brinkmann, Astrid (2009): Wie überraschend sind Überraschungsflüge? In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht MNU, Jg. 62 (2009), Heft 8, Kütting, Herbert (1994): Didaktik der Stochastik. Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik, Band 23, herausgegeben von Norbert Knoche und Harald Scheid. Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich: BI-Wissenschaftsverlag. Ministerium für Schule NRW Kernlehrplan für die Gesamtschule Sekundarstufe I in Nordrhein-Westfalen. (M. f. NRW, Hrsg.) Frechen: Ritterbach. Sauer, M. J.: Ein Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorik-Aufgaben. In: Stochastik in der Schule, Band 28 (2008), Heft 3, S Winter, Heinrich (1976): Erfahrungen zur Stochastik in der Grundschule (Klasse 1-6). In: Didaktik der Mathematik 1, S

36 Literatur Verwendete Schulbücher: Delta 7. Mathematik für Gymnasien. Formel 10. Klett-Verlag, Bamberg /Stuttgart, MatheNetz 10 Gymnasium, Westermann, Braunschweig Schnittpunkt 8, 1. Auflage, Klett-Verlag, Stuttgart Mathematik 10A Denken und Rechnen Hauptschule, Bildungsverlag Westermann, Schroedel, Diesterweg, Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig, Mathematik heute 6, Bildungsverlag Westermann, Schroedel, Diesterweg, Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig, Mathematik heute 9, Bildungsverlag Westermann, Schroedel, Diesterweg, Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig, Link: 3material/sek2/stochastik/stabwvar/ 36