Formelsammlung Stochastik
|
|
|
- Oswalda Becke
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Formelsammlung Stochastik Klemens Fersch 14. Mai 201 Inhaltsverzeichnis 5 Stochastik Statistik Mittelwert - Median - Modalwert Kombinatorik Grundlagen nzahl der nordungen - Permutation uswahl mit Beachtung der Reihenfolge - Variation uswahl ohne Beachtung der Reihenfolge - Kombination Zufallsexperiment Relative Häufigkeit Mehrstufige Zufallsexperimente Bedingte Vierfeldertafel Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Erwartungswert - Varianz - Standardabweichung Testen von Hypothesen Einseitiger Signifikanztest
2 INHLTSVERZEICHNIS INHLTSVERZEICHNIS 2
3 5 Stochastik 5.1 Statistik Mittelwert - Median - Modalwert Noten in Mathematik: 4,3,5,3,3,5,2,4 rithmetisches Mittel Durchschnittswert x der Datenreihe x 1, x 2, x 3...x n n - nzahl der Elemente x = 1 n (x 1 + x 2 + x 3...x n x = 1 n x i n i=1 Mittelwert: x = 1 ( = 3, 25 8 Median Zentralwert der geordneten Datenreihe n - nzahl der Elemente x med = x n/2+x n/2+1 2 wenn n gerade x med = x (n+1/2 wenn n ungerade geordnete Datenreihe x 1 2 x 2 3 x 3 3 x 4 3 x 5 4 x 4 x 5 x 8 5 Median: x med = = 3, 5 2 Spannweite Differenz zwischen dem größten und kleinsten Wert der geordneten Datenreihe Spannweite: d = 5 2 = 3 d = x max x min Häufigkeitstabelle - Modalwert Wert aus der Datenreihe, der am häufigsten vorkommt Häufigkeit nzahl Noten x Mod = 3 Interaktive Inhalte: hier klicken 3
4 Kombinatorik 5.2 Kombinatorik Grundlagen Ohne Wiederholung Permutation n! Variation Kombination Fakultät n! (n k! n! k!(n k! = ( n k = k! (n k Mit Wiederholung n! k 1!k 2!...k n! n k ( n+k 1 k n! = (n 1 n 0! = 1 1! = 1 3! = = 4! = = 24 5! = = 120 Binomialkoeffizient ( n n! = n über k k k!(n k! ( ( ( ( n n n n = = 1 = 0 n k n k ( ( 4 40 ( 2 0 ( = 3 =! ( = 5 = 35 ( 3! 3! = 40 2 = 40! = = 80 ( (40 38! 38! 1 2 = 1 2 ( 1 = = 1 Interaktive Inhalte: n! nzahl der nordungen - Permutation nzahl der nordungen ohne Wiederholung - alle Elemente verschieden n! = (n 1 n Wieviele Wörter lassen sich aus den Buchstaben a,b,c bilden? abc acb bac bca cab cba 3! = = nzahl der nordungen ohne Wiederholung - nicht alle Elemente verschieden n! k 1!k 2! k m! Wieviele Wörter lassen sich aus den Buchstaben a,b,b,b,b bilden? a,b,b,b,b b,a,b,b,b b,b,a,b,b b,b,b,a,b b,b,b,b,a 5! 4! = 5 Interaktive Inhalte: n! uswahl mit Beachtung der Reihenfolge - Variation Ziehen von 2 Kugeln aus 5 verschiedenen Kugeln 1.Zug 2.Zug n=5 k=2 a b c d e uswahl von k Elementen aus n unterschiedlichen Objekten mit Berücksichtigung der Reihenfolge 4
5 Kombinatorik uswahl ohne Wiederholung der Elemente ( n! n (n k! = k! k ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd de da db dc de ea eb ec ed 1. Zug: 5 Möglichkeiten 2. Zug: 4 Möglichkeiten 5! 5 4 = 20 = (5 2! Möglichkeiten uswahl mit Wiederholung der Elemente n k aa ab ac ad ae ba bb bc bd be ca cb cc cd de da db dc dd de ea eb ec ed ee 1. Zug: 5 Möglichkeiten 2. Zug: 5 Möglichkeiten 5 5 = 25 = 5 2 Möglichkeiten Interaktive Inhalte: n! (n k! - n k uswahl ohne Beachtung der Reihenfolge - Kombination Ziehen von 2 Kugeln aus 5 verschiedenen Kugeln n=5 k=2 a b c d e 1.Zug 2.Zug uswahl von k Elementen aus n unterschiedlichen Objekten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge uswahl ohne Wiederholung der Elemente ( n! n k!(n k! = n über k k ab ac ad ae bc bd be cd de de 5 4 2! = 10 = 5! 2!(5 2! Möglichkeiten uswahl mit Wiederholung der Elemente ( n + k 1 k ( aa ab ac ad ae bb bc bd be cc cd de dd de ee = ( 2 = 5 = 15 Möglichkeiten 1 2 Interaktive Inhalte: ( n k - ( n + k 1 k - 5
6 Zufallsexperiment Ergebnis - Ereignis Ein Zufallsexperiment ist beliebig oft wiederholbar Die Elementarergebnisse (Stichproben, usgänge ω 1, ω 2, ω 3,... des Zufallsexperiment sind nicht vorhersagbar Die Menge aller Ergebnisse heißt Ergebnisraum Ω Ω ist die nzahl der Ergebnisse von Ω Ein Ergeignis ist eine Teilmenge von Ω ist die nzahl der Elemente von Die Menge aller Ergeinisse heißt Ereignisraum P Werfen einer Münze Ergebnis: ω 1 = W appen(w ω 2 = Zahl(Z Ergebnismenge: Ω = {W, Z} nzahl der Ergebnisse: Ω = 2 Ereignis: = {W } Ereignis: B = {Z} Werfen eines Würfels Ergebnis: ω 1 = 1 ω 2 = 2 ω 3 = 3 ω 4 = 4 ω 5 = 5 ω = Ergebnismenge: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, } nzahl der Ergebnisse: Ω = Ereignis: = {1, 3, 5, } nzahl der Elemente von = 4 Gegenereignis: B = {2, 4} nzahl der Elemente von B = 2 Schnittmenge von Ereignissen = {c; d; e} B = {a; b; c; d} B = {c; d} lle Ergebnisse die in und zugleich in B enthalten sind. Werfen eines Würfels Ergebnismenge: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, } Ereignis: = {1, 3, 5, } Ereignis: B = {2, 3, 4, 5} B = {3; 5} Vereinigungsmenge von Ereignissen = {c; d; e} B = {a; b; c; d} B = {a; b; c; d; e} lle Ergebnisse die in oder B enthalten sind. Werfen eines Würfels Ergebnismenge: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, } Ereignis: = {1, 3, 5} Ereignis: B = {2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5} Differenz von Ereignissen = {c; d; e} B = {a; b; c; d} B = {e} lle Ergebnisse die in, aber nicht in B enthalten sind. Werfen eines Würfels Ergebnismenge: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, } Ereignis: = {1, 3, 5} Ereignis: B = {2, 3, 4, 5} B == {1} Gegenereignis = Ω lle Ergebnisse die in Ω, aber nicht in enthalten sind. Werfen eines Würfels Ergebnismenge: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, } Ereignis: = {1, 3, 5, } Gegenerreignis: = {2, 4} Vereinbare - unvereinbare Ereignisse B = {} unvereinbare Ereignisse B = {a, b...} vereinbare Ereignisse Werfen eines Würfels Ergebnismenge: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, } Ereignis: = {3, 5, } Ereignis: B = {3, 4, 5} Ereignis: C = {1, 2} B = {3; 5} vereinbare Ereignisse C = {} unvereinbare Ereignisse
7 Rechengesetze Kommutativgesetz B = B B = B ssoziativgesetz (B C = ( B C (B C = ( B C Distributivgesetz (B C = ( B ( C (B C = ( B ( C De Morgan B = B B = B = Neutrales Element Ø = Ø = Ø Inverses Element = Ø =Grundmenge Relative Häufigkeit Definition h n ( = k n n - nzahl der Wiederholungen eines Versuchs - Ereignis k - bsolute Häufigkeit von h( - Relative Häufigkeit von Eigenschaften 0 h( 1 h( = 0 h(ω = 1 h( B = h( + h(b h( B h( B = h( + h(b, wenn B = h( = 1 h( Interaktive Inhalte: h n( = k n -
8 Stochastik Laplace- P ( = k n Voraussetzung: Elementarergebnisse sind gleichwahrscheinlich n - nzahl der Wiederholungen eines Versuchs - Ereignis k - nzahl der günstigen Versuchsergebnisse für P (- von Werfen eines Würfels Ergebnismenge: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, } Elementarergebnisse sind gleichwahrscheinlich: P (1 = P (2 = P (3 = P (4 = P (5 = P ( = 1 nzahl aller möglichen Versuchsergebnisse: n = Ω = Ereignis: = {1, 3, 5, } nzahl der günstigen Versuchsergebnisse: k = = 4 von P ( = 4 Eigenschaften 0 P ( 1 P ( = 0 P (Ω = 1 P ( B = P ( + P (B P ( B P ( B = P ( + P (B, wenn B = P ( = 1 P ( P ( = 1 P ( Werfen eines Würfels Ergebnismenge: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, } Ereignis: = {1, 3, 5} Ereignis: B = {2, 3, 4, 5} B = {3, 5} P ( = 3 P (B = 4 P ( B = 2 P ( B = P ( + P (B P ( B P ( B = = 5 P ( = 1 3 = 3 Interaktive Inhalte: P ( = k n Mehrstufige Zufallsexperimente In einer Urne befinden sich drei rote und vier blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. 3 4 r b r b r b rr rb br bb In einer Urne befinden sich drei rote und vier blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. 3 4 r b r b r b rr rb br bb 8
9 Stochastik Baumdiagramm P (D D D P ( E E P (E P (D D BD P (B B E BE P (E P (D D CD P (C C E CD P (E Es werden mehrere Zufallsexperimente nacheinander ausgeführt. Jedes mögliche Elementarereignis wird zu einem Knoten (,B,C.. im Baumdiagramm. Zufallsexperiment 1: Ω = {, B, C} Zufallsexperiment 2: Ω = {D, E} Die Knoten werden durch Pfade verbunden und die en angetragen. (P(,P(B... Die en an einem Knoten müssen sich zu 1 addieren. 1. Pfadregel (Produktregel Die eines Ergebnisses (D,E..ist gleich dem Produkt der en entlang dieses Pfades. P (D = P ( P (D P (E = P ( P (E P (BD = P (B P (D P (BE = P (B P (E P (CD = P (C P (D P (CE = P (C P (E 2. Pfadregel (Summenregel Die eines Ereignisses ist gleich der Summe der en ihrer Ergebnisse. P (D, CD = P (D + P (CD Ziehen mit Zurücklegen Ω = {rr; rb; br; bb} 1. Pfadregel: P (rr = 3 3 = 9 49 P (rb = 3 4 = P (br = 4 3 = P (bb = 4 4 = 1 49 für nur gleichfarbige Kugeln E = {rr;bb} 2. Pfadregel: P (E = P (rr + P (bb = Ziehen ohne Zurücklegen Ω = {rr; rb; br; bb} 1. Pfadregel: P (rr = 3 2 = 42 P (rb = 3 4 = P (br = 4 3 = P (bb = = = für genau 1 rote Kugel E = {rb;br} 2. Pfadregel: P (E = P (rb + P (br = =
10 Stochastik Bedingte P ( P ( P (B P (B P (B P (B P (B oder auch P (B B B B B B B B B Die von B unter der Bedingung. Die von B, wenn schon eingetreten ist. 1. Pfadregel P ( B P ( B = P ( P (B P (B = P ( P ( B P ( B = P ( P (B P (B = P ( P ( B P ( B = P ( P (B P (B = P ( P ( B P ( B = P ( P (B P (B = P ( P B ( B P (B P (B B B P B ( P B ( P B ( P B ( oder auch P ( B B B B Die von unter der Bedingung B. Die von, wenn B schon eingetreten ist. 1. Pfadregel P ( B P ( B = P (B P B ( P B ( = P (B P ( B P ( B = P (B P B ( P B ( = P (B P ( B P ( B = P (B P B ( P B ( = P (B P ( B P ( B = P (B P B ( P B ( = P (B P (B = P ( B + P ( B P (B = P ( B + P ( B P ( = P ( B + P ( B P ( = P ( B + P ( B 0, 42 Männer Frauen 0, 35 0, 2 Raucher nicht Raucher Raucher nicht Raucher 42 Prozent der Deutschen sind Männer. 35 Prozent der Männer und 20 Prozent der Frauen rauchen. Männer ( P ( = 0, 42 - Frauen( P ( = 0, 58 Raucher(B - nicht Raucher (B Raucher unter den (Bedingung Männern: P (B = 0, 35 nicht Raucher unter den Männern: P (B = 0, 5 Raucher unter den Frauen: P (B = 0, 2 nicht Raucher unter den Frauen: P (B = 0, 8 P ( B = P ( P (B = 0, 42 0, 35 = 0, 15 P ( B = P ( P (B = 0, 42 0, 5 = 0, 2 P ( B = P ( P (B = 0, 58 0, 2 = 0, 12 P ( B = P ( P (B = 0, 58 0, 8 = 0, 4 0, 35 Raucher 0, 15 0, 42 0, 58 Männer Frauen 0, 5 0, 2 nicht Raucher 0, 2 Raucher 0, 12 0, 8 nicht Raucher 0, 4 P (B = P ( B + P ( B = 0, , 12 = 0, 2 P (B = P ( B + P ( B = 0, 2 + 0, 4 = 0, 3 P ( B 0, 15 P B( = = = 0, 5 P (B 0, 2 P ( B 0, 12 P B( = = = 0, 44 P (B 0, 2 P ( B 0, 2 P B ( = = = 0, 3 P (B 0, 23 P (B B 0, 4 P B ( = = = 0, 3 P (B 0, 3 Männer unter den (Bedingung Rauchern: P B( = 0, 5 Frauen unter den Rauchern: P B( = 0, 44 Männer unter den nicht Rauchern: P B ( = 0, 3 Frauen unter den nicht Rauchern: P B ( = 0, 3 0, 5 Männer 0, 15 0, 2 0, 3 Raucher nicht Raucher 0, 44 0, 3 0, 3 Frauen 0, 12 Männer 0, 2 Frauen 0,
11 5.3. Vierfeldertafel Relativer Häufigkeiten Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen. 1. Merkmal hat die usprägung und 2. Merkmal hat die usprägung B und B B h( B h( B h(b a b a + b B h( B h( B h(b c d c + d h( h( 1 a + c b + d a + b + c + d Relative Häufigkeit der usprägung h(, h(b, h(, h(b h(b + h(b = 1 h( + h( = 1 Relative Häufigkeit von der Schnittmenge h( B, h( B, h( B, h( B h(b = h( B + h( B h(b = h( B + h( B h( = h( B + h( B h( = h( B + h( B Relative Häufigkeiten von der Vereinigungsmenge h( B, h( B, h( Bh( B h( B = h( B + h( B + h( B h( B = h( B + h( B + h( B h( B = h( B + h( B + h( B h( B = h( B + h( B + h( B h( B = 1 h( B h( B = 1 h( B h( B = 1 h( B h( B = 1 h( B Relative Häufigkeit unter einer Bedingung h( B h (B = h( h( B h (B = h/ h( B h (B = h( h(b B h (B = h( In einer Schulklasse sind Schüler, darunter 18 Mädchen. Mädchen und 8 Jungen sind krank. 1. Merkmal: Mädchen ( - Jungen( 2.Merkmal: Krank(B - Gesund (B Mädchen: = 18 Jungen: = 18 = 14 kranke Mädchen: B = kranke Jungen: B = 8 Kranke: B = + 8 = 14 gesunde Mädchen: B = 18 = 12 gesunde Jungen: B = 14 8 = Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten Mädchen Jungen B B B B Krank 8 14 B B B B Gesund Insgesamt Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten Mädchen Jungen B h( B h( B h(b Krank 8 14 B h( B h( B h(b Gesund h( h( Relative Häufigkeit von Mädchen h( = 18 Jungen h( = 14 Krank h(b = 14 Gesund h(b = 18 nzahl der gesunden Mädchen: 12 h( B = 12 = 3, 5% 3,5% der gesamten Schüler sind gesunde Mädchen. Wieviel Prozent der Mädchen sind gesund? h( B h (B = = = h( 11
12 en Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen. 1. Merkmal hat die usprägung und. 2. Merkmal hat die usprägung B und B. B P ( B P ( B P (B a b a + b B P ( B P ( B P (B c d c + d P ( P ( 1 a + c b + d a + b + c + d der usprägung P (, P (B, P (, P (B P (B + P (B = 1 P ( + P ( = 1 von der Schnittmenge P ( B, P ( B, P ( B, P ( B. P (B = P ( B + P ( B P (B = P ( B + P ( B P ( = P ( B + P ( B P ( = P ( B + P ( B Berechnungen mit den bedingten en P ( B = P (B P ( P ( B = P (B P ( P ( B = P (B P ( P (B B = P (B P ( von der Vereinigungsmenge P ( B, P ( B, P ( BP ( B P ( B = P ( B + P ( B + P ( B P ( B = P ( B + P ( B + P ( B P ( B = P ( B + P ( B + P ( B P ( B = P ( B + P ( B + P ( B P ( B = 1 P ( B P ( B = 1 P ( B P ( B = 1 P ( B P ( B = 1 P ( B 42 Prozent der Deutschen sind Männer. 35 Prozent der Männer und 20 Prozent der Frauen rauchen. 1.Merkmal: Männer ( Frauen( 2.Merkmal: Raucher(B - nicht Raucher (B P ( = 0, 42 P ( = 1 0, 42 = 0, 58 Raucher unter den (Bedingung Männern: P (B = 0, 35 P ( B = P (B P ( = 0, 35 0, 42 = 0, 15 Raucher unter den (Bedingung Frauen: P (B = 0, 2 P ( B = P (B P ( = 0, 2 0, 58 = 0, 12 P ( B = 0, 42 0, 15 = 0, 2 P (B = 0, 58 0, 12 = 0, 4 P (B = 0, , 12 = 0, 2 P (B = 1 0, 2 = 0, 3 Männer Frauen B P ( B P ( B P (B Raucher 0, 15 0, 12 0, 2 B P ( B P ( B P (B nicht Raucher 0, 2 0, 4 0, 3 P ( P ( 1 0, 42 0, 58 Stochastische Unabhängigkeit P ( B = P ( P (B,B unabhängig P ( B P ( P (B,B abhängig P ( B = 0, 15 P ( = 0, 42 P (B = 0, 2 P ( B P ( P (B 0, 15 0, 42 0, 2,B abhängig 12
13 5.3. Binomialverteilung In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Zwei usgänge des Zufallsexperiments: rote oder blaue Kugeln für eine rote Kugel: p = 4 10 = 2 5 für eine blaue Kugel: q = 1 p = 10 = 3 5 nzahl der Versuche: n=3 Ziehen mit Zurücklegen: Wahrscheinlickeiten ändern sich nicht Definition P (X = k = B(n, p, k = ( n k pk (1 p n k Voraussetzung Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen usgängen (Bernoulli-Experiment p - des Ereignisses Stichprobe mit Zurücklegen - p ändert sich nicht n - nzahl der Wiederholungen des Versuchs (Bernoullikette der Länge n Das Ereignis tritt genau k-mal ein. Wie groß ist die, genau 2 rote Kugeln zu ziehen? Genau 2 rote Kugeln: k=2 P (X = k = ( n k pk (1 p n k P (X = 2 = B(10, 2, 2 5 P (X = 2 = ( 10 2 P (X = 2 = 0, 121 ( ( Verteilungsfunktion k F (k = P (0 X k = B(n; p; i i=0 Binomialverteilung n = 10 p = 2 5 k B(10, 2, k F (k 5 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
14 Bereiche der Binomialverteilung höchstens k-mal k P (x k = B(n; p; i = F (k i=0 weniger als k-mal k 1 P (x < k = B(n; p; i = F (k 1 i=0 mindestens k-mal n P (x k = B(n; p; i = 1 F (k 1 i=k mehr als k-mal n P (x > k = B(n; p; i = 1 F (k i=k+1 mindestens 1-mal n P (x 1 = B(n; p; i = 1 F (0 = i=1 ( n 1 B(n; p; 0 = 1 p 0 (1 p n = 1 (1 p n 0 Mit welcher werden.. genau 2 rote Kugeln P (x = 2 = 0, 1209 höchstens 2 rote Kugeln P (x 2 = F (2 = 2 i=0 B(10; 2 ; i = 5 B(10, 2, 0 + B(10, 2, 1 + B(10, 2, 2 = 0, weniger als 2 rote Kugeln P (x < 2 = F (1 = 1 i=0 B(10; 2 ; i = 5 B(10, 2, 0 + B(10, 2, 1 = 0, mehr als 2 rote Kugeln P (x > 2 == 1 F (2 = 0, 810 mindestens 2 rote Kugeln P (x 2 = 1 F (1 = 0, gezogen 3-mindestens-ufgabe P min ist die Mindestwahrscheinlichkeit für mindesten einen Treffer (x 1 und der Trefferwahrscheinlichkeit p bei mindestens n Versuchen. P n p (x 1 P min Gesucht: n - Mindestanzahl der Versuche P n p (x 1 P min 1 Pp n (0 P ( min n 1 p 0 (1 p n P min 0 1 (1 p n P min / P min / + (1 p n 1 P min (1 p n /ln ln(1 P min ln((1 p n ln(1 P min n ln((1 p / : ln(1 p ln(1 P min n ln(1 p n ln(1 P min ln(1 p Gesucht: p - eines Treffers P n p (x 1 P min 1 Pp n (0 P ( min n 1 p 0 (1 p n P min 0 1 (1 p n P min / P min / + (1 p n 1 P min (1 p n / 1 n (1 P min 1 n 1 p / + p/ (1 Pmin 1 n p 1 (1 P min 1 n Die für einen Gewinn beim Losen beträgt 20%. Wieviele Lose muss man mindestens kaufen, um mit einer von mindestens 50% mindestens einmal zu gewinnen? x 1 p = 0, 2 P min 0, 5 P0,2(x n 1 0, 5 1 P0,2(0 n 0, 5 ( 1 n 0 0, 2 0 (1 0, 2 n 0, 5 1 0, 8 n 0, 5 / 0, 5/ + 0, 8 n 1 0, 5 0, 8 n /ln ln(0, 5 ln(0, 8 n ln(0, 5 n ln(0, 8 / : ln(0, 8 ln(0, 5 ln(0, 8 n ln(0, 5 n ln(0, 8 n 3, 1 Beim zehnmaligen Losen ist die mindestens einmal zu gewinnen mindestens 40%. Wie groß muß die für einen Gewinn beim Losen sein? x 1 n = 10 P min 0, 4 Pp 10 (x 1 0, 4 1 P ( p 10 (0 0, p 0 (1 p 10 0, (1 p 10 0, 4 / 0, 4/ + (1 p , 4 (1 p 10 / 1 10 (0, p / + p/ (0, 1 10 p 1 (0, 1 10 p 0,
15 Wartezeitaufgaben Erster Treffer im n-ten Versuch P (E = (1 p n 1 p Zufallsexperiment Würfeln. Wie groß ist die, dass die Erster Treffer frühestens im n-ten Versuch P (E = (1 p n 1 Erster Treffer spätestens im n-ten Versuch P (E = 1 (1 p n k-ter Treffer ( im n-ten Versuch n 1 P (E = p k 1 (1 p n k p k 1 k-ter Treffer frühestens im n-ten Versuch k 1 P (E = P (x k 1 = B(n 1; p; i i=0 k-ter Treffer spätestens im n-ten Versuch k 1 P (E = 1 P (x k 1 = 1 B(n; p; i i=0 - beim 9. Wurf zum ersten Mal auftritt? P (E = ( frühestens beim 9. Wurf zum ersten Mal auftritt? P (E = ( spätestens beim 9. Wurf zum ersten Mal auftritt? P (E = 1 ( beim 9. ( Wurf zum dritten Mal auftritt? 9 1 P (E = (1 p frühestens beim 9. Wurf zum dritten Mal auftritt? 3 1 P (E = B(9 1; 1 ; i i=0 - spätestens beim 9. Wurf zum dritten Mal auftritt? 3 1 P (E = 1 B(9; 1 ; i i=0 Interaktive Inhalte: P (X = k - F (x - P (k1 X k2 - P (X >,,...k Hypergeometrische Verteilung In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. nzahl der Elemente: N=10 nzahl der Züge: n=3 nzahl der roten Kugeln: K=4 Ziehen ohne Zurücklegen Definition P (X = k = ( K k ( N K n k ( N n Voraussetzung Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen usgängen Stichprobe ohne Zurücklegen - p ändert sich N - nzahl aller Elemente n - nzahl der Wiederholungen des Versuchs K - nzahl von unter den N - Elementen Das Ereignis tritt genau k-mal ein Wie groß ist die, genau 2 rote Kugeln zu ziehen? nzahl der gezogenen roten Kugeln: k=2 ( K ( k N K n k P (X = k = ( N ( n 4 ( P (X = 2 = P (X = 2 = 3 10 ( 10 3 Interaktive Inhalte: P (X = k
16 5.3.9 Erwartungswert - Varianz - Standardabweichung sverteilung Zufallsgröße X mit den Werten x 1, x 2, x 3... sverteilung X x 1 x 2 x 3 x 4.. P (X p 1 p 2 p 3 p 4.. Erwartungswert: E(x = µ = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3... n E(x = µ = x i P (x i Varianz: i=1 V ar(x = (x 1 µ 2 p 1 + (x 2 µ 2 p 2 + (x 3 µ 2 p n V ar(x = (x i µ 2 P (x i i=1 Standardabweichung: σ = V ar(x x P (X = x Erwartungswert: 2 E(x = E(x = µ = 2 Varianz: V ar(x = ( ( (1 22 +( ( ( = Standardabweichung: σ = 2 9 = 1, Binominalverteilung Binominalverteilung B(n;p X P (X B(n; p; 0 B(n; p; 1 B(n; p; 2 B(n; p; 3.. Erwartungswert: E(x = µ = n p Varianz: V ar(x = n p (1 p Standardabweichung: σ = V ar(x Binomialverteilung n = 50 p = 0, 25 Erwartungswert: E(x = µ = n p E(x = µ = E(x = Varianz: V ar(x = n p (1 p V ar(x = 50 1 ( V ar(x = Standardabweichung: σ = 9 3 = 3, 0 8 Interaktive Inhalte: hier klicken Binomial - 1
17 Testen von Hypothesen 5.4 Testen von Hypothesen Einseitiger Signifikanztest Ist ein Würfel gezinkt? Die eine Sechs zu würfeln ist bei einem nicht gezinkten Würfel: p = 1 (Nullhypothese. Bei einem gezinkten Würfel ist die für eine Sechs: p > 1 (Gegenhypothese und Rechtsseitiger Signifikanztest. Der zu testende Würfel wird 100 mal geworfen (Stichprobenlänge. Man hält den Würfel für nicht gezinkt, wenn die nzahl der gewürfelten Sechser höchstens 20 ist (nnahmebereich der Nullhypothese. Man hält den Würfel für gezinkt, wenn die nzahl der gewürfelten Sechser mindestens 21 ist (blehungsbereich der Nullhypothese. Zwei Fehler sind bei der Entscheidung möglich: 1. Der Würfel ist nicht gezinkt. Mit viel Glück kann man auch mit einem nicht gezinkten Würfel mehr als 20 mal die Sechs würfeln. Man hält den Würfel für gezinkt, obwohl er es nicht ist.( Fehler 1. rt 2. Der Würfel ist gezinkt. Mit viel Pech kann man auch mit einem gezinkten Würfel weniger als 21 mal die Sechs würfeln. Man hält den Würfel für nicht gezinkt, obwohl er es ist. (Fehler 2. rt. Ziel ist es die für die Fehler zu berechnen (Irrtumswahrscheinlichkeit. Definitionen Testgröße: Binominal verteilte Zufallsgröße X Nullhypothese H 0 : Vermutete für die Zufallsgröße X Gegenhypothese H 1 : lternative Stichprobenlänge n : nzahl der durchgeführten Versuche Entscheidungsregel: nnahme- und blehnungsbereich für die Nullhypothese Fehler 1. rt ( α-fehler: H 0 wird irrtümlich abgelehnt. Entscheidung gegen H 0, aber H 0 ist richtig. Fehler 2. rt (β-fehler: H 0 wird irrtümlich angenommen. Entscheidung für H 0, aber H 0 ist nicht richtig. Irrtumswahrscheinlichkeit: für Fehler 1 rt. Berechnung durch: α = Pp n 0 ( blehnungsbereich von H 0 Signifikanzniveau: maximale Irrtumswahrscheinlichkeit Testgröße: nzahl der Sechsen beim Würfeln Stichprobenlänge n = 100 Nullhypothese H 0 : p 1 Gegenhypothese H 1 : p > 1 nnahmebereich: = {0..20} nnahmebereich: = { } 1
18 Testen von Hypothesen Rechtsseitiger Signifikanztest nnahmebereich = {0...k} blehnungsbereich = {k n} H 0 : p p 0 richtig Fehler 1. rt H 1 : p > p 0 Fehler 2. rt richtig ufgabentyp 1 Gegeben: n, H 0,nnahme-und blehnungsbereich Gesucht:Irrtumswahrscheinlichkeit (Fehler 1. rt α = P n p 0 ( α = P n p 0 (X k + 1 = n i=k+1 B(n; p 0; i α = 1 P n p 0 (X k = 1 k i=0 B(n; p 0; i = 1 F (k ufgabentyp 2 Gegeben: n,h 0,Signifikanzniveau Gesucht:nnahme-und blehnungsbereich P n p 0 ( α P n p 0 (X k + 1 α 1 P n p 0 (X k α P n p 0 (X k 1 α ufgabentyp 1 Gegeben: n = 100, H 0 : p 1 {0..20}, = { } Gesucht:Irrtumswahrscheinlichkeit für den Fehler 1. rt α = P α = 1 P (X 21 = 100 i=21 B(100; 1 ; i (X 20 = 1 20 i=0 B(100; 1 us Tafelwerk: 20 i=0 B(100; 1 1 0, = 0, Irrtumswahrscheinlichkeit = 15, 19% ufgabentyp 2 Gegeben: n = 100; H 0 : p = 1 Signifikanzniveau α = 5% Gesucht: Entscheidungsregel {0..k}; {k } P (X k + 1 0, 05 ; i 0, 05 (X k 0, 05 i=k+1 B(100; 1 1 P P (X k 1 0, 05 P (X k 0, 95 us Tafelwerk: k = 23 Entscheidungsregel {0..23}; { } ; i = 1 F (20 ; i = F (20 = 0, Linksseitiger Signifikanztest blehnungsbereich = {0...k} nnahmebereich = {k n} H 0 : p p 0 Fehler 1. rt richtig H 1 : p < p 0 richtig Fehler 2. rt ufgabentyp 1 Gegeben: n, H 0, nnahme-und blehnungsbereich Gesucht:Irrtumswahrscheinlichkeit (Fehler 1. rt α = P n p 0 ( α = P n p 0 (X k = k i=0 B(n; p 0; i = F (k ufgabentyp 2 Gegeben: n, H 0,Signifikanzniveau α Gesucht:nnahme-und blehnungsbereich P n p 0 ( α P n p 0 (X k α 18
1. rechtsseitiger Signifikanztest
Testen von Hypothesen HM2 Seite Geschichte und ufgabe der mathematischen Statistik Stochastik ist die Kunst, im Falle von Ungewißheit auf geschickte Weise Vermutungen aufzustellen. Entwickelt wurde sie
Beurteilende Statistik
Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe
Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wir beginnen mit einem Beispiel, dem Münzwurf. Es wird eine faire Münze geworfen mit den Seiten K (für Kopf) und Z (für Zahl). Fair heißt, dass jede Seite
Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.
Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 21.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013 Organisatorisches 1. Begriffe in der Stochastik (1)
Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen?
1 Kombinatorik Aus einer Grundgesamtheit mit n Elementen wird eine Stichprobe k Elementen entnommen. Dabei kann die Stichprobe geordnet oder ungeordnet sein. "Geordnet" bedeutet, dass die Reihenfolge der
1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6
Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte
Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt
Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006
Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006 Die Firma VEGAS hat ein neues Gesellschaftsspiel entwickelt, bei dem neben Laplace-Würfeln auch spezielle Vegas-Würfel verwendet werden, die sich äußerlich von den Laplace-Würfeln
Kurs 2 Stochastik EBBR Vollzeit (1 von 2)
Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A 281 Bremen Kurs 2 Stochastik EBBR Vollzeit (1 von 2) Name: Ich 1. 2. 3. 4.. 6. 7. So schätze ich meinen Lernzuwachs ein.
Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.
XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Binomialverteilung
Bernoulli-Kette, und hypergeometrische Verteilung: F. 2. 32 Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Die folgende Stationenarbeit dient dazu, die Begriffe der Oberstufenstochastik (Wahrscheinlichkeit;
Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten
Blatt 1 Aufgabe 1. Wir betrachten den Ereignisraum Ω = {(i,j) 1 i,j 6} zum Zufallsexperiment des zweimaligem Würfelns. Sei A Ω das Ereignis Pasch, und B Ω das Ereignis, daß der erste Wurf eine gerade Augenzahl
Hypothesentest, ein einfacher Zugang mit Würfeln
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 4..4 ypothesentest, ein einfacher Zugang mit Würfeln Von einem Laplace- Würfel ist bekannt, dass bei einmaligem Wurf jede einzelne der Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit
Endgültige Gruppeneinteilung Kohorte Innere-BP Sommersemester 2016 (Stand: )
A A1a 2197120 on on A A1a 2311330 on on on on on on on A A1a 2316420 on on A A1a 2332345 on on on on on on on A A1a 2371324 on on on on on on on A A1a 2382962 on on A A1a 2384710 on on on on on on on A
2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit
2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,
Kontrolle. Themenübersicht
Themenübersicht Arbeitsblatt 1 Statistik Arbeitsblatt 2 Erheben und Auswerten von Daten Arbeitsblatt 3 Zufallsexperimente Arbeitsblatt 4 mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt, Schwerpunkte des Themas Urliste,
15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung Was du wissen musst: Die Begriffe Zufallsexperiment, Ereignisse, Gegenereignis, Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeit sind dir geläufig. Du kannst mehrstufige Zufallsversuche
7 Unabhängigkeit von Ereignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit
Übungsmaterial 7 Unabhängigkeit von reignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit 7. Unabhängigkeit von reignissen Wir betrachten folgendes Beispiel: Zwei unterscheidbare Münzen werden geworfen. Man betrachtet
Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit
Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Aufgabe 1 (mdb500405): In einer Urne befinden sich gelbe (g), rote (r), blaue (b) und weiße (w) Kugel (s. Bild). Ohne Hinsehen sollen aus der Urne in einem Zug Kugeln
1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit
Schülerbuchseite 174 176 Lösungen vorläufig und Unabhängigkeit 1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit S. 174 1 Ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit von Sau kann nur mithilfe der relativen
Stochastik Pfadregeln Erwartungswert einer Zufallsvariablen Vierfeldertafel Gymnasium
Stochastik Pfadregeln Erwartungswert einer Zufallsvariablen Vierfeldertafel Gymnasium Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 205 Aufgabe : In einer Urne befinden sich drei gelbe, eine rote und
Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1. Binomialverteilung 1.1 Abzählverfahren 1.2 Urnenmodell Ziehen mit Zurücklegen, Formel von Bernoulli 1.3 Berechnung von Werten 1.4 Erwartungswert und Standardabweichung
1 1. Übung. Einleitung. 1.1 Urnenmodelle. 1.2 Beispiele. 1.3 Aufgaben
Einleitung Dieses sind die kompletten Präsenzaufgaben, die bei der Übung zur Vorlesung Einführung in die Stochastik im Sommersemester 2007 gerechnet wurden. Bei Rückfragen und Anmerkungen bitte an brune(at)upb.de
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - robeklausur Sommersemester 2007 - Lösung Name: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Hinweise Sie sollten insgesamt Blätter erhalten haben. Tragen Sie bitte Ihre Antworten
Stochastik (Laplace-Formel)
Stochastik (Laplace-Formel) Übungen Spielwürfel oder Münzen werden ideal (oder fair) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann. 1. Ein idealer Spielwürfel
Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7:
Discrete Probability - Übungen (SS5) Felix Rohrer Wahrscheinlichkeitstheorie 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln
Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.
Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.
Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012
Weihnachtszettel zur Vorlesung Stochastik I Wintersemester 0/0 Aufgabe. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält
An die Zweige schreibt man jeweils die Wahrscheinlichkeit, die für dieses Ereignis gilt.
. Mehrstufige Zufallsversuche und Baumdiagramme Entsprechend der Anmerkung in. wollen wir nun auf der Basis von bekannten Wahr- scheinlichkeiten weitere Schlüsse ziehen. Dabei gehen wir immer von einem
Laplace und Gleichverteilung
Laplace und Gleichverteilung Aufgaben Aufgabe 1 An einem Computer, dessen Tastatur die 26 Tasten für die kleinen Buchstaben (a,b,c... z) hat, sitzt ein Nutzer (User) und tippt zufällige auf den Tasten
Die Bernoullikette. Skript zur Binomialverteilung 1 Robert Rothhardt
Die Bernoullikette Skript zur Binomialverteilung 1 Robert Rothhardt DAS BERNOULLI-EXPERIMENT Definitionen Schwarzfahrer: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 10 Kontrollen 2 Schwarzfahrer zu erwischen,
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung Rainer Hauser Dezember 2012 1 Einleitung 1.1 Zufallsexperimente Im Folgenden wird das Resultat eines Experiments als Ereignis bezeichnet. Lässt man eine Metallkugel aus einer
Grundlagen. Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten
Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 326 Grundlagen Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Rechnen mit einfachem Mengenkalkül
Dieser Begriff wurde von Jacob Bernoulli Ars conjectandi geprägt (1773), in dem das erste Gesetz der großen Zahlen bewiesen wurde.
10.1 Über den Begriff Stochastik Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine Teildisziplin von Stochastik. Dabei kommt das Wort Stochastik aus dem Griechischen : die Kunst des Vermutens (von Vermutung, Ahnung,
Mögliche Fehler beim Testen
Mögliche Fehler beim Testen Fehler. Art (Irrtumswahrscheinlichkeit α), Zusammenfassung: Die Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie zutrifft. Wir haben uns blamiert, weil wir etwas Wahres abgelehnt haben.
Abiturprüfung. Mecklenburg-Vorpommern Stochastik. Wahl- und Pflichtaufgaben. Aus den Jahren 2009 bis Datei Nr Stand 5.
Abiturprüfung Mecklenburg-Vorpommern Stochastik Wahl- und Pflichtaufgaben Aus den Jahren 2009 bis 2016 Datei Nr. 73111 Stand 5. August 2016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 73111
Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x
Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable
Diskrete Verteilungen
KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder
BESONDERE LEISTUNGSFESTSTELLUNG MATHEMATIK
BESONDERE LEISTUNGSFESTSTELLUNG 003 MATHEMATIK Arbeitszeit: Hilfsmittel: 150 Minuten 1. Formeln und Tabellen für die Sekundarstufen I und II. Berlin: Paetec, Ges. für Bildung und Technik. Formeln und Tabellen
Ein möglicher Unterrichtsgang
Ein möglicher Unterrichtsgang. Wiederholung: Bernoulli Experiment und Binomialverteilung Da der sichere Umgang mit der Binomialverteilung, auch der Umgang mit dem GTR und den Diagrammen, eine notwendige
4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)
4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte
Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis
Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal
Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien. Stochastik
mathe-aufgaben.com Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien Stochastik Dipl.-Math. Alexander Schwarz E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
Übungsrunde 5, Gruppe 2 LVA , Übungsrunde 5, Gruppe 2, Markus Nemetz, TU Wien, 11/2006
3.. Angabe Übungsrunde 5, Gruppe 2 LVA 07.369, Übungsrunde 5, Gruppe 2, 4.. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, /2006 Betrachten Sie einen Behälter, der Karten mit jeweils einer aufgedruckten
6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise
6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise Aufgabe 6.: Begründen Sie, warum die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse bzw. zufälliger Vorgänge nur ein Modell der Realität darstellen kann.
Abiturienten-Aufgabe Bayern GK 2004
Abiturienten-Aufgabe Bayern GK 2004 Die Bezeichnungen Abiturienten und Schüler beziehen sich im folgenden Text sowohl auf männliche als auch auf weibliche Personen. Die Abiturienten eines bayerischen Gymnasiums
Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie
1.4 Der Binomialtest. Die Hypothesen: H 0 : p p 0 gegen. gegen H 1 : p p 0. gegen H 1 : p > p 0
1.4 Der Binomialtest Mit dem Binomialtest kann eine Hypothese bezüglich der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Kategorie einer dichotomen (es kommen nur zwei Ausprägungen vor, z.b. 0 und 1) Zufallsvariablen
Stochastik. Pfadregeln Erwartungswert einer Zufallsvariablen bedingte Wahrscheinlichkeit. berufliche Gymnasien Oberstufe.
Stochastik Pfadregeln Erwartungswert einer Zufallsvariablen bedingte Wahrscheinlichkeit berufliche Gymnasien Oberstufe Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 2015 1 Aufgabe 1: Eine Urne enthält
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure Von Prof. Hubert Weber Fachhochschule Regensburg 3., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit zahlreichen Bildern, Tabellen sowie
Aufgabenblock 4. Da Körpergröße normalverteilt ist, erhalten wir aus der Tabelle der t-verteilung bei df = 19 und α = 0.05 den Wert t 19,97.
Aufgabenblock 4 Aufgabe ) Da s = 8. cm nur eine Schätzung für die Streuung der Population ist, müssen wir den geschätzten Standardfehler verwenden. Dieser berechnet sich als n s s 8. ˆ = = =.88. ( n )
Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester 2013 Aufgabe 1 In einer Urne
Wahrscheinlichkeit. Kapitel Wahrscheinlichkeitsbegriff
Kapitel 2 Wahrscheinlichkeit Betrachtungen zu wahrscheinlichen und unwahrscheinlichen Vorgängen sind heutzutage Teil unserer Alltagsüberlegungen. In diesem Kapitel stellen wir den Wahrscheinlichkeitsbegriff
Stochastik - Kapitel 1
Stochastik - Kapitel Aufgaben ab Seite 9 I. reignisräume. rgebnis und rgebnisraum; Baumdiagramm xperimente werden nach der Vorhersehbarkeit ihres Versuchsausganges unterschieden: - xperimente, deren rgebnisse
Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen)
Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜUNG. - LÖSUNGEN. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen Die Urne enthält 4 weiße und 8 rote Kugeln.
Variationen Permutationen Kombinationen
Variationen Permutationen Kombinationen Mit diesen Rechenregeln lässt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereigniskombinationen von gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen ermitteln, und erleichtert
Stochastik - Kapitel 2
Aufgaben ab Seite 7 2. Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Laplace-Experimente 2.1 Die absolute und die relative Häufigkeit 1. Beispiel: Ich werfe mal einen Würfel und möchte herausfinden, wie oft jeweils
Biomathematik für Mediziner, Klausur SS 2001 Seite 1
Biomathematik für Mediziner, Klausur SS 2001 Seite 1 Aufgabe 1: Von den Patienten einer Klinik geben 70% an, Masern gehabt zu haben, und 60% erinnerten sich an eine Windpockeninfektion. An mindestens einer
Satz 16 (Multiplikationssatz)
Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.
Unter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n.
Die Fakultät Definition: Unter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. n! = 1 2 3... (n 2) (n 1) n Zusätzlich wird definiert 0! = 1 Wie aus der Definition
Klausur: Stochastik Stochastik
Stochastik Klausur zu Pfadregeln, bedingte Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert einer Zufallsvariablen Vierfeldertafel berufliche Gymnasien Oberstufe Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 0 Aufgabe
P X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1
Übungen zur Stochastik - Lösungen 1. Ein Glücksrad ist in 3 kongruente Segmente aufgeteilt. Jedes Segment wird mit genau einer Zahl beschriftet, zwei Segmente mit der Zahl 0 und ein Segment mit der Zahl
Bachelor BEE Statistik Übung: Blatt 1 Ostfalia - Hochschule für angewandte Wissenschaften Fakultät Versorgungstechnik Aufgabe (1.1): Gegeben sei die folgende Messreihe: Nr. ph-werte 1-10 6.4 6.3 6.7 6.5
Aufgabe 1 (mdb632540): Murat hat zehn Spielkarten verdeckt auf den Tisch gelegt: Buben, Könige, Asse, Zehn.
Wahrscheinlichkeiten Aufgabe 1 (mdb632540): Murat hat zehn Spielkarten verdeckt auf den Tisch gelegt: Buben, Könige, Asse, Zehn. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Anna a) ein Ass, b) einen Buben, c)
Hypergeometrische Verteilung
Hypergeometrische Verteilung Typischer Anwendungsfall: Ziehen ohne Zurücklegen Durch den Ziehungsprozess wird die Wahrscheinlichkeit des auch hier zu Grunde liegenden Bernoulli-Experimentes verändert.
Statistik II. Statistische Tests. Statistik II
Statistik II Statistische Tests Statistik II - 12.5.2006 1 Test auf Anteilswert: Binomialtest Sei eine Stichprobe unabhängig, identisch verteilter ZV (i.i.d.). Teile diese Stichprobe in zwei Teilmengen
Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten
Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests
Würfelspiel. Heinz Klaus Strick. Beispiele zum Einsatz des TI-30X Plus MultiView :
Beispiele zum Einsatz des TI-30X Plus MultiView : Würfelspiel Für den schulartübergreifenden Einsatz Stochastik Grundkurs Besonders passend für Baden-Württemberg und Bayern Bei einem Würfelspiel hat ein
Grundlagen der Mengenlehre
mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener
KATA LOGO Mathematik Statistik Roadmap: Von der Hypothese zum p-wert
KATA LOGO Mathematik Statistik Roadmap: Von der Hypothese zum p-wert 0. Das eigentliche Forschungsziel ist: Beweis der eigenen Hypothese H 1 Dafür muss Nullhypothese H 0 falsifiziert werden können Achtung!
Lösungen zu den. Beispielaufgaben für die Klasse 6. zum Themenbereich
Lösungen zu den Beispielaufgaben für die Klasse zum Themenbereich Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung erstellt von den Kolleginnen und Kollegen der Aufgabenentwicklergruppe für Vergleichsarbeiten
Zeit zum Kochen [in min] [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50,60[ [60, 100] Hi
![Zeit zum Kochen [in min] [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50,60[ [60, 100] Hi](/thumbs/48/24644287.jpg "Zeit zum Kochen [in min] [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50,60[ [60, 100] Hi")
1. Susi und Fritzi bereiten ein Faschingsfest vor, dazu gehört natürlich ein Faschingsmenü. Ideen haben sie genug, aber sie möchten nicht zu viel Zeit fürs Kochen aufwenden. In einer Zeitschrift fanden
WS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
I. Deskriptive Statistik 1
I. Deskriptive Statistik 1 1. Einführung 3 1.1. Grundgesamtheit und Stichprobe.................. 5 1.2. Merkmale und Verteilungen..................... 6 1.3. Tabellen und Grafiken........................
Biometrie und Methodik (Statistik) - WiSem08/09 Probeklausur 1
Biometrie und Methodik (Statistik) - WiSem08/09 Probeklausur 1 Aufgabe 1 (10 Punkte). 10 Schüler der zehnten Klasse unterziehen sich zur Vorbereitung auf die Abschlussprüfung einem Mathematiktrainingsprogramm.
1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente...
Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1 Zufallsvorgänge.......................... 5 1.1.1 Ergebnismengen..................... 6 1.1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfung............
Kapitel 5. Stochastik
76 Kapitel 5 Stochastik In diesem Kapitel wollen wir die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln. Wir beschränken uns dabei auf diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω. Definition 5.1. Ein diskreter
Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende
Universität Duisburg-Essen Essen, den 0.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,
Zusätzliche Übungsaufgaben zur Stochastik
Zusätzliche Übungsaufgaben zur Stochastik (Vorlesung Stochastik und Statistik für Ingenieure ) Hans-Jörg Starkloff, TU Bergakademie Freiberg, Institut für Stochastik 14. November 2012 1 Zufällige Ereignisse
Prof. Dr. Christoph Karg Hochschule Aalen. Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Sommersemester 2016
Prof. Dr. Christoph Karg 5.7.2016 Hochschule Aalen Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Sommersemester 2016 Name: Unterschrift: Klausurergebnis Aufgabe 1 (15 Punkte) Aufgabe 3
20.3 Wahrscheinlichkeit bei Laplace- Versuchen
Zufalls experimente und Ereignisse Geben Sie jeweils eine sinnvolle Ergebnismenge Q für die folgenden Zufallsexperimente an: I) Eine Münze wird dreimal geworfen (benutzen Sie w für Wappen und z für Zahl).
MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur) Gruben)
Musterlösung zum. Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur Gruben. Wahrscheinlichkeiten I ( Punkte Die Seiten von zwei Würfeln sind mit den folgenden Zahlen
Permutation und Kombination
Permutation und Kombination Aufgaben Aufgabe 1 Wie viele verschiedene Wörter lassen sich durch Umstellen der Buchstaben aus den Wörtern a. Mississippi, b. Larissa, c. Stuttgart, d. Abrakadabra, e. Thorsten,
Analysis Seite 1. 1 f' = g f (x) g'(f(x)) f '(x) f (y) = mit y = f(x) bzw. f (x) = k f(x)dx = k f(x) + c. (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx
Analysis Seite Ableitungsregeln: (f±g) = f ± g (f g) = f g + fg ' f f'g fg' = 2 g g ' f' = 2 f f ' ( ) = g f () g'(f()) f '() ' ' f (y) = mit y = f() bzw. f () = f'() f' f( ) Integrationsregeln: b a c
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition
Mathematik. Abiturprüfung 2014. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden.
Mathematik Abiturprüfung 2014 Prüfungsteil A Arbeitszeit: 90 Minuten Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Zu den Themengebieten Analysis, Stochastik und Geometrie
Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Teil V. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Experiment: Wurf eines Würfels
Ziel der Wahrscheinlicheitsrechnung Teil V Wahrscheinlicheitsrechnung Aussagen über Experimente und Prozesse mit unsicherem Ausgang. Beispiele Würfeln Literatur: Ziehen von Losen aus einer Urne Glücsspiele
Wiederholung Hypothesentests Zusammenfassung. Hypothesentests. Statistik I. Sommersemester Statistik I Hypothesentests I (1/36)
Statistik I Sommersemester 2009 Statistik I I (1/36) Wiederholung Grenzwertsatz Konfidenzintervalle Logik des 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 4 2 0 2 4 Statistik I I (2/36) Zum Nachlesen Agresti/Finlay: Kapitel 6+7
Wie steht s mit dir? Buch Schätze dich ein! Inhaltsbezogene Kompetenzen LS 11/12
Mathematik - Lernstandsbogen Kurs: Jahrgang Q1.1 Thema: Analysis I / Stochastik I Zeitraum: 40 U- Wochen Wie steht s mit dir? Buch Schätze dich ein! Inhaltsbezogene Kompetenzen LS 11/12 0. Themenbereich:
Wahrscheinlichkeitstheorie
Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden II Wahrscheinlichkeitstheorie 1 / 24 Lernziele Experimente, Ereignisse und Ereignisraum Wahrscheinlichkeit Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
II Wahrscheinlichkeitsrechnung
251 1 Hilfsmittel aus der Kombinatorik Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit den Permutationen, Kombinationen und Variationen. Diese aus der Kombinatorik stammenden Abzählmethoden sind ein wichtiges
Stochastik. Bedingte Wahrscheinlichkeiten INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. www.mathe-cd.de. Neues Manuskript. Datei Nummer 32111
Stochastik Bedingte Wahrscheinlichkeiten Neues anuskript Datei Nummer Stand 9. uni 008 INTERNETBIBIOTHEK FÜR SCHUTHETIK Inhalt Definitionen und Hinführung Einführungsbeispiel: Karten ziehen Bedingte Wahrscheinlichkeit
Probleme und Möglichkeiten der Behandlung der bedingten Wahrscheinlichkeit
Hans-Dieter Sill, Universität Rostock Probleme und Möglichkeiten der Behandlung der bedingten Wahrscheinlichkeit 1. Der Begriff der bedingte Wahrscheinlichkeit in Planungsdokumenten 2. Eine Prozessbetrachtung
Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Stochastik Dr. Bernhard Klar Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark Name Vorname Matr.-Nr.: Scheinklausur Stochastik für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik
Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien
R. Brinmann http://brinmann-du.de Seite 4.0.2007 Bestimmen der Wahrscheinlicheiten mithilfe von Zählstrategien Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlicheitsrechnung onnten im Wesentlichen mit übersichtlichen
Grundlegende Eigenschaften von Punktschätzern
Grundlegende Eigenschaften von Punktschätzern Worum geht es in diesem Modul? Schätzer als Zufallsvariablen Vorbereitung einer Simulation Verteilung von P-Dach Empirische Lage- und Streuungsparameter zur