Zusätzliche Übungsaufgaben zur Stochastik

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1 Zusätzliche Übungsaufgaben zur Stochastik (Vorlesung Stochastik und Statistik für Ingenieure ) Hans-Jörg Starkloff, TU Bergakademie Freiberg, Institut für Stochastik 14. November Zufällige Ereignisse 1.1 Aufgaben 1.1 Geben Sie geeignete Ergebnismengen für folgende stochastische Vorgänge an. a) In einer Schachtel liegen vier mit 1 bis 4 nummerierte Kugeln. Es werden zufällig zwei Kugeln mit einem Griff gezogen. b) Zahlenlotto 6 aus 49, Ziehung der 6 Lottozahlen ohne Zusatzzahl. c) Zahlenlotto 6 aus 49, Ziehung der 6 Lottozahlen mit Zusatzzahl. d) Drei nicht unterscheidbare Euromünzen werden gleichzeitig geworfen. e) Eine Euromünze wird dreimal hintereinander geworfen. f) Eine Cent- und eine Euromünze werden gleichzeitig geworfen. g) Eine Centmünze wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal Zahl erscheint, jedoch höchstens sechsmal. h) Ein Würfel wird so lange geworfen, bis jede Augenzahl mindestens einmal aufgetreten ist. Es interessiere dabei nur die Anzahl der benötigten Würfe. 1.2 Eine Euromünze wird dreimal geworfen. Es sei A das Ereignis, dass mindestens zweimal hintereinander Zahl erscheint und B das Ereignis, dass alle Würfe das gleiche Ergebnis liefern. Bestimmen Sie: a) A B, b) A B, c) A B c, d) (A B) c. 1.3 Die Arbeit eines Kraftwerkes werde durch drei unabhängig voneinander arbeitende Kontrollsysteme überwacht, die jedoch auch einer gewissen Störanfälligkeit unterliegen. Es bezeichne S i das Ereignis, dass das i-te System störungsfrei arbeitet (i = 1, 2, 3). a) Drücken Sie folgende Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse S 1, S 2 und S 3 aus: A: Alle Systeme arbeiten störungsfrei. B: Kein System arbeitet störungsfrei. C: Mindestens ein System arbeitet störungsfrei. D: Genau ein System arbeitet störungsfrei. E: Höchstens zwei Systeme sind gestört. 1

2 2 Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung 14. November 2012 b) Welche der unter a) genannten Ereignisse können als Elementarereignisse angesehen werden? 1.4 Drei Transistoren werden auf das Erreichen eines bestimmten Stromverstärkungsfaktors überprüft. Das Ereignis A liege vor, wenn mindestens ein Transistor nicht den geforderten Wert besitzt, das Ereignis B liege vor, wenn alle drei Transistoren den geforderten Wert erreichen. Was bedeuten dann die Ereignisse A B und A B? 1.5 Eine Fertigungsstraße bestehe aus einer Maschine vom Typ I, vier Maschinen vom Typ II und zwei Maschinen vom Typ III. A bzw. B k (k = 1, 2, 3, 4) bzw. C j (j = 1, 2) bezeichne das Ereignis, dass die Maschine vom Typ I bzw. die k-te Maschine vom Typ II bzw. die j-te Maschine vom Typ III intakt ist. Die Fertigungsstraße sei arbeitsfähig, wenn von jedem Maschinentyp mindestens eine intakt ist. Dieses Ereignis werde mit D bezeichnet. Beschreiben Sie die Ereignisse D und D c mit Hilfe der Ereignisse A, B k, C j und den Ereignisoperationen! 1.2 Lösungen 1.3 a) A = S 1 S 2 S 3, B = S 1 c S 2 c S 3 c, C = S 1 S 2 S 3, D = (S 1 S 2 c S 3 c ) (S 1 c S 2 S 3 c ) (S 1 c S 2 c S 3 ), b) A, B 1.4 A B = Ω, A B = 1.5 D = A (B 1 B 2 B 3 B 4 ) (C 1 C 2 ), D c = A c (B 1 c B 2 c B 3 c B 4 c ) (C 1 c C 2 c ) E = C 2 Kombinatorik 2.1 Aufgaben 2.1 a) Wie viele vierstellige natürliche Zahlen haben lauter verschiedene Ziffern? b) Wie viele voneinander verschiedene dreistellige natürliche Zahlen kann man mit Hilfe der Ziffern 1,2,3,4,5 bilden? c) Welches Ergebnis erhält man bei Aufgabe b), wenn jede Ziffer höchstens einmal in der zu bildenden Zahl vorkommen darf? 2.2 Auf wie viele Arten können vier rote, drei weiße und zwei grüne Kugeln in eine Reihe gelegt werden? 2.3 Wie viele verschiedene Tippscheine gibt es a) beim Zahlenlotto 6 aus 49, b) bei der Glücksspirale (7-stellige Zahl), c) bei der 11-er Wette (Fußballtoto)?

3 Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung 14. November Eine Person habe beim Lotto (6 aus 49) alle möglichen Tipps gespielt. Wie oft hat sie dann: a) 6 richtige Zahlen, b) 3 richtige Zahlen, c) insgesamt Gewinnscheine? 2.5 In der Umgebung eines Urlaubortes sollen 15 Wanderwege durch je zwei farbige, parallele Striche gekennzeichnet werden. Wie viele verschiedene Farben benötigt man mindestens, wenn gleichfarbige Paare auftreten dürfen. Geben Sie zwei verschiedene Lösungen an und diskutieren Sie diese Ergebnisse! 2.2 Wiederholung: Kombinatorische Formeln Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Grundmenge mit n Elementen k Elemente auszuwählen (zusammenzustellen, anzuordnen): Unterscheiden verschiedener Reihenfolgen, mehrfaches Auftreten möglich: n k Unterscheiden verschiedener Reihenfolgen, mehrfaches Auftreten nicht möglich: n(n 1)... (n k + 1) = n! (n k)! kein Unterscheiden verschiedener Reihenfolgen, mehrfaches Auftreten möglich: ( ) n + k 1 k kein Unterscheiden verschiedener Reihenfolgen, mehrfaches Auftreten nicht möglich: ( ) n k häufig: Grundmenge mit N Elementen, darunter sind M Besondere, es werden n Elemente ohne ( Berücksichtigung )( ) der Reihenfolge und ohne Wiederholung ausgewählt, M N M dann gibt es solche Auswahlen, bei denen genau k Besondere unter k n k den n augewählten sind 2.3 Lösungen 2.1 a) 4536 b) 125 c) ( ) a) = b) 10 7 c) 3 11 = a) 1 b) c) Reihenfolge unwesentlich: 5; Reihenfolge wesentlich: 4

4 4 Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung 14. November Wahrscheinlichkeiten 3.1 Aufgaben 3.1 Für die Ereignisse A und B seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: P (A) = 0.25, P (B) = 0.45, P (A B) = 0.5. Berechnen Sie P (A B c ), P (A c B c ) und P ((A B c ) (A c B))! 3.2 Ein Würfel, dessen Seitenflächen gleichartig gefärbt sind, werde in 1000 kleine Würfel einheitlicher Größe zerlegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter kleiner Würfel auf mindestens einer Seite gefärbt ist? 3.3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Werfen von zwei idealen Würfeln eine Augensumme zu erzielen, die größer oder gleich 10 ist? 3.4 Was ist wahrscheinlicher: a) Beim Werfen von vier idealen Würfeln auf wenigstens einem eine Sechs zu erzielen, oder b) bei 24 Würfen von zwei idealen Würfeln wenigstens einmal zwei Sechsen zu erhalten? 3.5 Wie oft ist mit einem idealen Würfel mindestens zu würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, wenigstens eine Sechs zu erzielen, größer ist als 0.5? 3.6 Ein Gütekontrolleur entnehme einem aus 100 Teilen bestehenden Prüflos nacheinander ohne Zurücklegen 10 Teile. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den zehn ausgewählten Teilen mindestens ein Ausschussteil befindet, falls 4 Ausschussteile unter den 100 Teilen sind! 3.7 Aus 20 vorhandenen Bauteilen, von denen zwei unbrauchbar sind, werden vier zufällig ausgewählt und in ein Gerät eingebaut. Dieses Gerät arbeite nur dann, wenn mindestens drei der eingebauten Bauteile einwandfrei sind. Berechnen Sie dafür die Wahrscheinlichkeit! 3.8 Zwei homogene Euromünzen werden gleichzeitig geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass verschiedene Symbole oben liegen? 3.9 In einer Urne liegen zwei rote und zwei schwarze (ansonsten nicht unterscheidbare) Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen rein zufällig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Kugel rot ist? 3.10 Zwei Ehepaare nehmen rein zufällig um einen runden Tisch Platz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ehepaare jeweils nebeneinander sitzen? 3.11 Geburtstagsaufgabe n Personen sind in einem Raum, alle 365 Tage des Jahres seien als Geburtstage gleichwahrscheinlich. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mindestens 2 dieser n Personen am selben Tag Geburtstag (Ereignis A n )?

