2.1 Klassische kombinatorische Probleme

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1 2 Kombinatori Aufgabenstellung: Anzahl der verschiedenen Zusammenstellungen von Objeten. Je nach Art der zusätzlichen Forderungen, ist zu unterscheiden, welche Zusammenstellungen als gleich, und welche als verschieden angesehen werden. Permutation (ohne Wiederholung) Permutation mit Wiederholung Variation ohne Wiederholung Variation mit Wiederholung Permutation (ohne Wiederholung)

2 2.1 Klassische ombinatorische Probleme Permutation (ohne Wiederholung) Jede einendeutige Abbildung Π der geordenten Menge {1,..., n} auf eine n-elementige Menge M = {s 1,...,s n } heißt Permutation (ohne Wiederholung), i {1,...,n} : Π(i) = s i,s i M,s i s j (i j) Anzahl: N = n! 57 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

3 Permutation mit Wiederholung Sei M = {s 1,...,s }, i > 0 i = 1,..., mit i=1 i = n. Jedes geordnete n-tupel von Elementen aus M, wobei jedes Element s i genau i mal vorommt, heißt Permutation mit Wiederholung. Anzahl: N = n! 1!! Bsp. 7 Wiewiel Möglicheiten gibt es, die Karten beim Satspiel zu vergeben? N = 32! 10!10!10!2! 58 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

4 Variation ohne Wiederholung Sei M = {s 1,...,s n }. Jedes geordnete -Tupel, n von verschiedenen Elementen aus M heißt Variation ohne Wiederholung. Anzahl: N = n(n 1) (n + 1) Aufteilung von Elementen auf n Fächer unter Berücsichtigung der Reihenfolge Wenn n = gilt, so erhalten wir: N = n!. Bsp. 8 Wieviele Möglicheiten für die drei Erstplazierten im 100m Endlauf gibt es? N = = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

5 Variation mit Wiederholung Auswahl von Elementen aus einer Menge mit Zurüclegen Es sei M = {s 1,...,s n }. Die Frage ist: Wieviel verschiedene Möglicheiten gibt es, Elemente aus dieser Menge zu entnehmen, wobei durchaus Elemente mehrfach entnommen werden önnen? N = n. Bsp. 9 Anzahl der 10stelligen Dualzahlen: N = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

6 Kombinationen (ohne Wiederholung) Jede -elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge M heißt Kombination (ohne Wiederholung) (von aus n Elementen). Dabei sind Wiederholungen nicht erlaubt und die Reihenfolge der Elemente wird nicht berücsichtigt. Die Anzahl der Kombinationen ist: N = n (n 1)... (n +1) = ( ) n! = n! (n )!!. 61 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

7 Kombination (mit Wiederholung) Faßt man alle Variationen mit Wiederholung (n Elemente, Ordnung ) zu Äquivalenzlassen zusammen, so daß sie aus aus den gleichen Elementen der gleichen Anzahl bestehen, so heißt jede solche Klasse Kombination mit Wiederholung. N = ( n+ 1 Bsp. 10 n = 2, = 3: 4 Klassen: {aaa}, {aab, aba, baa}, {abb, bab, bba}, {bbb} werden jeweils zu einer Klasse zusammengefaßt. Erläuterung zur Kombination mit Wiederholung: siehe Beispiele 14 und 15. (Dieses Problem wird auf den Fall unterscheidbarer )

8 Kombination von Elementen aus mehreren Mengen Wir betrachten beliebige Mengen S 1,...,S, wobei S i = {s i1,...,s ini } (i = 1,...,) gilt. Es wird die folgende Frage gestellt: Wieviel verschiedene Kombinationen von je einem Element der Mengen S 1,...,S önnen gebildet werden? Solche Kombinationen haben die Form (s 1i1,...,s i ), wobei s i S gilt für alle i = 1,...,. Die Anzahl N der Möglicheiten ist N = n 1 n 2... n. 63 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

9 2.2 Beispiele Bsp. 11 Eine Gruppe von r Studenten verreist in einem Zug. Dabei verteilen sich die Studenten zufällig auf n r Abteile. Es sei A das Ereignis, daß alle Studenten in verschiedenen Abteilen sitzen. (In jedem Abteil befindet sich also höchstens ein Student.) P(A) = n(a) N. N = n r = # Möglicheiten für die Verteilung der r Studenten auf die n Abteile. n(a) = n (n 1)... (n r + 1) P(A) = n(a) N = n (n 1)... (n r+1) n r. 64 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

10 Bsp. 12 In einer Urne sollen sich n Kugeln befinden. Von diesen seien n 1 schwarz, n n 1 dagegen weiß. Nun werden Kugeln (zufällig) entnommen, und zwar ohne Zurüclegen. A: Ereignis, daß von diesen Kugeln 1 schwarz sind P(A) = n(a) N. N = ( n ) = Anzahl der Möglicheiten, Kugeln aus n Kugeln auszuwählen. n(a)= Anzahl der günstigen Ereignisse= Anzahl der Möglicheiten zur Entnahme von Kugeln, bei denen genau 1 schwarze Kugeln ausgewählt werden. 65 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