5 Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung 14. November Lösungen 3.1 P (A B c ) = 0, 05 P (A c B c ) = 0, 5 P ((A B c ) (A c B)) = 0, , a) , , , , ( ) 4 5 = 0, 5177 b) 1 6 ( 1 1 ) (... 1 n 1 ) ( ) 4 35 = 0, Bedingte Wahrscheinlichkeiten 4.1 Aufgaben 4.1 Drei Maschinen produzieren denselben Artikel, allerdings mit unterschiedlicher Qualität. Aus langer Erfahrung weiß man, dass Maschine 1 nur 2 % unbrauchbare Artikel (Ausschuss) produziert, Maschine 2 dagegen 10 % und Maschine 3 schließlich 4 %. Die Anteile der drei Maschinen an der Gesamtproduktion betragen 30 %, 50 % bzw. 20 %. Die Artikel werden zusammengeworfen und ein Artikel zufällig ausgewählt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Artikel unbrauchbar ist? b) Der zufällig ausgewählte Artikel sei unbrauchbar. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er von Maschine 1? 4.2 Über einen Nachrichtenkanal werden die digitalen Zeichen 0 und 1 im Verhältnis 3:2 übertragen. Infolge von Störungen des Nachrichtenkanals werden 3 % der gesendeten Zeichen 0 als 1 und 2 % der gesendeten Zeichen 1 als 0 empfangen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein empfangenes Zeichen ein Zeichen 0? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein als 0 empfangenes Zeichen auch als 0 gesendet wurde? 4.3 Bei der Endkontrolle von produzierten Haushaltgeräten eines bestimmten Typs sei der folgende Sachverhalt bekannt: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein fehlerfreies Gerät als fehlerfrei eingestuft werde, betrage 0,99. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein defektes Gerät als defekt erkannt werde, sei gleich 0,9. Im Mittel sei von 20 Geräten eins defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nach der Kontrolle als fehlerfrei bezeichnetes Gerät auch wirklich fehlerfrei ist?

6 6 Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung 14. November (Stapelsuchproblem) In 7 gleichgroßen Stapeln zufällig geordneter CDs wird eine ganz bestimmte CD gesucht. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gesuchte CD überhaupt in einem der Stapel liegt, sei 0,8. Es wurden 6 Stapel bereits erfolglos durchsucht! Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die CD im 7. Stapel zu finden ist? 4.5 (medizinische Tests) Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem medizinischen Test eine erkrankte Person zu erkennen (Sensitivität des Tests) betrage 0.95 (positives Testergebnis). Die Wahrscheinlichkeit, bei diesem Test eine nicht erkrankte Person als gesund zu erkennen (Spezifität des Tests) betrage Aus einer Bevölkerungsgruppe mit einem bekannten Anteil von 0.1% infizierter Personen (Prävalenz) werde eine rein zufällig ausgewählte Person getestet. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem positiven Testergebnis die ausgewählte und untersuchte Person auch tatsächlich erkrankt ist (positiver prädiktiver Wert). 4.6 (Ziegenproblem) In einer Spielshow darf ein Kandidat eine von drei Türen auswählen, hinter einer der Türen steht ein Auto als Preis, hinter den anderen beiden als Trostpreise Ziegen. Der Kandidat wählt eine Tür, z.b. Nummer 1. Der Moderator öffnet nun eine der beiden anderen Türen (nur so eine, hinter der eine Ziege steht; wenn mehrere Möglichkeiten bestehen wählt er rein zufällig eine aus). Danach hat der Kandidat die Möglichkeit, seine Auswahl zu bestätigen oder die andere Tür zu wählen. Bei welchem Vorgehen hat der Kandidat die größeren Gewinnchancen? 4.2 Lösungen 4.1 a) 0,064 b) 0, a) 0,59 b) 0, , , 8 = 0, , ,0454 ( 4.6 wechseln Gewinnwahrscheinlichkeit 2 ) 3 5 Unabhängigkeit von zufälligen Ereignissen 5.1 Aufgaben 5.1 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Passagier eine Bombe ins Flugzeug schmuggelt, betrage 0,0001. Ein Flugpassagier sagt sich, die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei Bomben an Bord befinden, ist dann 0, , 0001 = 0,

7 Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung 14. November folglich sehr viel kleiner. Also beschließt er, bei jedem Flug eine Bombe mit ins Flugzeug zu schmuggeln und so viel sicherer zu fliegen. Hat er recht damit? 5.2 Die Steuerung eines chemischen Prozesses erfordere für eine bestimmte Zeit T permanente Temperatur- und Druckangaben. Zur Messung dieser Größen werden Sonden eingesetzt, die mit maximal vier voneinander unabhängig arbeitenden Druck- bzw. Temperatursensoren bestückt werden können. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten der verwendeten Druck- bzw. Temperatursensoren für die Zeit T seien 0,3 bzw. 0,1. Für welche Bestückungsvariante ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für die gesamte Zeit T Temperatur- und Druckangaben vorliegen, am größten? Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit. 5.3 Ein Gerät bestehe aus 3 nacheinander angeordneten Teilsystemen, die unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeiten 0,3, 0,4 bzw. 0,6 ausfallen können. Das Gerät sei nur funktionsfähig, wenn alle Teilsysteme funktioieren. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Gerät funktionsfähig? b) Wie ändert sich die unter a) gesuchte Wahrscheinlichkeit, wenn b 1 ) angenommen werden darf, dass das erste Teilsystem niemals ausfällt, b 2 ) dem dritten Teilsystem noch zwei Reservesysteme (mit derselben Ausfallwahrscheinlichkeit 0,6) parallel geschaltet werden? 5.4 Bei einem kontinuierlichen Fertigungsprozess treten nacheinander die Arbeitsgänge Drehen, Fräsen und Schleifen auf. Zur Sicherung eines gleichmäßigen Erzeugnisdurchlaufs werden dabei 3 Drehmaschinen, 2 Fräsmaschinen und eine Schleifmaschine eingesetzt. Die benutzten Maschinen seien voll ausgelastet und fallen innerhalb einer Schicht unabhängig voneinander mit folgenden Wahrscheinlichkeiten aus: Maschine Drehmaschine Fräsmaschine Schleifmaschine Wkt. 0,3 0,2 0,1 a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass innerhalb einer Schicht durch Maschinenausfälle der betrachteten Maschinen der Erzeugnisdurchlauf gestoppt wird. b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass innerhalb einer Schicht durch Maschinenausfälle der Erzeugnisdurchlauf verlangsamt wird, ohne dass es zu einem vollständigen Stopp bei den betrachteten Arbeitsgängen kommt! 5.2 Lösungen 5.1 nein Druck- und 2 Temperatursensoren, Wkt. 0, a) 0,168 b 1 ) 0,24 b 2 ) 0, a) 0,1593 b) 0, Diskrete Zufallsgrößen 6.1 Aufgaben 6.1 Ein idealer Würfel wird 20 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei mal eine Sechs geworfen wird.

8 8 Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung 14. November Ein Gerätesystem bestehe aus 6 voneinander unabhängig arbeitenden Teilsystemen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Teilsystems in einer Zeit T betrage p = 0, 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während dieser Zeit höchstens drei Teilsysteme ausfallen? 6.3 Ein Student kann 16 von 20 Prüfungsfragen beantworten. Bei der Prüfung werden zufällig 5 Fragen ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Student auf mindestens 4 der ausgewählten Fragen antworten? 6.4 Es wurde folgender Prüfplan vereinbart: Der Abnehmer übernimmt alle 50 gelieferten Schaltkreise, wenn in einer Stichprobe von 10 Schaltkreisen höchstens ein nicht voll funktionsfähiger Schaltkreis enthalten ist. Ansonsten wird die gesamte Lieferung verworfen. Berechnen Sie bei diesem Prüfplan die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 50 Schaltkreise a) abgenommen werden, obwohl diese 12 nicht voll funktionsfähige Schaltkreise enthalten, b) zurückgewiesen werden, obwohl nur 3 nicht voll funktionsfähige Schaltkreise enthalten sind! 6.5 In einem Computernetzwerk erfolgen zu zufälligen Zeitpunkten Zugriffe auf eine Datenbank. Dabei werde im Durchschnitt zwei mal pro Minute auf die Datenbank zugegriffen. Aufgrund einer Störung konnte eine Minute lang nicht auf die Datenbank zugegriffen werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während dieser Zeit versucht wurde, auf die Datenbank zuzugreifen! 6.2 Lösungen a) b) Stetige Zufallsgrößen 7.1 Aufgaben 7.1 Die Zeitdauer für die Reparatur einer speziellen Maschine sei eine exponentielle Zufallsgröße mit dem Erwartungswert von 4 Stunden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) die Reparaturzeit 2 Stunden nicht übersteigt, b) die Reparaturzeit zwischen 2 Stunden und 6 Stunden liegt! c) Bestimmen Sie den Median für die Reparaturzeit! 7.2 Die Lebensdauer einer Glühlampe sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße. Es sei bekannt, dass im Durchschnitt 75% der Glühlampen eine Mindestbrenndauer von 500

9 Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung 14. November Stunden erreichen. Bestimmen Sie Erwartungswert und Median der Lebensdauer! 7.3 Eine radioaktive Substanz gebe im Verlauf von 7.5 s im Mittel 3.87 α-teilchen ab. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) diese Substanz während einer Sekunde mindestens ein α Teilchen emittiert, b) zwischen der Emission zweier Teilchen mindestens zwei Sekunden vergehen, c) die Zeit zwischen zwei Emissionen zwischen einer und drei Sekunden liegt! 7.4 Berechnen Sie: a) P ( X < 1, 5), P (X > 2), P (X > 1) falls X N (0, 1) b) P ( 2 X < 7), P ( 5 X 2), P (X > 0) falls X N (1, 9) c) σ 2, falls X N (2, σ 2 ) und P (0 < X < 4) = 0, d) µ, falls X N (µ, 16) und P (X < 7) = 0, Für die automatische Abfüllung eines Arzneimittels in Flaschen sei ein Abfüllautomat auf eine Abfüllmenge von 150 ml eingestellt. Für Abfüllmengen in diesem Bereich wird vom Hersteller des Automaten angegeben, dass die tatsächliche Abfüllmenge eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert µ = 150 ml und der Varianz σ 2 = 3.5 ml 2 ist. Bei einer Nachkontrolle der Abfüllmenge werden Flaschen ausgesondert, bei denen die Abfüllmenge weniger als 146 ml beträgt. a) Wie viel von 4000 Flaschen einer Tagesproduktion werden im Mittel auf diese Weise ausgesondert? b) Auf welche neue Abfüllmenge müsste der Automat eingestellt werden, damit durchschnittlich nur 1% der Flaschen ausgesondert wird? 7.6 Der Durchmesser gedrehter Wellen sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert µ = 75 mm und der Standardabweichung σ = 0, 5 mm. Eine Welle mit einem Durchmesser kleiner als 74 mm ist Ausschuss. Ist der Durchmesser größer als 75,5 mm, dann muss die Welle nachgearbeitet werden. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Welle nach der ersten Bearbeitung Ausschuss ist! b) Es werden jeweils 150 Wellen produziert. Wie viel Wellen lassen sich im Mittel davon sofort verwenden? c) Welcher mittlerer Durchmesser müsste eingestellt werden, damit nicht mehr als 1% der Wellen Ausschuss sind? 7.7 Ein spezieller Schaltkreis sei mit der Wahrscheinlichkeit p = 0, 7 voll funktionsfähig. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer gefertigten Serie von 1000 Schaltkreisen a) wenigstens 680 Schaltkreise voll funktionsfähig sind, b) die Anzahl der funktionsfähigen Schaltkreise mindestens 675 aber höchstens 725 Stück beträgt! 7.8 An einem Sommerabend werden durchschnittlich sechs Sternschnuppen pro Stunde beobachtet. Dabei kann davon ausgegangen werden, dass die Anzahl X t der in t Minuten beobachteten Sternschnuppen poissonverteilt ist mit dem Parameter λ = t (α > 0). α a) Man bestimme α!

10 10 Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung 14. November 2012 b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während einer Viertelstunde mindestens zwei Sternschnuppen beobachtet werden? 7.2 Lösungen 7.1 a) b) c) a) b) a) b) c) a) ; ; b) ; ; c) σ 2 = 4 d) µ = a) b) µ a) b) c) µ a) b) a) 10 b)