11 In einem solchen Fall sind dann auch genau 1 weiße Kugeln entnommen worden. Also 1. Die Anzahl der Möglicheiten, aus n 1 schwarzen Kugeln 1 schwarze auszuwählen (ohne Wiederholung und ohne Berücsichtigung der Reihenfolge) ist ( n 1 1 ). 2. Die Anzahl der Möglicheiten, aus n n 1 weißen Kugeln 1 weiße auszuwählen (ebenfalls ohne Wiederholung und ohne Berücsichtigung der Reihenfolge) ist ( n n 1 1 ). Anzahl der günstigen Ereignisse n(a) = ( n1 1 ) ( ) n n W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

12 P(A) = n(a) N = ( n1 Der letzte Ausdruc heißt auch 1 ) ) ( 1 n n1 ( n ) Hypergeometrische Wahrscheinlicheit. 67 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

13 Bsp. 13 (Lotto 6 aus 49) Wenn wir uns die Zahlen als Kugeln denen, die aus einer Urne entnommen werden, und außerdem gezogene Zahlen im nachhinein als schwarze Kugeln ansehen, so ann jeder Tip durch die Entnahme von 6 Kugeln verörpert werden. Somit önnen wir die Formel des Beispiels 12 auf Seite 65 anwenden. A: Ereignis, daß vier Richtige getippt werden. Wenden wir also oben genannte Formel an mit n = 49, n 1 = 6, = 6, 1 = 4, dann gilt: ( 6 ( P(A) = 4) 49 6 ) 6 4 ( 49 ) 6 68 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

14 Bsp. 14 Wie groß ist die Anzahl der Würfe mit 2 nicht zu unterscheidenden Würfeln? Wir vergeben die Zahlen (i,j), wenn i j. Wir vergeben die Zahlen (i, 7), wenn i = j. Die gesuchte Anzahl ist die Anzahl der möglichen Auswahlen aus der Menge {1,...,7}, also gleich ( 7 2). 69 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

15 Bsp. 15 Wie groß ist die Anzahl der Würfe mit 3 nicht zu unterscheidenden Würfeln? Sei o.b.d.a. i j. Wir vergeben die Zahlen (i,j,), wenn i < j <. (i,, 7), wenn i = j <. (i,j, 8), wenn i < j =. (i, 7, 8), wenn i = j =. Die gesuchte Anzahl ist die Anzahl der möglichen Auswahlen aus der Menge {1,...,8}, also gleich ( 8 3). 70 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

16 Bsp. 16 Verteilen von n Geldstücen an Studenten ( n). Auf wieviele Weisen ist das möglich? Fall a) jeder Student beommt mindestens ein Stüc. Geldstüce nebeneinander legen und 1 Trennstriche verteilen unter n 1 möglichen N = ( ) n 1 1 Fall b) es wird zugelassen, daß Studenten nichts erhalten. Tric: Borgen von Stücen n + Stüc 1 Trennstriche verteilen unter den jetzt n + 1 möglichen N = ( ) n+ 1 1 Dann gibt jeder Student genau ein Stüc zurüc. 71 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

17 Bsp. 17 (Hashing) Beobachtungen (oder Daten) abspeichern auf einem Feld. : Anzahl der Beobachtungen n: Feldlänge ( n) Das Abspeichern geschieht mit Hilfe von Hashfuntionen (oder Hashtafeln). zufällige Daten: Kollisionen önnen auftreten. A,n : Ereignis, daß Kollisionen auftreten. ges.: P(A,n ) 72 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

18 P(A,n ) = = n(n 1) (n + 1) 1 (1 i n ) i=0 = exp ( 1 exp( = exp( i=0 1 i=0 ln(1 x) < x für x < 1 n ln(1 i n )) i n ) ( 1) 2n ) exp( 2 2n ) 73 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

19 Bsp. 18 (Suche von Elementen) n = Ω. Greifen zufällig eine -elementige Teilmenge A Ω heraus. ω 1,...: Schlüsselelemente (vorgegeben), ω 1,... Ω Frage: Mit welcher Wt. ω 1 A? P(A) = ( n 1 1 ( n ) ) = n Frage: Mit welcher Wt. ω 1,...,ω r A? ( n r ) r ( 1) ( r + 1) P(A) = ) = n(n 1) (n r + 1) ( n 74 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

20 Sei r fest, n p: P(A) pr P(A) 1 2, falls pr 1 2 falls n 2 1/r Soll also die Wt., daß alle r Schlüsselelemente in der Teilmenge enthalten sind, größer als 1 2 sein, so muß n 2 1/r gewählt werden. 75 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

21 Zusammenfassung n: # Elemente = Ω : # auszuwählende Elemente 1,..., m : Häufigeit der einzelnen Elemente ohne Wiederholung mit Wiederholung Permutationen n! n! 1! m! Variationen n(n 1) (n + 1) n ( Kombinationen n ( n+ 1 ) ) 76 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

22 2.3 Arithmetische Beziehungen zwischen den Binomialoeffizienten ( ) n ( ) n = = ( ) n n ( ) n 1 + n =0 ( ) n = 2 n ( ) n W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

23 n i=0 n ( ) n ( 1) =0 n =0 ( ) 2 n = ( )( ) n m i i n ( ) n =1 = 0 ( ) 2n = n ( ) n + m = n 2 n 1 78 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

24 8. Definieren die Folge S n = n+1 2 =0 ( ) n Zeigen Sie: S n+1 = S n + S n 1. Beweis: 3 Methoden, vollständige Indution algebraisch ombinatorisch teilweise Übungsaufgabe, teilweise Übung 79 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin